作者 宋辰芯

一、研究動機

小時候我曾經看過一本有關數學的書，有一章節就是韓信點兵，就是請士兵三個為一組，五個為一組，七個為一組，再將三個為一組剩餘的人數乘以 70，五個為一組剩餘的人數乘以 21，七個為一組剩餘的人數乘以 15，再將三個數字加起來，除以 105，就可以算出士兵人數。 我們舉個例子:「假如有一些士兵，三個一數餘 2 人，五個一數餘 2 人，七個一數餘 4 人，請 問士兵最少有幾人?」算式如下:

2*70+2*21+4*15=242

242/105=2 餘 32

所以我們可以知道士兵有 32 人，來驗證一下:32 除 3 餘 2，32 除 5 餘 2，32 除 7 餘 4。 果真如同算式的結果士兵有 32 人。如果不相信我們再舉一個例子:「假如有一些士兵，三個 一數剩 1 人，五人一數剩 3 人，七人一數剩 2 人，請問士兵最少有幾人?」算式如下:

1*70+3*21+2*15=163

163/105=1 餘 58

等於士兵有 58 人，同樣也要驗證看看:58 除 3 餘 1，58 除 5 餘 3，58 除 7 餘 2，所以士兵有 58 人。可是上面題目的數字都很小，但是古代的士兵都很龐大，所以我想知道韓信真的 能靠這個方法來算出有多少士兵嗎?

二、探討過程

我們可以發現這個算法很神奇，算的也非常準確，但是我們算出的數字是一個最小值，不是正確的數字，那麼該怎麼辦呢?這時就要看我們對人數知不知道一個大概的數字，如果不 知道的話只能去推測人數大概的區間，也因此人數越大這個方法越不可行。在古代一個部隊 少說也有 1000 人，多則 10 萬、50 萬，甚至 100 萬。根據以上，我將士兵人數分成四種情況: 「士兵人數位於 105 人以內」、「士兵人數大於 105 人，小於 1000 人」、「士兵人數大於 1000 人」、「有 105 位士兵一起逃跑了」。

(一)士兵人數位於 105 人以內
1-1 假如士兵有 65 人，三個一數剩 2 人，五人一數剩 0 人，七人一數剩 2 人，請問士兵有幾 人?

2*70+0*21+2*15=170
170/105=1 餘 65

從 1-1 我們可以發現當士兵小於 105 時，完全不用再做任何動作，就能知道士兵有 65 人。

 (二)士兵人數大於 105 人，小於 1000 人
2-1 假如士兵有 650 人，三個一數剩 2 人，五人一數剩 0 人，七人一數剩 6 人，請問士兵有幾 人?
2*70+0*21+6*15=230
230/105=20
20+105*6=650
2-2 假如士兵有 995 人，三個一數剩 2 人，五人一數剩 0 人，七人一數剩 1 人，請問士兵有幾 人?
2*70+0*21+1*15=155
155/105=1 餘 50
50+105*9=995

從 2-1、2-2 我們可以知道當士兵小於 105 人，小於 1000 人時，算出來的數字必須加上 很多個 105 才能知道士兵有幾人。但是如果有多加一個 105 或少加一個 105，本來是 995 但 是可能算成 890，所以士兵小於 105 人，小於 1000 人時這個方法就不太好。

(三)士兵人數大於 1000 人
3-1 假如士兵有 6500 人，三個一數剩 2 人，五人一數剩 0 人，七人一數剩 4 人，請問士兵有 幾人?
2*70+0*21+4*15=200
200/105=95
95+61*105=6500
3-2 假如士兵有 9950 人，三個一數剩 2 人，五人一數剩 0 人，七人一數剩 3 人，請問士兵有 幾人?
2*70+0*21+3*15=185
185/105=80
80+94*105=9950

從 3-1 和 3-2 我們可以發現當士兵人數大於 1000 人時，要加的 105 更多，所以這個方法 在士兵人數大於 1000 人時，可行性是很低的。

(四)有 105 位士兵一起逃跑了

4-1.假如士兵有 1294 人，三個一數餘 1，五個一數餘 4，七個一數餘 6，請問士兵有幾人?

 1*70+4*21+6*15=244

244/105=34

4-2.呈上題，如果 105 位士兵一起逃走了，那麼韓信會不會發現呢? 

1294-105=1189

士兵有 1189 人，三個一數餘 1，五個一數餘 4，七個一數餘 6，請問士兵有幾人?

 1*70+4*21+6*15=244

244/105=34

從 4-2 我們可以看出如果 105 人一起逃走，結果是一樣的(都是三個一數餘 1，五個一數餘4，七個一數餘 6)，也就是說韓信無法知道有沒有人逃走。

從上述我們可以知道韓信點兵雖然準確，但是在人數多就無法知道。也就是說我們必須知道一個確切的範圍，而且就算知道，範圍必須是小於 105，否則就會出現 1 個以上的答案。 再者士兵的人數之多，韓信在點兵時必須確定每個人都有被算到，所以我覺得韓信點兵在古 代是不可行的。

三、原因

除以 3 的餘數要乘以 70，除以 5 的餘數要乘以 21，除以 7 的餘數要乘以 15，最後加起 來要除以 105。神奇的是:

70 是 5 和 7 的公倍數
21 是 3 和 7 的最小公倍數
15 是 3 和 5 的最小公倍數
105 是 3、5、7 的最小公倍數
可是只有 70 不是 5 和 7 的最小公倍數，但是我們可以斷定與公倍數有關。

四、結論 

從上述可以看出韓信點兵的方法適用於較小的數字，而且算的又快速又準確，不過如果是在算較為龐大的數字，可能會很辛苦。

這種算法是我從沒接觸的，也比較不常見，我覺得又新奇又有趣。我一直思考這種點兵 的方法真的是韓信發明的嗎?如果是的話，韓信未免也太聰明了吧!難怪能成為大將軍。

作者 廖辰星、羅少澤、鍾承翰

一、研究動機

羅德.達爾寫了一本十分有名的書—吹夢巨人，而迪士尼公司也於 2016 年，將這本膾炙人口的小說翻拍成電影。其中有一個片段，是吹夢巨人把小女孩從孤兒院帶到巨人國時，跑過一排樹。而後又有一個片段，拍出吹夢巨人在英國白宮與女王談論如何處理掉會吃人的巨人。看完這部電影後，我們對吹夢巨人實際的高度與跑步的速度是否相符感到好奇，會不會這部電影同樣一個人物前後所拍攝的高度不同?

二、研究背景

先來談談樹，根據維基百科資料3顯示，世界上最寬的樹，其底部最大直徑達 11.1 公尺，但是場景中的樹並非世界上最寬的樹，因此我們假設場景中的樹，寬度加上間距為 11.1 公尺。從吹夢巨人的影片中，有一個片段，是吹夢巨人把小女孩從孤兒院帶到巨人國時，跑過一排樹，我們數出在該場景中一共有 50 棵樹，巨人花了 3 秒鐘就跑完。其中。而後又有一個片段，拍出他在英國白宮與女王談論如何利用軍隊趕走會吃人的巨人。看完這部電影後，我們對吹

夢巨人實際的高度與跑步的速度是否相符感到好奇，會不會這部電影中，同樣一個人物於不同場景中所呈現的高度不同?

 再來談談速度，經過維基百科4查詢，得知以下關係圖表(圖 3、表 1)，便可知道身高越高的人在跑 100 公尺時，所需時間較短。

最後，說明白金漢宮的高度，從影片的影像中，我們發現迪士尼公司所拍攝的位置是在英國的白金漢宮，白金漢宮的高度為 24 公尺，且一共 5 層樓高，所以一層樓為 24/5=4.8(公尺)，假設此樓挑高了一公尺，一樓的高度便是 5.8 公尺。

三、解題歷程

依照「維基百科資料顯示，世界上最寬的樹，其底部最大直徑達 11.1 公尺，但是場景中 的樹並非世界上最寬的樹，因此我們假設場景中的樹，寬度加上間距為 11.1 公尺。從影片中， 我們數出在該場景中一共有 50 棵樹，而吹夢巨人花了 3 秒鐘才跑完。」這段話，可算出吹夢巨人最多跑了 11.1×50=555 公尺。

依表 1 及圖 1 的數字(身高/以跑 100M 所花時間)取平均數為 18.4，也就是說吹夢巨人的身高應為555:100=5.55:1，而吹夢巨人的身高/他跑 555M 所花的時間就是 18.4×5.55=102.12，所以吹夢巨人的身高就是102.12×5.55=566.766(公分)，也就是 5.66766(公尺)。不過在影片中，吹夢巨人站在窗台前的高度約為白金漢宮的二層樓高，可見此場景時，他的高度約為 9.6 公尺， 所以我們可以推論，吹夢巨人在這部電影中於不同場景所呈現的高度(5.66766 公尺與 9.6)是不相符的，吹夢巨人變矮了!

四、結論與發現

最後我們發現，巨人的身高與跑步速率是不相符的，但還有很多細節值得我們討論，例如體重的問題，體重也會影響跑步的速度，但電影裡並沒有體重的線索，所以沒有明確的依據。還有年齡的問題，因為吹夢巨人看起來也是位上了年紀的人了，因此用不太合理，但是我們考量了，電影也沒有提到吹夢巨人的年齡，雖然看起來是個老先生，可能巨人的年齡跟人類不一樣，但是他的腿很長，所以跟年輕的選手比較其實也不為過。再度經過查詢，世界上跑步最快的老人為 100 公尺/42.2 秒(2016 年時 105 歲)，大約慢了 4.41 倍，而他的身高為1.51 公尺，吹夢巨人的身高就是 1.51/42.2×185=6.62(公尺)。或許跟阻力也有一點關係，巨人的表面積是我們人類的好幾倍，風阻也會以好幾倍上漲，因為以上等等原因，數據沒有辦法百之百正確，但 3 個數據(32.4 公尺、9.6 公尺與6.62 公尺)相差太多，就算把種種可行的做法運算，也是不相符。因此，我們覺得在電影中吹夢巨人實際的高度與跑步的速度是不相符的，但巨人的相關身體構造與常人不同，也增加了許多戲劇性。

¹ 圖片來源出處: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%B9%E5%A4%A2%E5%B7%A8%E4%BA%BA_(2016%E5%B9%B4%E9%9B%BB%E 5%BD%B1)#/media/File:The_BFG_2016_Poster.jpg

² 圖片來源出處:https://www.youtube.com/watch?v=OCnUunk5snU

³ https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%9B%AA%E6%9B%BC%E5%B0%87%E8%BB%8D%E6%A8%B9

⁴ https://zh.wikipedia.org/wiki/100%E7%B1%B3%E8%B3%BD%E8%B7%91

作者 劉新昱

超人系列電影中, 每每出現女主角露意絲因被迫或是不慎自摩天高樓中墜下的驚險畫面,就在眾人驚呼之際, 只見超人英雄克拉克迅速變裝後騰空飛起, 在半空中及時接住露意絲, 兩人相視而笑後緩緩上升將美麗的女主角輕輕地放回陽台, 旋即引起不論是在電影中佇立地面的群眾或是看電影入戲的觀眾們一片鼓掌叫好. 在這學期進入國中自然第五冊的學習後, 認識了“牛頓的三大運動定律”, 更在“功與能”的單元中學到了自由落體, 重力位能, 動能及功與能的轉換. 就在與這些知識搏鬥之際, 一個念頭突然劃過腦際, 動能K＝1/2 mV² , 自由落體的末速度V²=2gS (註: m為物體的質量,單位公斤, kg ; V為末速度, 單位公尺/秒, m / s ; g為重力加速度＝9.8, 單位公尺/秒平方, m / s² ; S為沿運動方向的位移, 單位公尺, m), 當露意絲下降十層樓高時, 超人接住她瞬間停止繼續墜落, 就好比人從十層樓高跳下直接落地, 無緩衝情況下速度幾乎瞬間為零, 所承受的力量對一般正常人類來說應該是非死即傷. 而對接住露意絲的那雙手臂, 也應該只有超人才能完好如初吧！

論證一： 假設露意絲的體重為50公斤, 下墜10公尺(約當三層樓高)時被超人瞬間接住, 她的身體究竟需要承受多大的力量？

在不計空氣阻力的情況下, 末速度V²＝2gS＝2 x 9.8 x 10＝196, V＝14 m/s,    

                        動能 K＝1/2 mV²＝1/2 x 50 x 196＝4900 J(焦耳)

假設接住瞬間的減速時間為0.1秒, 即末速度由每秒14公尺在0.1秒內降為0

此時的減加速度（a）為 0＝14 + a x 0.1, 即 a＝-140 m / s²    

緩衝距離（高度）Ｓ₁＝Vt + 1/2at²＝14 x 0.1 + 1/2 x (-140) x (0.1)²＝0.7 (m)

則露意絲身體所需要承受的力（Ｆ）為 動能Ｋ＝ＦxＳ₁ 即 4700＝F x 0.7, F＝6714 N(牛頓)約當將685公斤重的物體砸在身上, 雖不一定致命, 但可以肯定的是露意絲應該無法毫髮無傷地看著超人微笑。

論證二： 假設露意絲的體重為50公斤, 下墜100公尺(約當三十層樓高)時被超人瞬間接住, 此時她的身體又需要承受多大的力量？

在不計空氣阻力的情況下, 末速度V²＝2gS＝2 x 9.8 x 100＝1960, V ≌44 m/s,    

                        動能 K＝1/2 mV² ≌1/2 x 50 x 1936 ≌48,400 J(焦耳)

假設接住瞬間的減速時間為0.1秒, 即末速度由每秒44公尺在0.1秒內降為0

此時的減加速度（a）為 0 ≌44 + a x 0.1, 即 a ≌-440 m / s²    

緩衝距離（高度）Ｓ₁＝Vt + 1/2at² ≌44 x 0.1 + 1/2 x (-440) x (0.1)² ≌2.2 (m)

則露意絲身體所需要承受的力（Ｆ）為 動能Ｋ＝ＦxＳ₁ 即 48400 ≌F x 2.2, F ≌22000 N(牛頓)約當將2,245公斤重的物體（相當於1.5~2台車的重量）砸在身上, 對嬌弱的露意絲來說, 最大的可能應該是立即香消玉殞了。

論證三：假設露意絲的體重為50公斤, 下墜100公尺(約當三十層樓高)時, 超人在接住她之後需要多少的緩衝高度才能確保露意絲毫髮無傷地對他微笑？

經查詢相關資料得知, 一般說來, 人類對於G力的承受度在於－3G到＋9G之間, 

若以最大值－3G來進行討論, 即 a＝-3 x 9.80＝-29.4 m / s²

減速時間t為0 ≌44 + (-29.4) x t , 則t 約當1.5秒

緩衝距離（高度）Ｓ₁＝Vt + 1/2at² ≌44 x 1.5 + 1/2 x (-29.4) x (1.5)² ≌32.925 (m)

/

若以－2G來進行討論, 即 a＝-2 x 9.80＝-19.6 m / s²

減速時間t為0 ≌44 + (-19.6) x t , 則t 約當2.25秒

緩衝距離（高度）Ｓ₁＝Vt + 1/2at² ≌44 x 2.25 + 1/2 x (-19.6) x (2.25)² ≌49.3875 (m)

/

若以－1.5G來進行討論, 即 a＝-1.5 x 9.80＝-14.7 m / s²

減速時間t為0 ≌44 + (-14.7) x t , 則t 約當2.99秒

緩衝距離（高度）Ｓ₁＝Vt + 1/2at² ≌44 x 2.99 + 1/2 x (-14.7) x (2.99)² ≌65.85 (m)

結論：

    由上數計算可推導出, 以一個Ｇ的重力來減速時, 幾乎需要對等於下墜高度的緩衝距離才能讓女主角露意絲面露微笑地看著超人脫離危機. 所以合理的劇情應該是當露意絲由六十層高的高樓上落下時, 超人必須在4.5秒（下墜100公尺所需的時間）內接住她, 並以一個Ｇ的重力來減速, 露意絲深情地跟他對望再下降100公尺後安全落地. 然而實際上空氣是會有阻力的, 跟下墜時的姿勢（受阻面積）與不同溫濕度, 不同距地面高度下空氣的摩擦係數都會有關, 國中自然科尚未觸及此部分的計算, 需要在往後更深入的學習中再做探討。

作者 劉慶軒、涂文愷

余憶童稚時，不能張目對日，也不能明察秋毫，但我們能看《哆啦 A 夢》卡通。卡通裡 的哆啦 A 夢有個縮小隧道，穿過個前高後窄的隧道後，人就變小了;國中國文課兒時記趣， 作者透過巨視便神遊於花臺小草叢雜處。縮小，或許可以說是人的夢想之一吧!

不久前熱愛數理的我們，在一部《蟻人》的電影中，發現了有趣的橋段:「什麼!蟻人不停 縮小，縮小到原子的大小，並且還能放大還原身軀」，我們不禁產生好奇與討論的興趣:「如 果在符合物理的情況下，人真的可以縮小到這種程度嗎?」

首先，分析電影經典畫面，蟻人因為裝備失靈，所以不停縮小進入物體，在縮小的過程依 序進入了物質、分子和分子的原子內，其中電影畫面出現了原子的畫面，電影畫面也呈現出 原子的樣貌。

原子是由原子核和核外電子構成的，而原子核是由帶正電的質子及不帶電的中子所組成， 故原子核整體帶正電，其體積極小，位置在原子的中心部分，其中帶負電的電子受原子核正 電的吸引，環繞著原子核作快速地運動，因電子在原子核內的一定範圍中運轉，其軌跡散布 如「殼」，亦即電子殼層。電子殼層由第一層向外依序增加，可分為七層，每層又有不同的結 構，如下:

由上表可以知道目前已知位於元素週期表第一周期的氫原子，只有一層電子殼層，原子半 徑比其他周期的任何原子都小。原子半徑在同一族內從上到下遞増，在同一元素周期內從左 到右遞減，造成這種現在的部分原因是電子的分布不是完全自由的，原子內部的電子按照電 子層排列，每個電子層只能容納固定數量的電子，元素周期表的每個一新的周期和一個新的 電子層對應，離原子核也越來越遠。

所以，只有一層電子殼層的氫原子是原子半徑最小的原子，其結構也是最簡單的，氫原子 是由一個做為原子核的質子和一個以圓周軌道繞行原子核的電子所組成的結構(如上圖)，而人 類身上也帶有氫原子，蟻人在縮小的過程中，勢必身上的原子也會隨之有所變化，所以我們 便以原子半徑最小的氫原子作為本次討論的對象。

根據庫倫定律，任意兩帶電體間存在一種作用力，作用力的方向在它們的連線上，同號電 荷相斥，異號電荷相吸。其中，兩帶電體間電力 F 的大小，和兩物體的電荷q、q’的乘積成正比，和兩點電荷間距離r的平方成反比，即 ，k_e是個常數，其值約為。

當帶負電的電子以帶正電的原子核為圓心做等速率圓周運動，因為受到向心力與自身慣性 影響，使得電子的運動軌跡能維持在一個圓形的軌道。這就猶如我們拉著水桶，給它一定的 向心力，讓它快速旋轉，此時它會在穩定的圓周軌道上運動，一旦我們放手，它會因此失去 向心力，水桶會因自身慣性作用，而直直的飛出去。氫原子中帶負電的電子就像上述的水桶， 拉住它的就是帶正電的原子核，原子核和電子間的那隻「手」就是他們之間的電力 F。

目前已知等速率圓周運動之向心力。假設氫原子的電子質量為𝑚_𝑒 ，原子核和電子間的軌道半徑為𝑟，電子運動速率為𝑣，由此(2)式得知氫原子的電子等速繞行原子核的向心力大小為;再者(1)質子與電子間的電力為(𝑘_𝑒是庫侖常數，𝑒是基本電荷，質子與電子的帶電量皆為一個基本電荷)。

因此由上一段水桶的比喻可以得知此向心力來源即為質子與電子間的電力，所以，經整理得:，又為了使質子與電子間距離 r 值為最小，因此要讓分母變大，所以我們代入速率的極限──光速𝑐，光速在真空中精確值為299792458 m/s，約為每秒3億公尺，代入上式得:，而這算式的結果就是氫原子的縮小極限。

所以將各常數代入上式，

因為氫原子的半徑約為50pm，經由我們以上式計算得知氫原子的縮小極限約為20000倍。

假設電影中蟻人是以等比例縮放，則蟻人的縮放極限也和他身上的氫原子一樣，約為20000 倍，雖然蟻人身上的其他原子或許還能繼續縮小，倘若蟻人繼續縮小，身上的氫原子將無法 承受這麼大的縮小倍數，所以蟻人不可能縮到跟原子一樣小，甚至是縮到比原子還小，也就 是電影中蟻人不停縮小進入原子內的情況是不符核物理計算結果的。

以上是我們對電影《蟻人》縮小的古典物理分析，由結果可以知道以現代科技是無法實 現，但我們期待有朝一日，新的量子理論可以推翻我們的分析，實現人類縮小的願望，甚至 像電影《縮小人生》一樣，人類因為縮小所以製造出的垃圾量變小、變少，甚至是原本因生 活所需產生的碳排放也隨之減少，進而縮小這件事不但能使人們受益，也使地球資源得以有 機會永續發展。

參考資料:

1.高三物理 6-2 庫侖定律課本.pdf

http://moodle.fg.tp.edu.tw/~tfgcoocs/blog/wp-content/uploads/2015/12/%E9%AB%98%E4%B8%89%E7%89%A9%E7%90%866-2%E5%BA%AB%E4%BE%96%E5%AE%9A%E5%BE%8B%E8%AA%B2% E6%9C%AC.pdf

2. 原子軌域
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%AD%90%E8%BD%A8%E9%81%93

3. 圓周運動有「向心力」和「離心力」，它們分別是什麼? https://ngsir.netfirms.com/Q/ME/MQ9.pdf

4. 光速
https://kknews.cc/zh-tw/science/gre2pyy.html

作者 姚玓璜、謝佾熙、黃靖凱

一、研究動機

《初刻拍案驚奇.卷六》:「二月十九日觀音菩薩生辰，街上迎會，看的人，人山人海」，而人山人海後用來比喻人聚集的非常多。相信每個人都曾經去看過一場刺激的球賽;一場美 妙的音樂會;甚至是一場熱情的造勢活動。不管是看到照片也好，或是自己蒞臨現場，都會 忍不住驚嘆:「哇!真的是人山人海呀!」。但是因為每場活動舉辦的地點不盡相同，如果把情境 轉換為不同的可能，總人數是否真的能叠得跟山一樣高，跟海一樣深呢?

二、研究背景

先來說說山和海吧!台灣對山的定義就是海拔高度大於 1,000 公尺且坡度陡峭的地形。但世界上對海並沒有一項具體的解釋，但是可以得知全世界海洋的平均深度為 3,682 公尺;因 此，海的面積會以苗栗、臺中海域(通霄至大安)的海域為基準，約 206 平方公里。再來談談人數聚集的部分，我透過 Google 查詢，世界上參與人數最多的節日是印度的大 壺節，人數將近 7,000 萬。世界上參與人數最多的演唱會是舉辦在里約熱內盧的科帕卡瓦納 海灘的跨年演唱會，人數將近 350 萬人。最大的反戰抗議 2003 年 2 月 15 日至 16 日，全國 約有 1,000 萬人參加了伊拉克戰爭的協調抗議活動，這被認為是羅馬歷史上最大規模的反戰 集會。最大的集體罷工 2016 年 9 月，印度的 1.8 億來自各個崗位的工人參加了這次罷工，他 們聚集在一起抗議總理莫迪推動私有化和其他右翼經濟政策。根據「中華職棒 30 年最多觀眾 人數排行榜前二十名」的資料顯示，舉辦在洲際棒球場彭政閔引退賽人數可達 20,223 人。而 討論人山人海，最重要的就是人、山、海的體積，如下所述:

(一)成年人體積
設一個成年人的身高是 1.7m，體重是 60 公斤，肩膀寬約 0.52m，身體約 0.2m 厚 ， 站立所需的最小空間為 1.7*0.52*0.2=0.1768m³

(二)山的體積

設一座山為一個圓錐，底圓的半徑為 1500m，垂直高度為 1000m。透過圓錐體積計算公 式，可以得到山的體積為 1/3*3.14*1500*2*1000=3,140,000m³

(三)海的體積

設一塊海域為立方體，206公里=206000公尺 206000*3682=758492000m³

因此，接下來我們會從這幾個例子來討論人山人海的完成度，並搭配上面所討論的人、 山、海的體積，來探討人山人海的可能性。

三、探究過程

透過上面的不同數據來解釋不同情境的情況是否可以達成「人山人海」。

(一)彭政閔引退賽
總人數體積:20,223*0.1768=3,575

1.如堆成山:3,140,000-3575=3,136,425 還會剩下 3,136,425m³

還需堆 17,739,960 個人才可堆成

2.如堆成海: 758,492,000-3,575= 758,488,425 還會剩下 758,488,425m³

還需堆 4,290,092,901 個人才可堆成

(二)科帕卡瓦納海灘的跨年演唱會

總人數的體積:350 萬*0.1768=6,188

1.如堆成山:3,140,000-6,188=3,133,812 還會剩下 3,133,812m³

還須堆 17,725,180 個人才可堆成

2.如堆成海:758,492,000-6,188= 758485812  還會剩下 758,485,812 m³

還需堆 4,290,078,122 個人才可堆成

(三)伊拉克戰爭的協調抗議活動

總人數的體積:1,000 萬*0.1768=1,768,000

1.如堆成山:3,140,000-1,768,000=1,372,000  還會剩下 1,372,000 m³

還需堆 7,760,180 個人才可堆成

2.如堆成海:758,492,000-1,768,000= 756,724,000  還會剩下 746,116,000 m³

還需堆 4,280,113,122 個人才可堆成

(四)印度大壺節

總人數的體積:7,000 萬*0.1768=12,376,000

1.如堆成山:3,140,000-12,376,000=-9,236,000

可以堆成 

2.如堆成海:758,492,000-12,376,000= 746,116,000

還需堆 4,220,113,122 個人才可堆成

(五)印度最大集體罷工

總人數體積;1.8 億*0.1768=31,824,000

1.如堆成山:3,140,000-31,824,000=-28,684,000

可以堆成

 2.如堆成海:758,492,000-31,824,000=726,668,000

還需堆 4,110,113,122 個人才可堆成

四、結論

將上面的各種情境整理成下表:

我們利用計算體積的方式求出了人，山和海，再找幾個例子來計算人山人海的完成度。最後得到的結果為:如果以我們一般看的演唱會或球賽，人數大約只有 20~30 萬人左右，根本沒辦法堆成一座山或海，若真的要堆成一座山或海，起碼要上億人以上，顯然這是一件非常困難的事，事實證明，人山人海是一個跨飾法的成語。

作者 王筑怡、粘瓅勻、王詠澤

一、研究動機

2019 年中旬，美國華裔數學家羅博深提出了一元二次方程式的極簡解 法。卻有許多專家學者提出質疑，認為這是抄襲古人的解法，而這也讓我 們開始想深入研究了解所謂一元二次方程式的”極簡解法”以及它與”公 式解”相比，究竟有何異同?

二、研究背景

1. 探討極簡解法與公式解有何異同。

2. 採樣進行施測，實際比較兩種方法之優異。

3. 了解古代一元二次方程式之幾何解法。

三、研究過程

 I.公式解與極簡解法之比較

 A. 計算方式:

B. 比較:

任何一元二次方程式

同除以 a 得:

即為極簡解法中的

又極簡解法中

代入(1)式得:

故

即是

由公式解得:

即

用式子

來求Z值→好計算!

II. 採樣施測

實際了解公式解和極簡解法何者比較快，於是採樣彰化縣某國中一個 國三班級(共 23 人)進行施測。

A. 施測題目(共15題):

B. 施測結果:( 時間 )

C. 施測結果比較:

(1)極簡解法所用平均時間最短!

解方程式平均時間相差了 1 分多鐘，「極簡解法」比「公式解」快速!

(2)比較「前 3 名」與「後 3 名」之時間:

得到「極簡解法」比「公式解」所需時間整整相差了快 2 至 3 分鐘!

III. 幾何解法:

➢ 斯濤德方法: 為例

19 世紀德國數學家斯濤德(1798-1867)給了一個非常巧妙的一元二次 方程式的幾何解法。

在直角座標中取連接𝐴𝐵，與圓心為 C( 0,1)的單位圓，交於 D、E 兩點，將單位圓的頂點 M ( 0,2)與點 D、E 分別連接，並延長，分別與 x 軸於 F( c, 0)、G( d, 0)，則 c 與 d 就是方程式之解。

➢ 卡萊爾方法:
對於 𝑋² +𝑏𝑋+𝑐=0 作一個以(0,1)、(−b,𝑐) 為直徑兩端

點的圓，則

四、參考文獻

1. A Simple Proof of the Quadratic Formula( 作者 Po-Shen Loh∗ ) (https://arxiv.org/pdf/1910.06709.pdf

2. 一元二次方程的幾何解法

http://m.fx361.com/news/2019/0418/5028366.html

作者 蔡文翔、林翊翔、陳奕瑋

一、研究動機

相信大家都聽過「天上一天，人間一年」這句話，源自於《西遊記》第四回「官封弼馬心何足，名注齊天意未寧」。孫悟空知道弼馬溫職位太低後，一怒之下回到了花果山，一群猴都來叩頭，迎接進洞天深處，請猴王高登寶位，一壁廂辦酒接風都道:「恭喜大王，上界去十數年，想必得意榮歸也?」猴王道:「我才半月有餘，那裡有十數年?」眾猴道:「大王，你在天上，不覺時辰。天上一日，就是下界一年哩」。我當時認為不太可能吧!但是後來想了一下，或許是有可能實現的，只是在不同的情境與數學環境裡。因此，我們必須證實這想法的可行性和真實性，經過我們小組成員的討論後，發現有可能有下列三種想法。

二、想法說明

(一)神話理論

傳說中天庭是在某一個天體上，上面有著各式的神，據說它也是最原始的生命體星球，它的自轉周期是 365 天，也就是一個日落，等於是地球的一年。

(二)科學推測理論

有一種說法是「當速度達到光速時，基本上時間不流失」。這個概念愛因斯坦在相對論(E=mc2)中所提到，若你坐在以光速行徑的火箭上，到宇宙空間去旅行一年，當你回到地球上時，你的兒子已經變得白髮蒼蒼了，自己卻還是很年輕，以光速運動的鐘變慢了，鐵片也變短了，就連時空和光線都是彎曲的。

(三)公轉自轉原理

就像你站在太陽上，看著地球上的人，地球轉了一圈，也就是過了一天，而地球繞著太陽轉，也就是一年。可想而知，他再次看見你，也就是地球上的人花了一年的時間。因為前面兩個想法，目前以我們的能力去解釋有點困難。所以我們打算使用「公轉自轉原理」來進行探討。

三、理論依據

我們先談人類是如何定義一年為 365 天的，一年是地球繞太陽的時間是 365.25636042 太陽日(一晝夜)。我們為了方便記錄才設定一年為 365 天，每年誤差 6 小時又 9 分 10 秒。所以每四年，在 2 月補上 1 天，作為閏年，這樣就是一年。

四、數學觀念

我們先把一年的秒數去除以一日的秒數，得到 365.242199074(31556926/86400)。再把一日的秒數去除以一年的秒數，得到 0.00273790926(86400/31556926)。因為地上365.242199074 天，為天上的一天，所以天上的 0.00273790926 天，為地上的一天。從上述的條件中，我們可得知天上才過 3 分鐘又 56.555360064 秒，地上就過一天了。天上 1 天約為地上 365 天，則二者相差 365 倍。天上的 1 秒約為地上的 365 秒，為地上的 6 分鐘。地上的 1 天，約為天上的 1/365天，約為天上得 236.7 秒，約為天上的 3 又 47/50 分鐘。我們以地球繞太陽一圈為一年，而一年為 365.25636042 天，約為 364 又 1/4 天左右，地球和天上相差 365 倍，所以天上過了 3 分鐘又 56 秒，地上就過了一天。

但因為對於宇宙而言，時間並不是一成不變的，它會隨著速度的增加而變慢，制就是相對論中所提到的「時間膨脹」，在太空飛行中的人造衛星上的時間其實比地球上的時間慢那麼一點點的，會造成這樣的現象，其實是因為衛星的運行速度快的原因。人類給了這一條時間線定義，地球上一年是 365 天，但對其他太陽系的星球可不是。

五、天上一天人間一年的驗證

既然我們已經了解「天上一天，人間一年」的基本道理了，那我們用這個道理計算一些問題。

(一)牛郎和織女的故事

大家都知道牛郎和織女，是在 7 月 7 日見一次面，也就是人間一年，而一年約為 365 又1/4 天，也就是差不多為 525960 小時。天上 1 年，為地上 365 年，假設牛郎 80 歲，80*365=29200，29200*0.00273790926=79.946950392，也就是牛郎的 80 年歲月結束時，天上才過了 80 天左右，書上書到{牛郎確實是凡人}，那他根本見不到織女了。只不過如果牛郎像神話說的知名人物彭祖一樣活到 820 歲，820*365=299300，299300*0.00273790926=819.456241518，也就是牛郎 820年歲月結束時，天上才過 819 天，而 819/365=2.24，也就是兩年 ，那他理論上也只能見 2 次。玉帝果然非常的狠心，給了一個牛郎無法實現的偽善承諾!

（二）太空人在月球的時間觀

若用上述的知識，我們想探討太空人在宇宙中航行時的時間。以阿姆斯壯為例，他在月球時地球上過了多久?我們由《維基百科》中所得到，阿姆斯壯它們在月球上待了 2 小時又 30分鐘，也就是天上的 150 分鐘，經過換算得到是地上的 54000 分鐘也就是 37 又 1/2 天，這樣他們準備的食物就必須多準備一點了呢，但是事實上他們並沒有人那麼多的食物，且我們是以不考慮從地上到天上中間的時間差，而是單純以在天上的觀點來進行計算。

(三)羅馬傳說

在羅馬有一則傳說是:有七個小夥子因基督徒鎮壓期間，沒有辦法只好躲在高山的山洞中。在山洞中，他們睡著了，當他們睡醒時，肚子也餓了，於是便起床買東西，令大家都沒有想到的是他們一睡就睡了 200 多年，這件事傳便了大大小小的地方。但是它真的可信嗎?我們先假設他們所在的位子足夠稱作為所謂的天上，則地上的 200 年只為天上的 200 天，假設他們帶的食物能夠撐過 200 天，那麼就也許有可能成立。不過和上一個例子一樣，是在不慮地上至天上路程中的時間差。

六、結語

「天上一天，人間一年」這一件事情以目前來說是並沒有一個完整的正確答案，有人覺得時間是必定相同的，你的一秒和他的一秒是一樣快的，你有 24 小時，而我也有 24 小時，所以正常思考方式的邏輯，是無法證明「天上一天，人間一年」的。而電影情節和物理學是用重力及相對論等等，違反經驗法則的說法證實「天上一天，人間一年」的。

作者 黃子毅、黃子誠

一、研究動機

現在每個人都常用 Youtube，可能是看網紅、遊戲、生活影片，或是聽音樂等，來娛樂自己。我也一樣喜歡用 Youtube，尤其是聽音樂，但我會看一個重要的地方來篩選我想聽的音樂，那就是影片底下的點閱率。點閱率，對我來說是一個神奇的東西，我對它有著許多的問題，我常常在想:點閱率甚麼時候會變多?甚麼時候會變少?甚麼時候點閱率會最多?什麼原因使點閱率一個月或是半年、甚至是一年，都能維持不動?舉個例子:‘Bon Appétit’這個音樂影片過了一年，但它的點閱率還是維持在 60 萬上下。所以我一直在想，到底是甚麼原因呢?我想找一個方法把不同種類的音樂影片歸類。

二、研究背景

之於歌曲的比較，我們決定使用各有其優缺點的歌曲，例如 2019 幾個最有熱度的歌曲。比較第一天、第二天、第三天直到大約第十天的點閱率上升情況，再比較一個月、兩個月…大約的點閱率上升狀況。藉此可以去推算未來一天、一周甚至一個月的點閱率情形。我們可以利用上述種種不同的情形來歸類，分成四大類:爆發型、持久型、既爆發又持久、不爆發又不持久。這些又是甚麼意思呢?爆發型，也就是單曲發行後點閱率上升速度極快，但只維持幾天而已，日後上升速度偏慢;持久型，雖前幾天點閱率不多，但維持許久，且上升速度不明顯掉落;既爆發又持久，可說是神曲，不但第一天或第二天點閱率較其他的多很多，日後的上升速度也極快;不爆發又不持久，算是大眾普遍不喜歡的歌曲，不但前幾天點閱率少，日後也不多人聽，上升慢。

三、探究方法

歌曲方面，我們選擇了 2019 的熱門歌曲來做「不同歌手之熱門歌曲點閱率比較」，有 Lil

NasXft.BillyRayCyrus“OldTownRoad”、TaylorSwift“ME!”、ArianaGrande “7rings”、Billie Ellish “bad guy”、Shawn Mendes, Camila Cabello “Señorita”、 BLACKPINK “Kill This Love”、Katy Perry“Cozy Little Christmas”。

我們以(12 月 14 日)前，這五首熱門歌曲在 Youtube 發布五個月的點閱率來做比較，並統計成一張表格。*(以下表格為大約的點閱率。)*

利用以上表格，把歌曲歸類。

再來是擬定這些類型的標準，以十五天當作標準。

(一)爆發型
以 Taylor Swift “ME!”當作例子，第一天點閱率為 5690 萬、第二天有 2700 萬、第三天有 1200 萬、第四天有 1100 萬……第六天有 800 萬、第七天有 750 萬…第九天有 600 萬、第十 天有 400 萬……第十五天有 260 萬。第十五天只剩下第一天的二十分之一。所以將爆發型擬 定為:當第十五天的點閱率大約只剩下第一天的二十分之一時，且第一天點閱率要超過 2000 萬。再以 Taylor Swift “…Ready For It?”驗證，第一天為 2030 萬，到第十五天時只剩 90 萬， 大二十分之一，所以這首歌也是爆發型。

(二)持久型
以 Ariana Grande “7 rings”當作例子，第一天點閱率為 2270 萬、第二天有 950 萬、第三天有 850 萬、第四天有 850 萬……第六天有 650 萬、第七天有 550 萬…第八天有 490 萬、第十 天有 490 萬……第十五天有 490 萬。到第二個月時每天平均點閱率也為 490 萬，可真為「持久型」。所以將持久型擬定為:當一個月過後，每天點閱率相差不超過 150 萬及為持久型。再 以 Billie Ellish “bad guy”驗證，第二個月大約平均為 380 萬，最高為 430 萬，最低為 340 萬， 相差並沒有超過 150 萬，所以這首歌也是持久型。

(三)既爆發又持久

以 Shawn Mendes,Camila Cabello “Señorita”當作例子，第一天點閱率為 2880 萬、第二天 有 2600 萬、第三天有 2600 萬、第四天有 1600 萬、第五天有 1200 萬……第七天有 1000 萬… 第八天有 1000 萬、第十天有 900 萬……第十五天有 880 萬。第一整個月每天點閱率也沒度低 於 650 萬，第二個月大約平均 540 萬，最高 600 萬，最低 490 萬，相差並每有超過 150 萬。所 以將既爆發又持久型擬定為:同時符合爆發型和持久型，及為既爆發又持久型。

(四)不爆發又不持久

以 Katy Perry“Cozy Little Christmas”為例，第一天點閱率為 360 萬、第二天有 100 萬、第 三天有 80 萬、第四天有 60 萬、第五天有 60、第六天有 55 萬、第七天有 50 萬、第八天有 50 萬、第九天有 50 萬、第十天有 45 萬。整體點閱率頗低，整體表現不佳。所以不爆發又不持 久的標準直接用目測來分辨。

Taylor Swift “ME!”在 4 月發布的前後一個月確實受到“Billboard” 、“E!News”或是 歌迷的高度關注，但到了年底各項音樂獎項的年度歌曲卻沒出現。Billie Ellish “bad guy”、 Shawn Mendes,Camila Cabello “Señorita”這兩首當時分別在 3 月及 6 月發布，當時在 BillboardCharts 的百大歌曲獲得第一名，現在年底結算依舊保持亮眼的成績，現在點閱率都突 破了 6.5 億、按讚也突破 1100 萬。所以，點閱率和熱度其實中間是很有關係。

四、結論

點閱率的上升其實就像速率問題，一天上升的點閱率就是速率，一天就是時間，總點閱 率就是距離。這次的研究就是探討「速率」，但速率會每天在變動，也就是「平均速率」。如 果不知道第一天點閱率，讓我們無法判斷這首歌當不當紅，但是我們可以依平均速率知道這 首歌的熱度，並且推估什麼時候退燒，還是繼續燒。也可以從速率大約推測未來這首歌的點 閱率及熱度。而我們用了四個分類方法，發現熱度的時間和點閱率真的與我們分類的情況很 相同。說不定，各大排行榜也許是用熱度來衡量歌曲。總而言之，我們使用基本的「速率問 題」來分類歌曲，再以類別和點閱率評斷熱度，最後選出想聽的歌。

作者 何錦昌

在我小時候，常常會想著長大後要成為一個很有錢的人，當我把這個理念告訴爸爸時，他都會說如果要有錢就必須要學會儲蓄和理財，而儲蓄也是需要很多方法和技巧的。因此，我就在思考國中生如何透過零錢來致富，若能從小做起，經過時間的累積應該可以積少成多，會支出 30 元，加起來就是 90 元。但如果能把吃零食的錢省下，把飲料改成 10 元的麥香奶茶，成為富翁。

如果可以的話，我們應該可以從自己的零用錢開始存起。我發現我跟同學們的零用錢大約是每天 50 到 100 元，而每日主要支出項目大都是吃零食、喝飲料和夾娃娃，每一項大約都而且只花 20 元來夾娃娃的話(因為要夾出一個耳機或吊飾至少要 20 元的花費)，就只要原本的三分之一，一天就能節省 60 元，一周可省 420 元，一年更可省下 21,900 元的龐大金額，這樣子一年就可買一支不錯的手機了。如此一來，我們就可以把省下的零用錢透過存款或是投資理財的方式，經過複利後，應該可累積一筆可觀的金額。

常見的存錢或理財方式大概可分成無利息、活期存款、定期存款和基金投資等方式，互相搭配一下之後，可以分成以下五種方式(各種利率以國內銀行目前的概約利率與基金投資獲利率計算):

1、 定時定額─無利息

2、 定時定額─活期存款(假設年利率 0.2%，每年計息一次)

3、 定時定額─定期存款(假設年利率 1.08%，每年計息一次)

4、 定時定額─活期存款+定期存款(假設年利率 1.08%，每年計息一次)

5、 定時定額─投資基金(假設年獲利率 6%，每月計息一次)

我們試著假設小明是國一學生，每天都有 100 元零用錢，而且他全都存起來，她國中畢業後能存到多少錢。存錢的第一年是 2019 年、第二年是 2020 年(閏年)、第三年是 2021 年，以下就把這五種存錢理財法列出來，並計算各方法的獲利情形：

1、 定時定額─無利息:

小明一個月可存 3000 元，一年就有 36,500 元(第二年是 36,600 元)。3 年後就是

36,500+36,600+36,500 = 109,600 元。

2、 定時定額─活期存款(年利率 0.2%，每年計息一次)

第一年:每月零用錢均放入活期存款帳戶，到年底

本金為 36,500 元

利息為 36,500 × (0.002) = 73 元

本利和 36,500 + 73 = 36,573 元

第二年:本金為 36,573 + 36,600 = 73,173 元

利息為 73,173 × (0.002) = 146.346 ≒ 146 元

本利和 73,173 + 146 = 73,319 元

第三年:本金為 73,319 + 36,500 = 109,819 元

利息為 109,819 × (0.002) = 219.638 ≒ 220 元

本利和 109,819 + 220 = 110,039 元

獲利:110,039 – 109600 = 439 元

3、 定時定額─定期存款(年利率 1.08%，每年計息一次)

第一年:到年底，本金為 36,500 元，放入定存。

第二年:到年底，第一年所存金額本利和:

36,500×1.08=39,420 元

第二年零用錢收入 36,600 元

第二年放入定存金額:39,420+36,600=76,020

第三年：到年底，第二年所存金額本利和：76,020×1.08=82,101.6≒82,102

第三年零用錢收入 36,500 元

總和:82,102+36,500=118,602

獲利:118,602 – 109,600 = 9,002 元

4、 定時定額─活期存款+定期存款(年利率 0.2%，每年計息一次)

第一年:每月零用錢均放入活期存款帳戶，到年底

本利和為 36,500×(1.002) = 36,573 元，放入定存

第二年:到年底，第一年所存金額本利和:

36,573 × 1.08 = 39,498.84 ≒ 39,499 元

第二年零用錢收入:同第一年作法，

本利和為 36,600×(1.002) = 36,673.2 ≒ 36,673，加入定存

第二年放入定存金額:39,499+36,673=76,172 元

第三年：到年底，第二年所存金額本利和：

76,172 × 1.08 = 82,265.76 ≒ 82,266

第三年零用錢收入:同第一年作法，

本利和為 36,500×(1.002) = 36,573 元

第三年總金額:82,266+36,573= 118,839 元

獲利:118,839 – 109,600 = 9,239 元

5、 定時定額─投資基金(年獲利率 6%，月利率為 0.5%，每月計息一次)

第一年:每月零用錢均存入基金帳戶

1 月 3,100 元月底存入銀行，到年底共計息 11 次

3,100×(1.005)11≒3,275

2 月 2,800 元月底存入銀行，到年底共計息 10 次

2,800×(1.005)10≒2,943

3 月 3,100 元月底存入銀行，到年底共計息 9 次

3,100×(1.005)9≒3,242

4 月 3,000 元月底存入銀行，到年底共計息 8 次

3,000×(1.005)8≒3,122

5 月 3,100 元月底存入銀行，到年底共計息 7 次

3,100×(1.005)7≒3,210

6 月 3,000 元月底存入銀行，到年底共計息 6 次

3,000×(1.005)6≒3,091

7 月 3,100 元月底存入銀行，到年底共計息 5 次

3,100×(1.005) 5≒3,178

8 月 3,100 元月底存入銀行，到年底共計息 4 次

3,100×(1.005)4≒3,162

9 月 3,000 元月底存入銀行，到年底共計息 3 次

3,000×(1.005)3≒3,045

10 月 3,100 元月底存入銀行，到年底共計息 2 次

3,100×(1.005)2≒3,131

11 月 3,000 元月底存入銀行，到年底共計息 1 次

3,000×(1.005)1=3,015

12 月 3,100 元月底存入銀行，到年底共計息 0 次

3,100×(1.005)0=3,100

第一年總金額:37,514 元。

第二年:因為該年(2020 年)是閏年，所以二月零用錢多 100

到年底為:100×(1.005)10≒105

第二年零用錢收入:37,514+105=37,619 元

加上第一年存款每月計息: 37,514×(1.005)12≒39,828 元

第二年總金額:37,619 +39,828=77,447

第三年:每月零用錢總收入和第一年相同

第三年零用錢收入:37,514 元

加上前一年存款每月計息:77,447×(1.005)12=82,224 元

第三年總金額:77,447×(1.005)12+37,514≒119,738 元

獲利:119,738-109,600=10,138 元

將上面幾種方式，整理成表格來做比較:

從以上比較中發現，利率越高，獲利也越多，而且複利的獲利會較高，因此計息的次數越多獲利也越高，而基金投資就會有風險，因此有賺有賠，不可能像定存是穩賺不賠;但是基金投資賺錢的時候獲利率很可能會超過我們設定的 6%，因此獲利還會比前面的範例更多， 但因為有風險的因素，並不是 100%保險，所以若不想承擔風險的話，最好選擇活期存款、定期存款等方法會比較適合。 

作者 歐凱恩、鍾詩晟、李祥宇

1. 研究動機

　　觀賞電影「蜘蛛人：驚奇再起」時，看到蜘蛛人在女主角墜落大樓時發射出蜘蛛絲來拯救女主角，當時離地面僅幾公尺而已！查閱資料後發現真實世界中的蜘蛛絲能乘載極大的重量，因而引發我們想知道一束蜘蛛絲是否真的能當作救命工具，從高空上拯救掉落的人？

2. 探討過程

蜘蛛人是漫威漫畫所創造出來的超級英雄，在一次意外中被蜘蛛咬傷後獲得特殊能力，他自行研發出蛛網發射器以射出特殊的蜘蛛絲，然而在電影中經常使用此蜘蛛絲來拯救墜樓的人們，電影中僅說明蜘蛛絲的成份為特殊化學配方，若要使用真實世界中的蜘蛛絲做到電影中的事情，有可能嗎？再者，蜘蛛人的手臂需承受多少力量呢？

假設有一個人從美國紐約第一高樓-世界貿易中心一號大樓墜落。若想跟電影一樣接近地面時一秒內拉住此人(假設欲使其落地前100公尺速度為零)，此時透過等加速度直線運動公式可計算其速度V₁²=0²+2×9.8×440=8624，因而得出此時速度以從初速V₀=0增加到V₁≈93(四捨五入取近似值至整數位)。

此時若要在一秒內拉住他需對抗的力有重力U=803.6(N)(=mg=82kg×9.8m/s²)，以及使其速度歸所需出的力F=7626(N)(=ma=82kg×93m/s²)，總和為8429.6(N)≈8430(N)(四捨五入取近似值至整數位)。

註：以上討論均以查閱資料所得數據作為計算，其美國人平均體重約莫82kg及美國紐約第一高樓-世界貿易中心一號大樓約541.3≈541m(四捨五入取近似值至整數位)。

若我們以人面蜘蛛絲為例，依所查閱資料數據得知0.02g的人面蜘蛛絲若揉成1條長10cm的絲線，浸泡鹹水後可吊起1kg的物體，倘若要在落地前100公尺時拉住此人，所需長度為441(m)(=541m-100m)，則需的人面蜘蛛絲(完全緊繃狀態)，換算成其可承載的重力為U=43218(N)(=mg=4410kg×9.8m/s²)，故可得知僅一條長441m的人面蜘蛛絲線可輕鬆地乘載從高樓掉下441公尺的一位體重82kg的成年人所造成的力量。

但是，可以利用此蜘蛛絲吊住墜樓的人不代表發射出此蜘蛛絲的人可乘載相對應的力，若我們以2017年12月05日105公斤以上級Lasha Talakhadze抓舉所締造的世界紀錄220kg為例，其換算成重力為U=2156(N)(=mg=220kg×9.8m/s²)，然而此數據(2156(N))遠低於所需的力(8430(N))，故目前人類有記載的抓舉極限不足承受利用蜘蛛絲拉住從世界貿易中心一號大樓墜落到地面前100公尺的人所造成的力量，但如果今天同時有4個人，可乘載的力就倍增至8624N，就可以拯救墜落的人！

如果現今地球也擁有一位像電影裡一樣神威的英雄的話，假設他的手臂可以乘載這些力量，則要將此人從墜落441公尺拉起來到頂樓的能量為W=354387.6(J)(=F×S=803.6N×441m)，然而平常少接觸到焦耳單位，故大腦無法直觀感受到它的大小。若將其轉換為卡路里的話為大卡(四捨五入取近似值至整數位)，若與一杯某知名飲料店的珍珠奶茶(半糖)600大卡比較，則喝一杯珍珠奶茶竟然可以救起7(600/85≈7.05)位從世界貿易中心一號大樓墜落到地面前100公尺的人！則吃一個雞腿便當800大卡更可以救起9(800/85≈9.4)位。

但如果回到現實世界，到目前為止，並沒有像蜘蛛人一樣神威的英雄，於是我們進行了以下討論：若以人類記載的世界紀錄為例，在只有一個人的情況下，至少要在墜樓的人落下到幾公尺時(或者是至少幾秒時)發射出蜘蛛絲救援呢？從上段討論可得知現今人類可瞬間乘載的力為2156(N)，扣除掉一位82KG的成年人掉下時所產生的重力803.6kg，其餘值為1352.4（Ｎ），由牛頓第二運動定律可得知此力可給予82kg的成年人16.5m/s²的加速度，意指當此人墜落速度增至於16.5m/s時，此力可於一秒內拉住。但此速度換算成墜落時間為1.68秒(=16.5/9.8≈1.68)，此時間代表現今人類幾乎無法反應及利用蜘蛛絲迅速救援墜落人們。

3. 結論　　

我們一開始的問題是想探討，一束蜘蛛絲真的能夠當成救命工具嗎？我們真的能像電影中蜘蛛人一樣用蜘蛛絲救人嗎？經過我們上述的探討，首先我們透過等加速度直線運動公式得出落地100公尺前的末速為93m/s，而瞬間要拉住他力量的總和約莫為8430(N)，倘若要在剩下100公尺處拉住他，則需要441公尺的蜘蛛絲(完全緊繃狀態)，換算其可承載的重力為43218(N)，故可得知僅一條442公尺可輕鬆的承載82公斤重的成人掉落所造成的力量。

經過上述的計算，我們發現抓舉世界紀錄220公斤也不足以承受掉落所產生的力量，但是我們發現，如果將其產生的能量轉換成卡路里，人手一杯的珍珠奶茶竟可以救起7位掉落的成人。我們也發現一個人的力量不可能完成這件事情，但倘若有4個人便可以完成這項任務，這也讓我們回憶起老師時常告訴我們的團結力量大！