作者 李尚謙／臺中市立文華高級中學

立春是二十四節氣中的第一個節氣。古人常藉詩詠懷，如唐代詩人白居易曾寫道：「立春後五日，春態紛婀娜。白日斜漸長，碧雲低欲墮。」描寫的便是立春過後，春意漸濃的各種景物。

今年除夕在某網路媒體(2019.02.04)出現與立春相關的報導，

『標題：《超罕見》今天除夕逢立春、豬年「兩頭無春」！下一次要等到2057年

內文：今年農曆除夕巧遇二十四節氣中的「立春」，也因此即將到來的農曆豬年「兩頭無春」。這種情況非常非常少見，100年裡只有3次，分別是2019年2月4日、2057年2月3日、2076年2月4日。換句話說，過了今天，下一次得等到38年之後的2057年……

另外值得一提的是，農曆豬年為2019年2月5日至2020年1月24日，2019年的立春在2月4日，此時仍然是農曆狗年，2020年的立春同樣也在2月4日，但那時已經是農曆鼠年了。所以農曆豬年沒有「立春日」，也就是所謂的「兩頭無春」。

中國民間有一種說法，「兩頭無春」的年份在是「寡年」「盲年」，不適合嫁娶。』

這篇報導提到了一個說法－「兩頭無春」，並強調100年中只出現了3次。這引起了我的好奇，究竟什麼是「兩頭無春」？真的如此少見嗎？會不會有其它的可能性呢？

首先我搜尋了農曆與24節氣的規則，農曆其實是陰陽合曆，既考慮太陽運行的迴歸年，也納入月球運行的朔望月，朔望月平均長度29.53天，以朔日(完全没有月亮的那一天)為每月的初一日，農曆没有閏月的年份(以下簡稱農曆平年)有12個月，只有354或355天。有閏月的年份(以下簡稱農曆閏年)有13個月，總天數為383或384天。因此在農曆平年天數比國曆少了11天左右，但農曆閏年比國曆多了18天左右。而相鄰兩節氣間隔天數約15或16日，同一節氣例如春分至下一個春分的間隔是固定的，約是一個迴歸年的日數365或366日。

因農曆平年比迴歸年少了11天，小於相鄰兩節氣間隔天數，有可能少了某一個節氣，所以平年節氣數為23或24個。而農曆閏年比迴歸年多出18天，大於相鄰兩節氣間隔天數，必會多出一至二個節氣，所以閏年節氣數為25或26個。

接著我想要知道農曆閏年多出或平年短少的節氣一定是立春嗎？

我查詢了農曆置閏的規則，其中最重要的是若兩個相鄰的冬至間(即歳實)有13個朔日(就是没有月亮的日子即初一)，則此歳中第一個無中氣月需設置閏月。另一個相關的規則是冬至必在農曆十一月內，而冬至通常在國曆12/21或12/22。若冬至落在最早的農曆十一月初一，則正月初一就出現在二個月後。若冬至落在最晚的農曆十一月三十，則正月初一就出現在一個月後。因此春節通常出現在國曆1/21至2/20間。

按此推算，因農曆閏年較迴歸年多出約18至19日，而翌年的春節不可能晚於國曆2/20，所以農曆閏年的正月初一不可能晚於國曆2/2，自時憲曆1645年施行一千年內，閏年春節出現在最晚的2/2有三次，分別是1832年、2204年、2318年。

若閏年春節出現在最早的國暦1/21，翌年的春節將出現在2/8或2/9。

若閏年春節出現在最晚的2/2，翌年的春節將出現在2/20或2/21。

因此，無論閏年春節出現早或晚，該年都將有兩個立春。而平年天數較迴歸年少，節氣數只會少於或等於24個，不會有第二個重覆的節氣，故雙立春必僅出現在閏年。

接下來我想知道除了立春以外，有没有其它節氣會有類似的狀況嗎？

上文提到春節通常在國曆1/21至2/20間，這段時間可能經歷3個節氣，依序為大寒(1/19~21)、立春(2/3~5)、雨水(2/18~20)，若春節早於大寒或立春，或者晚於雨水，在一個農曆年內就有可能頭尾重覆出現同樣的節氣，立春已於上文討論，只剩下大寒與雨水有機會。

所以農曆年有可能包含兩個雨水嗎？

雙雨水的出現，除了必要的閏年條件外，因閏年的春節最晚出現在2/2，必在雨水(2/18~20)之前，所以若下一年的春節晚於雨水出現的日子，農曆閏年即可包含兩個雨水。

(1)若雨水在國曆2/18，那麼春節應該出現在2/19或2/20。
(2)若雨水在國曆2/19，那麼春節應該出現在2/20。
(3)若雨水在國曆2/20，除非春節出現在正常區間以外的2/21。

在1645年到2644年的1000年當中，春節次數統計如下表

出現在國曆2/19的29次春節中，其中有6次(*)雨水出現在2/18。

下圖以西元年依序排列

1700*	1719	1738	1776	1871
1901	1939	1996	2015	2034*
2053*	2072	2110	2129*	2292
2311	2330	2368	2387	2406
2425*	2444	2501	2512	2558
2577*	2596	2607	2626

出現在國曆2/20的10次春節中，其中有8次(*)雨水出現在2/18或2/19。

1833*	1852*	1920	1985*	2148*
2167*	2205*	2224	2243*	2615*

以過去最接近的1985年為例，春節出現在2/20，當年的雨水出現在2/19，那一天是農曆甲子年的12月30日，前一年1984年的雨水也在2/19，那一天是農曆1月18日，也就是1984甲子年出現了兩個雨水。雙立春雙雨水常被視為吉兆，象徵風調雨順、國泰民安，下一個將到來的雙春雙雨將出現在2033癸丑年。

更極端的例子出現在2319年，在1000年中出現了唯一2/21的春節，當年的雨水在2/20，那一天是農曆戊戌年的12月30日，前一年2318年的雨水在2/19，那一天是農曆戊戌年的1月18日，也就是2318戊戌年出現了兩個雨水。

總結在1000年中，雙春雙雨共出現了15次，但頻率並不固定，相鄰兩次間隔可近至19年，但也可超過150年，依西元年表列如下

1699	1832	1851	1984	2033
2052	2128	2147	2166	2204
2242	2318	2424	2576	2614

那麼農曆年有可能包含兩個大寒嗎？

農曆年若要包含兩個大寒，除了必要的閏年條件外，春節必須出現的極端地早，必須早於或至少等於大寒日，而大寒通常在國曆1/19至1/21，春節通常在國曆1/21至2/20間，如下圖如示。春節早於大寒日的可能性極低，但有機會出現在1/21最晚的大寒日，亦即大寒和春節同時出現在1/21，

若大寒和春節同時出現在1/21，連帶地排在前二個序位節氣的冬至也會最晚，應該出現在可能日期中的農曆十一月最後一日。冬至到大寒為相鄰兩中氣，差距約29日又10時，變動不大，而十二月初一到正月初一為相鄰兩朔日，差距為一個朔望月，變動幅度較大，最長可達29天19小時，最短為29天6小時，平均長度約為29天12小時。冬至與農曆十二月初一相差一日，但兩節氣相距時間與兩朔日相距時間相差有限，幾乎相等。

下圖假設大寒與春節同為1/21的情況真的發生時，冬至和朔日間的關係，可以看出大寒與春節同時出現在國曆1/21的可能性非常低，幾乎不可能發生。

在1645年到2644年的1000年當中，1/21春節只出現了18次。

依西元年排列

1651#	1670^	1689^	1765#	1795#
1814#	1890#	1966#	2061^	2099#
2186#	2262#	2281#	2357#	2471#
2490#	2539#	2634#

(#)1/20大寒、(^)1/19大寒

其中没有任何一次大寒出現在1/21，這意味著自1645年時憲曆施行後一千年內並未出現雙大寒的情形。

我將以上資料與推論作一個總整理

(一)農曆閏年是雙節氣的必要條件，閏年必有雙立春，雙立春必出現在閏年，約二至三年出現一次，出現雙春的下一年未必無春。若2年一閏，第一年閏年必有雙春，第二年平年必無春，若3年一閏，第一年閏年必有雙春，第二年平年可能為尾春或無春，對應第三年平年可能為無春或頭春，如下圖。

在農曆19年7閏周期中，必有19個立春。7個閏年代表有7個雙春年，每一個雙春年必對應一個無春年，剩下5個單春年，但單春年的立春出現在年頭或年尾皆有可能。

雙春年出現機率為7÷19≒0.37，無春年出現機率也為7÷19≒0.37，反而一年內只有一個立春的單春年出現機率只有5÷19≒0.26，平均約4年才會出現一次單春年。

(二)除了雙立春以外，農曆閏年也可能出現雙雨水，但難得一見，在1645年到2644年的1000年當中，雙立春雙雨水共出現了15次，間隔並不固定，出現機率為15÷1000=0.015。

(三)出現雙大寒的可能性極低，1000年中未曾出現過。

(四)除了立春與雨水外，同一個農曆年內不會有其它節氣重覆出現。

媒體報導中的「兩頭無春」非常非常少見，100年裡只有3次，應是指除夕適逢立春，翌年又是無春年的特殊情形，即便如此，仍比不上雙雨水的百年罕見。

面對誇大的新聞標題，我們應保持理性客觀檢視並深入探討，才有機會撥雲見日。

參考資料

〔1〕https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BE%B2%E6%9B%86維基百科-農曆

〔2〕https://www.storm.mg/article/909874風傳媒

〔3〕http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.139.9311&rep=rep1&type=pdf新加坡國立大學數學系

〔4〕https://www.ntdtv.com/b5/2018/02/04/a1362258.html新唐人電視台

作者 權嘉、謝念彤／慈大附中高中部

「好奇心是科學工作者產生無窮的毅力和耐心的源泉。」—愛因斯坦

近幾年來，以「時空變換」為題材的電影，愈加吸引觀衆的眼球。這些結合科幻、驚悚、懸疑、燒腦為一體的視覺盛宴，主角往往在超越時空的過程中，因為種種不可預知的原因下，無法順利重返自己的家園。他們會想盡一切辦法，結合自己所學的知識，嘗試避免事故再度發生。但螢幕前的我們只能提心吊膽的牽掛著主角未卜的命運，靜靜的守候後續的發展，其他都無濟於事。

2018 年 10 月 21 日下午四時五十分，臺鐵 6432 次普悠瑪自强號列車在新馬車站旁發生火車脫軌事故，全車 366 人，18 人死亡，215 人輕重傷，震驚社會大衆。此次發生事故的臺鐵TEMU2000 型電聯車是投入營運以來第一次發生如此嚴重的死傷，所有人的目光都關注著事故原因的調查結果，作為高中生的我們也不例外。我們多麽想超越時空，幫他們「度」過回家的路啊。

隨著新聞媒體雜七雜八的報導，獲取的大量資訊也引起我們的好奇。「列車過彎超速」、「新馬站彎道過急」、「列車 ATP 關閉」、「350 度大彎道！」、「超速 140km/hr」……我們注意到諸多的討論聲浪都有它們共同的特點，沒有數據作為依據，或是利用數據危言聳聽的嫌疑。於是我們想要查詢出相關參數，結合在學校學習的知識，用數字説話，找出答案。

根據行政院事故調查小組公佈的結果顯示，列車超速過彎是導致脫軌的原因之一。6432次普悠瑪列車過彎速度高達 140km/h，過彎並未減速，遠超過新馬站過彎速限70~85km/h。可是根據車輛參數，TEMU2000 型電聯車的設計最高速度是 150km/h，營運最高速度是130km/h，明明在合理的速限內，為什麼要在新馬站過彎限速呢？

經過進一步查找資料，我們發現過彎限速與新馬站 306「度」的彎道有關，而這個 306「度」是鐵道的曲線半徑，也就是指鐵道的彎曲程度。新馬站的 306「度」軌道是全台灣最彎的路段之一，所以列車經過時需要限速，就像開車過彎時需要減速一樣。下圖是台灣鐵路局-列車曲線運轉速度表，傾斜式列車通過曲線半徑 306 公尺的彎道安全速度為85km/h,所以事發列車若超過限速確實會有不安全的隱憂。

表格中的黏著係數指機車動輪不空轉時的最大輪周牽引力與黏著重量的比值﹐也就是摩擦係數。因為我們不瞭解事發鋼軌是否做撒砂處理，東部地區環境又潮濕，故採用三種情況分別計算。

而當時的火車時速又是多少，才導致了火車的翻覆？根據已知的資料，台鐵表示當時列車是以 140km/hr 進入半徑 306 公尺的新馬站彎道，但司機卻說當時控制車速在 82、83 公里，雙方說詞不同，而事後台鐵員工也表示當時數位時速顯示 57 公里，但 ATP 卻顯示 100公里，各方表示的時速都不盡相同，到底正確的時速是多少呢?於是，我們利用影格分析事發時的監控錄像來計算普悠瑪事發時速，計算方法以火車全長（含車頭 22095mm、車尾20700mm）

經過參照物柱子的時間差來計算。已知參數如下：
總車長：22096𝑚𝑚 × 2 + 20700𝑚𝑚 + 6 = 168390𝑚𝑚
車頭過第一根柱子時間：1”23
車尾過第一根柱子時間：6”21
經過時間 ：4”28 → 4.9 秒
168390 ÷ 4.9 × 3600 = 123.7𝑘m/ℎ𝑟

經過影格分析，我們算出的事發列車通過時速是 123.7km/hr，並未到 140km/hr。雖然有影片畫質和影格截取等外在影響因素，也會有少許的誤差。但和台鐵公布的 140km/hr，還有司機方面的 82、83km/hr 都有明顯的落差。孰是孰非，無人知曉。而且，時速 123.7km/hr也遠超過官方規定新馬站過彎速限70～85𝑘m/ℎ𝑟。

這讓我們想到 2005 年 4 月 25 日，日本也發生過和台灣一樣的翻車事件。因為火車誤點了 1 分 20 秒，司機為了避免「JR 西日本」的誤點處分，以時速 116km/hr 經過曲率半徑 304 公尺的彎道，而此路段的安全限速是 70km/hr，因此而翻車。但據瞭解，原本這段道路並不是如此彎曲，而是在 1997 年時，JR 為了縮短至尼崎的行車耗時，在塚口以南貨物站的改建工程中，將曲率半徑由原本較緩和的 600 公尺改建較彎曲的 304 公尺，所以才會和新馬站一樣有過彎限速。

但台灣的鐵路也不只有新馬站需要過彎限速，在瑞芳-猴硐路段、八堵-四腳亭路段、南靖-後壁路段，曲線半徑都有 300~400 公尺。以普悠瑪來說，限速也都在 85 公里，都是有危險性的。可見，彎道對高速列車的影響是很大的。

除了彎道對高速列車會有很大的影響，列車的傾斜角度也是會有影響的。經過查詢交通部鐵路工程局的資料，臺鐵採用 1067mm(窄軌)軌距，軌道外軌超高上限為 105mm.我們假設軌道外軌超高傾斜角為 θ，可以得出：

倘若沒有其他外在因素，根據以上數據我們可以知道，即使普悠瑪列車未依照限速規定通過彎道，只要列車時速控制在 112.41km/hr 以下，都可以安全通過。

存在物就像是奔騰不息的河流，事物處於不斷變化之中。—馬可·奧勒利烏斯：《沉思集》

在不同的軌道面黏著係數和傾斜角的情況下，列車最大過彎時速：

表格中普悠瑪列車在新馬站彎道不同軌道面黏著係數、不同軌道傾斜角的數據環境下，計算得出的過彎最大時速都稍大於臺鐵營運限制最高時速。這些速度差可能來源於軌道壽命、乘車舒適度、輪緣傾斜角等其他外在因素。

「學問是解決問題的，而且真的學問是解決自己的問題的。」—梁漱溟《出世入世》

經過研究普悠瑪事件，我們意外發現儘管生活在資訊科技發達的社會，想要取得正確的資訊仍然是一波三折，且還會推諉責任。例如：人民對政府掌握的公共領域的資訊，並非垂手可得，甚至無解！同時我們發現數字的背後隱藏著不可告人的秘密，以致媒體斷章取義、做出誇張不實的報導。這時我們就需要有敏銳的判斷力和對數字的敏感性，不能人云亦云。

我們在探究的過程中，釐清了媒體對於彎道曲率半徑的概念混淆，也用數字解答了我們的疑惑。通過計算水平過彎和傾斜過彎的速度極值瞭解設置外軌超高提高行車效率的意義。思考臺鐵新馬站彎道的限速和利用影格分析出的列車事發速度，對比我們模擬計算的理論最大安全速度，得出結果： （一）我們利用影格分析的事發車速數據高於理論最大安全速度，證實超速是悲劇的肇因之一；（二）臺鐵對於該路段的限速略低於理論最大安全度，説明臺鐵有將構成影響的外在因素考量進去，確保行車安全。

不管該班普悠瑪列車在新馬站過彎的真實速度為何，列車出軌事故所造成的創傷都已經無法挽回。列車事故絕非單一的因素所造成，更加深入的機械工程原因是我們高中生無法探究的，還待專業的部門去解開謎團。作為高中生的我們，看到各種不同的説法與解讀，而感到困惑，也想要運用自己所學得出一個答案。經過查找相關必要的數據，計算出的結果可能與專業鑑定報告有所差距，但我們仍想讓學過的數學公式可以得到應用，為我們解答生活中遇到的問題，坐上「紙上談兵」的時光機，超越時空，陪伴他們「度」過回家的路。

作者 黎慕潁、唐睿穎／臺北市立永春高中

在 Minecraft 的世界中，我們的男主角— Steve，總是背著一堆東西到處跑，不管上山、下海都難不倒他。在 Steve 探險的過程中，只要看到喜歡的東西，就往包包裡塞，但他還是能持著一樣的速度，在遊戲世界裡快樂的跑跳，這樣怪異的行為引起了我們的注意，因此，我們決定來研究男主角 Steve 的力氣到底有多大。

為了知道他到底有多厲害，我們首先來了解一下 Minecraft 世界的幾個規則：

1. 在遊戲中一「格」等於一「公尺」
2. Steve 最高可跳躍 1.252 (𝑚)(格) 高
3. 每位玩家的背包共有 4 × 9 個位置可以放東西
4. 每格物品攔可堆疊 64 個方塊或 16 個非方塊性物品
5. 每位玩家可裝備頭、胸、腿、腳四個裝備

我們可以發現當穿上全套的金裝時，裝備的總重為214.77 × 24 = 5,154.48 (𝑘𝑔)，再加上剛剛得到在背包中的重量的話，Steve 共可以負重：

5,154.48 + 4,453,401.60 = 4,458,556.080 (𝑘𝑔)。

在遊戲中的蘋果可利用 8 個金磚和 1 個蘋果做成金蘋果(特殊道具)，而每個金蘋果也可堆疊 64 個，因此，假設每個金蘋果皆為金磚製作，每個普通蘋果約重 0.30 𝑘𝑔 ，則 Steve實際可以負重：

64 × 36 × (8 × 1,932.90 + 0.30) + 5,154.48
= 35,633,058.480(𝑘𝑔)

有「世界最強壯男人」之稱的英國大力士 Eddie Hall 舉起了 500 𝑘𝑔 ，區區遊戲男主角卻能輕易地舉起35,633,058.480(𝑘𝑔)，也就是約需要 71,266 個世界紀錄才能跟一個 Steve 抗衡，這真的是太扯啦!!!!

從以上結果我們可以知道 Steve 是一個異常恐怖的超級大力士，但是別忘了，我們的 Steve可以垂直起跳 125.2 (𝑚)，接下來我們來討論已經背了 35,633,058.480(𝑘𝑔)的他，究竟用了多大的力氣才能向上跳起 1.252 (𝑚)吧！

讓我們先來了解一下成年男性的跳躍力吧！

普通成年男性的垂直跳躍力約為 0.65 (𝑚) ，而職業籃球選手的跳躍力約為 0.90 (𝑚)，Michael Jeffrey Jordan 則跳了 1.00 (𝑚)，而 Steve 卻足足跳了 1.252 (𝑚)，從這兩個數據就可以知道Steve 的力量已經無「人」能超越了。

在官方數據中，Steve 的身高為 1.80 (𝑚)，假設 Steve 是一個健康的成年男性，BMI 值在正常範圍內 (18.0~24.0) ，我們可以利用 BMI 的計算公式，得出 Steve 的體重約為：

V ÷ 1.802 = 24.0 ⇒ V = 77.76(𝑘𝑔)

若在遊戲中的重力加速度與現實相同，經過計算， Steve 的初速度需要為 4.953 𝑚⁄𝑠 才能使他垂直跳起 1.252 (𝑚)。

我們利用這些數據可以得知，若使用遊戲中的重力加速度為基礎，甚麼都沒有背的 Steve
垂直起跳力約為：

而背起背包的他則需要：

綜上所述，利用物理公式 U = 𝑚𝑔ℎ 來計算，我們的男主角 Steve 如果背著全身的金蘋果，穿上全套的黃金裝備原地跳一下，總共需要約：

713,801,427.471(𝐽)相當於 170.602 (𝑘𝑔)的 TNT，可以同時炸掉最少 170 台汽車，這是多麼恐怖的威力啊！

在遊戲中，Steve 會像現實世界一樣受到墜落傷害，這樣的傷害會隨著高度而提升，而 Steve最高可以從 23(𝑚)的地方往下墜落不會死掉，也就是 Steve 的雙腳最大其實可以承受：

照這樣的數據來看，Steve 的雙腳不只可以炸毀 170 台汽車，更可以使出等同於3,134.073(𝑘𝑔) TNT 的力量。

我們利用廣島核爆的數據計算出，1(𝑘𝑔) TNT 的爆炸範圍為 41.407(𝑚2)，而一個臺北市的面積為 271,800,000.00(𝑚2)，所以從 23(𝑚)高跳下來的 Steve 可以炸毀約：

為了找出 Steve 的神力極限，我們先從最新版本的遊戲去尋找 Steve 的負重極限：

在最新版本中，有一種箱子叫做「界伏盒」，他是一種內容量 27 格、可以裝滿東西之後再放進背包的箱子，也就是說我們只要將 36 個界伏盒都裝滿金蘋果，我們理應可以做出目前版本的最大負重量。

由於我們討論的物質「黃金」的質量實在太大了，因此我們幾乎可以忽略界伏盒的重量。我們讓 Steve 背上 27 個裝滿金蘋果的界伏盒，再穿上全套的黃金裝備可以得到：

27 × 64 × 36 × (8 × 1,932.90 + 0.30) + 5,154.48 + 77.76 = 961,958,640.240(𝑘𝑔)

我們將 Steve 全身的重量帶進 U = 𝑚𝑔ℎ 中，再從 23(𝑚)高跳下來，可以得到：

於是我們繼續往更多可能尋找答案，我們發現在遊戲中，Steve 可以在任意高度落下後抓住梯子並瞬間停止，且不受到任何傷害。於是我們找到了在遊戲中可利用作弊指令將自己飛到 30,000,000(𝑚)，並抓住海拔為 0(𝑚)的一格梯子，則可以算出在抓住梯子時所需要的力量為：

我們將這個數據換算成 TNT 的爆破力，可以得到相當於約110,358,543.813(𝑡)的 TNT，而這麼多的 TNT 可以炸毀：

綜合上面的數據我們可以知道，身高 1.80(𝑚)、體重 77.76(𝑘𝑔)的 Steve 可以毀掉7357.236 個廣島，或是 16,812.421 個台北市，說是武器都不夠形容他的神力，經過我們的研究之後，我們只希望：

他永遠不會成真

作者 陳俊宇／中崙高中

約翰是個上班族，他和女朋友約好在離⼤橋頭捷運站約500公尺的地⽅⾒⾯。早上醒來發現⾃⼰睡過頭，急忙趕往捷運站。下捷運之後，為了多節省⼀些時間，約翰決定不靠右側慢慢搭電扶梯，⽽是從電扶梯左側的走道跑上去。由於⼤橋頭捷運站的電扶梯很長，約翰走出捷運站時就有點喘了，原本想要⼀路跑到⽬的地的他，因氣喘如⽜，跑跑停停的結果，最終還是遲到了，女朋友也⼗分⽣氣。

約翰看似盡了全⼒，連在電扶梯上都⽤奔跑的⽅式想要節省時間，但結果卻仍是未能盡如⼈意，如此⼀來，「在電扶梯上跑或走」到底能否產⽣我們所預期的效益？還是其實在電扶梯上⾏走，根本是⼀件沒有效益的事情?是的，在電扶梯上⾏走，確實沒有效益。

何謂沒效益？
為什麼在電扶梯上⾏走沒有效益？
在回答這個問題之前，我們必須要先定義什麼是沒效益呢？
本⽂的沒效益，就是無法達到最省體⼒的⽅式。
舉個例⼦，約翰要在固定的時間內，走完相同距離的平地與電扶梯。改變他在平地與電扶梯的速度，比較體⼒的消耗量（耗能）。如果在電扶梯以較快的速度⾏走，消耗的體⼒較⼩，代表在電扶梯⾏走較有效益，反之則沒效益。

證明在電扶梯上⾏走是否有效益

為了證明「在⼿扶梯上⾏走沒效益」，我製作了上圖的模擬情境。接著，我要求出「⼈⾏走的耗能函數」（這邊的耗能為消耗體⼒的量）。計算在固定時間內，當耗能最⼩時，約翰在平地與電扶梯⾏走的速度值。比較約翰要在平地還是電扶梯上已較快的速度⾏走，才會有耗能最⼩。這樣就可以看出看電扶梯上⾏走是否有效益。

⾸先，我們的⽬標是求出⼈類走路的耗能函數。⽽耗能=功率 時間

E = P(v) × t

這個公式怎麼⽤呢？以燈泡作為例⼦。⼀個功率100Ｗ的燈泡，使⽤20秒，他的耗能就是2000焦耳。

E = 100 × 20 = 2000(J )

同樣的道理，只要知道⼈⾏走的功率函數 ，就能透過「耗能=功率 時間」算出耗能。⽽⼈在平地⾏走的功率函數⼤致呈指數函數(原因請看結尾)，為了簡化推導的過程，這邊就⽤ 代替。

在知道了⼈在平地⾏走的功率函數後，讓我們開始推導模擬情境的耗能函數吧。不過推導過程有些複雜，讓我們先從約翰平地與電扶梯的耗能函數開始推導吧。

在平地⾏走的耗能函數

在電扶梯⾏走的耗能函數

模擬情境的耗能函數
接著就正式來了。

接著，利⽤繪圖軟體畫出函數圖形

⼈⾏走的耗能功率函數推導

作者 何昊宸、林淯茹、顏甄／武陵高中

童話故事伴隨著我們的成長，它們是膾炙人口的經典，亙古流傳。然而兒時的我們僅沉醉在其生動的情節中，對所有描述深信不疑。長大後才擁有對諸多不合理情節提出疑問、思辨及驗證的能力。例如《睡美人》中的公主，為什麼能在長時間不進食的情況下，依然保有年輕的容貌和生機？碗豆樹是否真能高聳入雲？長髮公主的脖子及頭髮又是如何承受王子的重量？雖然這些情節皆源自於作者對生活的幻想，同時藏著耐人尋味的意涵，其中的卻也值得我們細細思索與深入探究。

而在耳熟能詳的童話〈大野狼與七隻小羊〉的最後，羊媽媽為救出七隻小羊，剪破大野狼的肚皮。救出小羊們的同時，也將許多石頭塞進狼肚中，以讓大野狼到河邊喝水時，一頭栽進河裡淹死。這激發了我們好奇心，也是我們接下來要討論的內容。

在此，我們有個疑問：究竟需要放入多少石頭才能抵抗浮力使大野狼下沉？我們嘗試用已知的物理概念，揭開兒書那童趣十足的面紗。

依據故事情境，我們做出幾項基本的設定。第一，我們找到在格林童話發生地區的德國，最常出現的狼種為亞種「歐亞狼」。人類在一般狀態下，人體密度為 1.026 (g/cm³)，因此，我們可知同為哺乳類的狼在一般的狀態下密度也會大於 1，如此便不用探討究竟需要放入多少的石頭了，因為我們可知物體密度一但大於 1，即會沉入水中，所以我們轉而探討肺部充滿空氣—密度小於 1—時的狀態。人類的肺總容積 Total Lung Capacity（TLC）是指深吸氣後肺部可容納的最大氣體量，以一個肺功能正常年輕男性為例，其 TLC 為 4900～6500（ml）[1]，此時可使人體密度達到 0.9 (g/cm³)並浮在水面上。由資料顯示，狼的肺容積相當於三分之一的人肺容積[2]，我們便可以得知狼的 TLC 大約介於 1633.3～2166.6（ml）。根據《國家地理》的資料，一頭灰狼（灰狼即為狼的總稱）的體型，大致與一名身高六英尺（大約 1.8288m）高的成年男性相等[3]。衛生福利部國民健康署的數據顯示，一名 18 歲（含）以上且身高 183（cm）的成年人，正常體重範圍為 62.0～80.3（kg）[4]。我們取中間值 70.25（kg），除以一般狀態下之密度 1.026 (g/cm³)，即得體積 68469 ，由此推得一匹成狼的平均體積為68469(cm³) 。再根據資料，一匹歐亞狼體重約介於 40～175（lb）[5]，我們取整數 155（lb），一磅為 0.45（kg），故 155（lb）為 69.75（kg），也就是 69750（g）。故成狼在肺部吸滿空氣狀態下的密度為

第二，根據研究，石頭的密度大致落於 2～3 (g/cm³)，因此我們取平均值 2.5(g/cm³)做為計算的數據。

最後，根據國立海洋大學的資料，河水的密度介於純水與海水的密度之間，而純水的密度為 1 (g/cm³)，海水的密度為 1.03 (g/cm³)，所以我們假設河水密度為 1＜g＜1.03 (g/cm³)；且假設要增加的石頭重量為 x（g）。完成上述的假設及數據確認後，我們就可以著手進行計算了。

由浮力原理可知，當物體密度大於液體密度，物體即會下沉。我們分別計算在純水及海水中所需的重量，並個別有兩種可能的狀況，取得各自所需的石頭重量範圍：

一、狼肚的體積有增加（石頭使肚子膨脹，體積具有加成性）：

所以石頭的重量 x 為 1174（g）< X <3378.9（g）；

二、狼肚的體積沒有增加（石頭無使肚子膨脹）：

所以石頭的重量 x 為 704（g）< X < 2817 ( g )

總結上述研究結果，我們得知當石頭使狼肚體積增加時，需要 1.1～3.3 公斤的石頭才能使狼溺斃；而當時石頭不會使狼肚膨脹時，便只需要 0.7～2.8 公斤的石頭就足以讓大野狼喪失掙扎求生的機會，沉落河床。再者，第一種結果較符合故事情節中七隻小羊的體重，第二種結果則較符合現實中的狀況。

由以上兩個結果可以發現，相當於一台筆記型電腦甚至是一瓶蕃茄汁的重量，便足以使一頭狼的生命殞逝。而在那樣危急的狀態下，先不論切狼腹救子的舉動是否會驚動熟睡中的大野狼，以及要如何臨時找出這些石頭，羊媽媽依然處變不驚，且靈機一動拿石頭替代小羊、以假亂真的想法，還是讓人不禁讚嘆羊媽媽救子心切而激發的力量是多麼強大，母愛又是如此熠熠生輝且動人。

經過這次的研究，我們發現就算是家喻戶曉、耳熟能詳的童話故事，透過不一樣的觀點切入，也會有截然不同的視野。文學方面，我們能從先人富含智慧的妙語中，領略其要表達的寓意；數學方面，除卻肉眼可見的數字，更是多了邏輯、架構、組織。以文學為經，以數學為緯，互相交織出絢麗的網。嘗試用數學的角度挖掘文學的奧妙，除了驚奇，更多的是不絕的讚嘆。

[1] https://reurl.cc/13EAD
[2] https://reurl.cc/K45Wy
[3]https://www.nationalgeographic.com/animals/mammals/g/gray-wolf/
[4]https://www.hpa.gov.tw/Pages/Detail.aspx?nodeid=542&pid=705
[5]https://reurl.cc/qr2eq

作者 蕭宇岑、林子揚／中正高中

愛情或婚姻，到底有沒有所謂的真命天子？大部分的人應該都希望自己能夠遇到一個完美情人，並和他長相廝守。有些人會特別去算命，算算自己會在什麼時候會遇到自己的真命天子；有些人會因為時間壓力而訂一個期限，要在這期限內找到對象，不然就不結婚；而現代社會，更有些人會為了盡快找到結婚對象，而去相親，不論是自己願意，還是被父母逼的。

愛情這種東西，很多人都會說要「看緣分」，也就是說，大部分的人相信，找到另一半是很難掌握的。為了更容易掌握住自己的愛情，人們就會出現去算命、聯誼，乃至於相親的行為了。但是，在這些方式之中，我們是否能透過數學的觀點，得到一個合理的策略，例如當我們在進行相親時，是否能夠透過機率的方式去計算，產生一個最好的策略去選中最好的那位完美情人呢？

我們假設要和100個對象相親(約會)，而且每次約會後都必須做決定，就是選擇和他繼續交往或者不繼續，若選擇不繼續發展，也就表示放棄了這個對象，則可以繼續和下一個人相親(約會)；若選擇了交往，就不能反悔、不可重新選擇和繼續約會。

若這一百個人我們可以排出名次，也就是說他們有大小關係，而且任兩人不並列，那麼如何才能夠使你有最大的可能選中這100個對象中最好的那一位呢？

(先決條件為：只有一個最好的，且只要選最好的。)    

在這裡我們運用數學的「最佳停止理論」：先在前期設定一個期間(淘汰期)，這個期間我們將他設為評判標準，也就是說在這期間之內，不論遇到多好的對象都必須放棄，可是過了這個期間之後你擁有了足夠評判標準，因此只要在此後有遇上比這淘汰期任何人還好的對象，也就是目前為止遇到最好的人，則可以直接選擇他。所以這個期間的長短的取捨，其實就是我們選取的策略。

首先假設最好的對象是在第p個的位置，在100人中他恰好為最好的對象的機率為1/100 (只有一個最好的對象)。再來假設淘汰期為 X 個人，也就是淘汰掉 X 個人。而為了達成我們的最終目的：選中最好的。在遇到p之前，從第1位到第p-1位內最好的人，就必須介在第1到第 X 間(淘汰期內)，被當成選出p的標準，也就是說他被淘汰掉。如此一來，就能在 X 後，準確地選中最好的對象(p)。

但是！37%……顯示出有將近六成的機率會失敗，並且若最好的人剛好被淘汰掉時，就會做出不結婚的決定，則會有37%的機率會孤老一生！這個結果顯然不合情理。而為了提高選中最好的對象的機率，並降低孤老終生的狀況發生，現代的社會也慢慢地接受了再婚、第二春。

所以我們將條件增加一個「可以離婚一次」。為了避免重複上方計算過的運算結果，也就是沒有離婚的情況，增加條件後，計算過程內先單純考慮離婚一次再遇到最好的機率。也就是說，在選中最好的對象前，我們可以先選一位跟他交往，之後仍然可以繼續相親，並且有權可以捨棄現在的對象，並和另一位交往，但這僅限一次且之後的條件就和原本一樣，不可反悔、不可回頭重新選擇。這裡我們先單純考慮一定需要離婚的情況，再加上不離婚的情況（上方的結果），即為所求。

    至此因為我們利用了數學算出了最佳停止的時刻，而且加了可以接受離婚一次的條件，不但可以縮短淘汰期減少淘汰掉最好對象的可能，也減少了淘汰最好對象的機會(孤老一生的機會降低)，所以使得成功率增加了不少，顯然這個結果是更好的。

    人生中其實做這種不可後悔的決定是很常見的，除了結婚之外，諸如工作、學業，甚至於今天晚上吃什麼，許多時候總是做著這樣子不可後悔的決定。在做決定的時候我們除了憑自己的第六感之外，其實動筆計算一下，運用我們所學過的數學技巧，可以幫助我們能夠更好的擬定策略。如此看來，除了前六感外，若人生中多了數感做為第七感，似乎就可以做出最好的決定，也避免與完美情人擦身而過！可以過得更加愉快呢！

參考資料

1. 假設情況參考自 http://blog.renren.com/share/427958258/14758489357
2. 「最佳停止理論」參考自https://style.udn.com/style/story/8073/1452739

作者 丁兆生、楊豐銘、邵立旻／臺北市立成淵高中

JOJO 的奇妙冒險是由日本漫畫家荒木飛呂彥於 1987 年週刊少年 Jump 進行連載的漫畫，目前已經推出 8 部並超過 100 卷單行本，每一部都是不同的主角不同的故事，但唯一的共通點是主角的名子都叫 jojo，其中最吸引人的就是從第三部開始出現的替身戰鬥系統。

JOJO 的奇妙冒險中，第三部主角空條承太郎的替身「白金之星」被譽為歷代最強的無敵替身，擁有強大的力量、速度及高精密度動作，以及暫停時間的能力—「世界」，其強大的力量甚至將敵人「女教皇」那用鑽石做的的牙齒打爆。然而這麼強大的替身卻在第 4 部中因為最終 BOSS 吉良吉影的「穿心炸彈」而陷入苦戰，這便激起我們的好奇心，究竟「穿心炸彈」有多硬？竟然能承受我們的承太郎高速的「歐拉歐拉」而不會產生任何損傷。

根據荒木老師原作設定，白金之星的能力如下：白金之星的拳速接近光速，在與女教皇對戰時，白金之星總共花了 22 秒打破女教皇的牙齒，若想知道白金之星總共出了幾拳才把女教皇的牙齒打碎，可列出如下假設：假設從出拳到接觸牙齒的距離為x公尺，光速約為
3 x 10⁸ m/s ，在此計算承太郎在短短的 22 秒內共使出了多少拳，列出方程式：

由於承太郎出拳速度接近光速，我們好奇承太郎在短短的 22 秒內施予牙齒多少能量，才能把女教皇那堅硬如鑽石的牙齒擊碎。因為速度接近光速，因此計算動能的誤差較大，在此採用相對論質能互換公式 E = mc² 計算能量。假定一個成年人一條胳膊約 5.74kg，他的速度是

作者 王治鈞、呂建霆、洪林竹／國立科學工業區實驗高級中學

序章

            在世界級奇幻名著《魔戒》改編的電影《魔戒首部曲：魔戒現身》之中，反派角色「炎魔」和全書靈魂角色「甘道夫 」在摩瑞亞礦山中的武打場面非常精彩，並因此常常為魔戒粉絲們津津樂道。

讓我們先把目光放回中土大陸的摩瑞亞礦山。在一場驚心動魄的激戰之中，住在礦山中的怪獸——炎魔因腳下的橋樑突然崩落而墜入底下的深淵。就在甘道夫鬆了一口氣的時候，陰魂不散的炎魔在墜落過程中甩出火鞭纏繞住甘道夫的膝蓋，使得甘道夫跌了一跤，並跟炎魔一樣摔了下去。

在電影中，從炎魔開始墜落的那一刻起到甘道夫墜落，整個過程共約32秒。但是，最後甘道夫和炎魔卻「同時」墜入一個地底湖中，並且繼續激戰。

相信不少人在看到這一幕的時候都會被電影逼真的特效和磅礡的畫面所震懾，我們也不例外。而在此同時，我們更聯想到一個問題:

…….是不是有哪裡怪怪的?

讓我們先再次整理條件:

1. 伽利略告訴我們，在同個高度下，不同物體掉到地上的時間皆應相同
2. 炎魔比甘道夫更早開始下墜
3. 更精確地說，炎魔早了32秒

從上述條件我們似乎可以得到一個結論——炎魔應該要比甘道夫早32秒掉到地底湖中才對。電影情節終究只是虛構，是不可能發生的。

但是，這真的完全不可能嗎?
難道《魔戒》不是真的?
難道約翰·托爾金(《魔戒》原著作者)騙了我？
難道我這輩子最愛的小說其實盡是謊話連篇的荒唐之論？

            先暫且不論「《魔戒》本來就是歸類在『奇幻作品』中，所以一切皆有可能」，在數理上，電影中的情節究竟有沒有可能呢？

剛才的推導是建立在十分簡單的假設上，所以結果可能和真實的情況不太一樣。接下來，我們將利用一些詳細的資訊分析當他們墜落深淵時到底會發生什麼事，更定量地討論「同時到達底部」這個結果的合理性。

加入「空氣阻力」的條件

        在這個段落裡面，我們將會逐一進行下列步驟：

                1. 寫出甘道夫和炎魔墜落時所必須遵守的運動方程式
2. 根據電影本身和其他資料估計一些參數(像是質量、空氣密度等)
3. 解微分方程
4. 把之前估計的參數代回式子中解完方程
5. 回答我們提出來的問題 — 甘道夫和炎魔到底會不會同時墜地？        

首先，翻閱課本便可以知道空氣阻力的公式和運動方程式是

下面這個表格分別列出甘道夫和炎魔的參數：

	甘道夫	炎魔
(質量)	60kg	800kg
(阻力係數)	1.2	1.2
(截面積)	0.68m2	6m2

讓我們解釋一下這些估計是怎麼來的。

首先，根據Tolkien Gateway¹ (類似魔戒專屬的維基百科)的資料，甘道夫的身高約1.67公尺，體重則並未提及。 如果甘道夫是一個健康的巫師，我們可以預期他的BMI是21，並進一步推得體重大約是60kg。

炎魔的話比較麻煩些，維基百科上寫炎魔站起來約人類的3倍高。假設炎魔的肌肉能承受的壓力和人類的一樣強，那麼肌肉截面積可估計為3²=9倍，能承受的重量也是人類平均重量的3²=9倍。不過我們可以合理地推測炎魔應該比人類強壯一些，所以實際上的重量應該大於60∙9=540(kg)，在這邊估計800kg。

至於阻力係數，則是和身體的形狀有關。根據這篇論文²，人的阻力係數大約是1.2，因為炎魔大致上也是人形，在這邊就假設阻力係數一樣。另外，根據這篇皇家氣象學會的論文³，人體的截面積約0.68m²，而從電影畫面估計，炎魔的截面積大約是6m²。

結論

在上面的文章中，我們用數學與理性的角度分析了電影《魔戒》中經典的一幕——甘道夫大戰炎魔之後，兩者雙雙墜入深淵。

首先，我們對電影中的情況進行辨析，並發現甘道夫與炎魔同時到達底部似乎不符合科學。

接著我們將空氣阻力納入考量並進行運算，但是仍得到相同的結果。換而言之，比較早掉下去的炎魔必定會比甘道夫更早掉到底部。而這結論和電影的畫面並不相符。

但是，這就代表電影都在亂演一通？其實倒也未必。或許是因為我們納入考量的條件不足，抑或是因為參數假設有誤，導致我們的推理出了差錯。

不過這些並不是大問題，因為透過上面這些分析，相信各位看官已經和我們一起體會到了數學的美妙和實用。它不只是一門死板的學科，更是可以應用在生活中、實際地解決問題的有力工具；透過將問題轉化成數學，再把數學答案轉化回問題的解答，很多令人摸不著頭腦的問題都能迎刃而解。

最後，《魔戒》本來就屬於奇幻小說，在看完我們的分析之後，千萬別因為糾結於內容合理性而失去了閱讀這部史詩級巨作的趣味呀！

參考資料

¹http://www.tolkiengateway.net     &nbsp; Tolkien Gateway：魔戒維基百科

²Mun Hon Koo, Abdulkareem Sh. Mahdi Al-Oba idi (2013), Calculation of Aerodynamic Drag of Human Being in Various Positions

³J.F.R.McIlveen (2002), The everyday effects of wind drag on people

作者 王姿蘋／景美女中

最近校園裡出現了一個最新的遲到理由：捷運太多人而擠不上。故事是這樣發生的……

教官：「王小明同學，你怎麼老是遲到呢？罰你放學留下來刷廁所！」
小明：「教官，我真的不是故意的，我遲到是有原因的。我已經早十分鐘到捷運站了，卻遲遲上不了車，大家都急著上班上學，每個人看到車門開的瞬間都像猛虎出閘般蜂湧上車，而我又特別瘦弱，根本擠不上車！不如我來分析一篇關於『捷運可以這樣ㄗㄨㄛˋ』的報導給教官聽。」

「嗶嗶嗶！車門即將關閉，請遠離車門。」這樣的台詞在北市的通勤族耳裡再熟悉不過了。在尖峰的上下班時間，常常因為擠不上列車而必須等待下一班。以學生上下學的狀況為例，上學時在捷運車廂最常聽到的是：「不好意思，我快遲到了，可以再往裡面走一點嗎？」不過，當列車開走時，卻發現大部分的乘客都集中在中間車廂，而頭尾車廂的乘客寥寥無幾，如此貼切的生活經驗，在你我的生活中已習以為常，這樣的情況是否有改變的可能呢？在不考慮中間車廂距離捷運出口較近的因素，且先考慮初發車的車內無乘客的狀態下(即首站)，則每節車廂的乘客密度是否能夠趨近平均值呢？以下分為兩點討論：唯一出入口以及為二出入口的情形。

以列車車廂相互不連接的文湖線系統來做討論。文湖線的每班列車共四節車廂，而每節車廂同一側各有兩扇車門，如示意圖所示：

(討論一)出入口唯一，且位於列車正中間
假設出口到車門的距離皆可用直線分割，且每位乘客走到同側各個車門的機率相等，試算首站有 128 位(註一)乘客在同班列車的各節車廂乘客分配，如圖所示：

(討論二)出入口唯二，且兩個出入口分別在列車 A、B 車廂中間與 C、D 車廂中間
假設出口到車門的距離皆可用直線分割，且每位乘客走到同側各個車門的機率相等，試算首站同樣有 128 位乘客在同班列車的各節車廂乘客分配，如圖所示：

作者 陳宥諼、林昱佑／國立科學工業區實驗高級中學

最近在網路上看到了一則去年的新聞：一名在學術期刊等公共平台發表了高達200多篇論文的日本麻醉醫師──藤井善隆，被抓到長期偽造數據，並有高達183篇論文遭到撤稿，且數量仍持續增加。引起學界注意的投訴信中說道：「藤井的研究數據完美到難以置信。」

 最早開始懷疑藤井數據造假的人之一，英國麻醉師John Carlisle觀察了藤井一百多批藥物實驗的數據，並計算了那些數據的隨機分佈，結果發現藤井的數據在統計分析下其實「發生機率極低」。也就是說，藤井的數據雖然看起來漂亮，但實際上卻是「不自然的」。

這使我們產生了興趣：我們所認定「正常」、「隨機」的數據，會不會只是我們主觀直覺思考時所產生的假象？然而事實上卻不符合真實機率？讓我們看一個簡單的例子：

假設老師出了一項作業，請學生每人投擲一枚公正硬幣1000次，並記下每一次的結果；但是，這項作業實在是太繁瑣了，學生們都想直接自己編數據交差了事──「反正，本來得到的結果就是『隨機』的啊！我只要在記錄表上隨便填上「正」或「反」就好了！」於是，大部分的人會編出類似這樣的數據：

「正反反正反正正反正反反反正……」

看起來真的「很隨機」呢！
可是，收作業當天，老師卻一眼就找出了所有偷懶的同學(絕對不是因為有內鬼！)──「你們還太嫩了！實際去丟銅板要丟出這種結果，機率還真的不是一般的低啊……」老師一臉不屑的說。

「機率」？！終於有同學抓到關鍵字了。

其實，如果真的自己丟銅板的話，會發現可能出現這樣的結果：

「……正反正正正正正正正正正正反正正正正……」

怎麼連續這麼多的「正」啊！
不過，如果反過來想，要是丟很多很多次，卻沒出現連續好幾個相同面朝上才奇怪呢！

什麼意思呢？以機率的角度來看──
假設丟一個公正銅板n次，求至少出現1組連續y個以上正面朝上的機率。則機率f(n)=(令擲出結果正面朝上為「＋」、背面朝上為「－」；連續y個以上「＋」為串列S)

1. 若0<=n<y
因為擲的次數不滿y次，所以就算全部擲出正面，也無法滿足條件。
故，

f(n) = 0

2. 若n=y
必須保證每一次都擲出正面，而每一次擲出正面的機率都是1/2 ，所以：

f(n) = (1/2)^y

3. 若 y<n<(2y+1)
最多只可能出現1組S，且要擲出S只有兩種方法：

(1) 在前n-1次就已經擲出S (令機率=g(n))
如果前n-1次已經擲出S，不管最後一次(第n次)擲出「＋」或「－」，都不會影響結果。故

g(n) = f(n-1)

(2) 前n-1項未出現S，擲出最後一項為「＋」，和前面的「＋」合併後恰形成一個S (令機率=h(n))

此即保證最後的至少y項皆擲出「＋」(即  (i)第n-y+1項到第n項一定為「＋」)。然而，若S的長度>y (即第n-y, n-y-1, …項也為正)，那麼在前n-1項時，就已經形成S了，機率就又回到g(n)。所以，可以保證  (ii)此種方式的第n-y項絕對不為「+」。另外，還須確保前n-y-1項未出現S：由於n< (2y+1)，已經確定第n-y項為「－」的情況下，第1項到第n-y-1項最多只有2y(全部)-y(最後湊出的S)-1(為「－」的第n-y項)= (y-1) 項，就算全部擲出「＋」也無法湊出S (即  (iii)欲使該區間內未出現S的機率為100%)。

考慮(i)、(ii)與(iii)，可求出機率為：

h(n) = (1/2)^(y+1)*100%

由 (1) 和 (2) 兩種方法可得出，y< n< (2y+1)時：

f(n) = g(n)+h(n) = f(n-1)+(1/2)^(y+1)

4. 若n>= (2y+1)

想要達成條件同樣有2種方法，且要注意可能出現2組以上的S：

(1) 在前n-1項就已經出現S (令機率為g(n))
同3.(1)：如果在前n-1項就已經符合條件(即至少有一個S)，那麼不管最後一項擲出「＋」或「－」都不影響，故得：

g(n) = f(n-1)

(2) 前n-1項未出現S，擲出最後一項為「＋」，和前面的「＋」合併後恰形成一個S (令機率=h(n))

加上最後一次(第n次)的「＋」恰形成一個S，即第 (n-y+1)項到第n項都必須保證為「＋」，且第n-y項為「－」，  (i)此機率為(1/2)^(y+1)。同時，還要考慮第1項到第n-y-1項中不能出現S：由於n>= (2y+1)，該區間是有可能存在另一個S的，因此要避免其的機率為  (ii) 1-f(n-y-1)。

綜合與(i)與(ii)，得出：

                                 h(n) = [1-f(n-y-1)] / [2^(y+1)]

故，若n>=(2y+1)，則機率等於：

f(n) = g(n)+h(n) = f(n-1)+ [1-f(n-y-1)] / [2^(y+1)]

所以，由上述討論，可推出其遞迴關係式為：

回到銅板問題：若取y=10，以程式執行計算後：
當擲銅板次數n=1421時，

f(1421)=7, 255, 778, 711, 927, 407, 617, 380, 544, 769, 173, 867, 806, 169, 361, 486, 522, 866, 802, 980, 651, 539, 660, 838, 223, 377, 066, 752, 145, 420, 755, 231, 929, 187, 093, 761, 722, 303, 645, 267, 912, 580, 455, 689, 572, 071, 800, 452, 693, 464, 700, 240, 325, 620, 941, 411, 943, 308, 843, 940, 722, 468, 017, 918, 536, 598, 081, 098, 266, 744, 747, 888, 440, 887, 321, 884, 634, 359, 498, 815, 523, 739, 396, 906, 549, 246, 415, 109, 283, 793, 846, 209, 720, 465, 402, 081, 202, 745, 609, 492, 452, 509, 025, 795, 069, 716, 361, 505, 310, 397, 746, 161, 836, 302, 227, 941, 580, 885, 870, 210, 044, 773, 666, 072, 022, 038, 700, 421, 605, 273, 419, 973, 038, 879, 144, 857, 154, 157, 912, 879, 478, 392, 261  /  14, 5 06, 540, 244, 799, 649, 295, 363, 967, 385, 272, 259, 250, 661, 462, 164, 996, 145, 242, 670, 971, 396, 368, 427, 928, 550, 752, 333, 318, 302, 269, 391, 954, 931, 996, 110, 373, 344, 247, 437, 783, 405, 976, 812, 508, 208, 014, 387, 645, 084, 573, 461, 084, 331, 611, 962, 071, 030, 245, 089, 177, 219, 397, 347, 545, 783, 897, 084, 779, 561, 785, 928, 834, 057, 620, 352, 012, 602, 971, 900, 896, 382, 103, 058, 767, 619, 551, 583, 898, 875, 428, 087, 721, 830, 150, 897, 600, 890, 899, 165, 970, 697, 060, 836, 381, 274, 022, 825, 694, 219, 432, 474, 834, 063, 680, 015, 967, 772, 773, 093, 077, 100, 779, 252, 371, 658, 190, 278, 159, 625, 450, 473, 401, 620, 223, 010, 779, 161, 044, 426, 883, 596, 288

(這是一個分數，並且是精確數字，由此可見計算的繁雜度！)

總之，f(1421)≒0.5001729281748267≒50%
也就是說，當擲1421次銅板時，出現至少一組連續10個以上正面的機率就已經略超過1/2。

另外，當擲3288次時，機率會再近一步提升至80%；甚至擲9391次，機率已經達到99%。換句話說，假設擲1萬次，幾乎可以保證一定會看到至少一組連續10個以上的正面。

然而，一般人在編造數據時，很少會連續寫下很多個正面(或反面)，因為直覺上要連續擲出那麼多次相同的結果機率應該很低。正是利用這點，所以，光憑「是否出現連續多次相同結果」這個事件，就足以初步判斷數據的真實性，更遑論除此之外，還有更多事件的真實發生機率也有待計算。

想要得出符合真實機率的「完美」數據，與其絞盡腦汁、分析各種事件的機率(而且不太可能分析的完)，倒不如穩扎穩打的完成，或許還快些。

再者，在學校偽造作業數據頂多受到老師的批評或輕微的懲罰；但出社會後，要面對的可能是正式的論文、一份財報、甚至是一份關乎人命的實驗報告！造假的後果除了損失聲譽、失去工作，更有可能因此遭受牢獄之災。與其耗費大量精力試圖求出「毫無破綻」的造假方法，卻還要冒著被拆穿的風險苟且偷生，還不如腳踏實地，安分地完成任務，才是正道！