親愛的,我把紅包變大了! | 2022數感盃 | 國中專題 | 優選

作者 沈劭真 / 台北市景美國中

一、研究動機
         說到新年,對愛錢的我來說,最不可少的當然是紅包啊! 從國小一年級開始,每次一拿到紅包我就會交給父母,請他們幫我存起來。不過,爸爸總說要拿其中一筆錢去做投資,並答應我會在國小畢業時,加上複利一起還給我。國小畢業剛升上國中的我非但沒有忘記跟爸爸拿回這筆錢,同時也很想知道,究竟如何計算我的壓歲錢年投資報酬率呢? 真正的解與我們算出的數字誤差值又是多少呢? 
         爸爸說帕斯卡三角形可以協助我估算。我查詢到帕斯卡三角形又稱楊輝三角形,最早是由波斯數學家與天文學家兼詩人歐瑪爾·海亞姆(Omar Khayyám)於十世紀發現此三角形,它的建構方式簡單易懂,而且在數學上有許多不同的用途。它可以協助計算機率問題以及進行二次項展開等,可以說是非常實用且便利。我希望可以應用帕斯卡三角形來解決上述投資報酬率的計算問題。

二、研究過程
         假設爸爸每年從我的壓歲錢中拿出10000元,而我國小畢業後領回了70000元。那麼我的年報酬率該如何計算呢? 根據複利的算法,第一年存進的10000元,在畢業時會領出10000*(1+報酬率)6元,第二年存進的10000元,在畢業時會領出10000*(1+報酬率)5元,以此類推,第六年存進的10000元,在畢業時會領出10000*(1+報酬率)元。
         由此,我們可列出方程式: 
         設每年的報酬率為r
         10000*(1+r)6+10000*(1+r)5+…+10000*(1+r)2+10000*(1+r)=70000
=>(1+r)6+(1+r)5+(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)=7 … 
式(1)
         由於這是一個十分困難的「一元六次方程式」,沒有電腦的幫助是沒辦法解出來的,因此我借助帕斯卡三角形進行二項式展開並將其簡化為一元二次方程式求出r的近似值。
         什麼是帕斯卡三角形呢? 如下圖所示,帕斯卡三角形最外側的數字皆為1,而中間的數字則是左上方及右上方兩個數字之和。在數學上帕斯卡三角形的第n層 (n為自然數) 正好對應於二項式(1+r)n的展開係數,因此可以使用帕斯卡三角形來幫助我解決剛剛提到的報酬率計算問題。

         根據原本的問題可以畫出一個六層的帕斯卡三角形來做計算的輔助,該三角形第一斜行(紅色框)的數字和即為式(1)展開後的常數項係數,同樣地第二斜行(藍色框)的數字和即為式(1)展開後的r一次項的係數、第三斜行(紫色框)的數字和即為式(1)展開後的r二次項的係數。但由於報酬率r通常遠小於一,其次方值會隨階數增高而越來越接近零,此外在國中階段也只學到一元二次方程式的公式解,因此我大膽假設r的三、四、五以及六次方過於接近零而可以忽略不計,這樣就可以使用一元二次方程式的公式解求出報酬率r的近似值。

此時得到的一元二次方程式如下:
    (1+r)6+(1+r)5+(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)=7
    =>6+21r+35r2≒7
    => -1+21r+35r2 ≒0
該方程式的公式解為

取其正數解為r=0.0443=4.43%

         由於我是利用一元二次方程式去近似一元六次方程式的解,因此近似解與精確解之間必然存在誤差。關於精確解我們可以利用excel軟體提供的IRR(Internal Rate of Return)函數精準地計算出投資報酬率如下:

與我們的近似解比較得出其百分誤差為,這代表我們用一元二次方程式得到的近似結果其實頗為準確。

三、結論與討論
         我嘗試使用帕斯卡三角形所提供的二次項係數以及一元二次方程式去近似投資報酬率的解,這樣子的計算方式對我這個國中生來說更容易理解與計算。結果顯示當投資報酬率約為4%時,近似值與精確值的百分誤差可以小於1%。在同樣的條件之下,我們可以近一步藉由增加本利和的方式來探討不同投資報酬率下採用一元二次方程式近似的誤差變化。同樣是每年交給爸爸10000元進行投資,但六年後拿回的錢變成65000元或者75000元來減少或增加投資報酬率。此時我們的近似誤差隨投資報酬率的變化如下:

         由此發現,當報酬率越高,近似值與精確值得誤差就會越大。而且在投資報酬率8.3%以下時,誤差皆可控制於1%以內。換句話說,雖然我的紅包年報酬率比銀行利率高,用結構簡單易懂的帕斯卡三角形搭配一元二次方程式去計算投資報酬率仍是綽綽有餘。看來接下來如果我要把紅包變得更大,就需要自己好好研究理財方法囉!

四、參考文獻

1.維基百科 楊輝三角形
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%9D%A8%E8%BE%89%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2
2.理財不能不懂「複利」和「單利」的差異
https://davidhuang1219.pixnet.net/blog/post/269518596-%E3%80%8E%E8%A4%87%E5%88%A9%E3%80%8F%E5%92%8C%E3%80%8E%E5%96%AE%E5%88%A9%E3%80%8F%E8%A8%88%E6%81%AF%E7%9A%84%E5%B7%AE%E7%95%B0
3.【投資理財必看】IRR內部報酬率是什麼意思?5步驟建立Excel計算機 | AuMe 黃金本人 
https://augustime.com/what-is-irr/
4. Mr.Market市場先生 – 投資理財入門 
https://rich01.com/

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