作者 王之佑、張綵璇、曾羽彤 / 私立大華高級中學

一、研究動機  

 近年中國後宮鬥爭劇夯，從《後宮甄嬛傳》到《延禧攻略》，都成功引起話題。中國歷 朝歷代后妃都是有劃分等級的。清宮宮鬥劇中每位后妃總是打扮得光鮮亮麗，但其實種種勾 心鬥角，除了想要奪得皇上恩寵，才有機會爭上位之外，其中各位階的利益差別到底有多大？ 此外，想要展開爭鬥，背後需要更多的是現實利益的考量及資金的支持，那麼她們的年俸祿 如何？也不禁令人好奇后妃們的年俸祿若處於現代又該是如何的薪資水平呢？她們的年俸祿 穿越到現代還能讓每位后妃享受到榮華富貴，她們夠花嗎？ 

二、探究過程  

(一) 根據史書記載，清朝共有 268 年歷史，此期間物價很不穩定且波動非常大，為了便於比 較，本專題將時間設定在康熙年間，我們將清朝后妃年薪換算成 2015 年(近十年人民幣換 成台幣最高匯率年)及 2021 年幣值來進行相關討論： 

1. 清朝將皇帝的后妃分為九個等級，且越往上的位階，人數就會遞減，以下是各位階 后妃年俸祿表：

2. 清朝多以大米來衡量銀子的價值，大米的單位為石，以康熙年間為例，一石的大米 價值為半兩銀子，一兩銀子便可購買兩石大米。一石在清朝代表 120 斤，不過因為

古代的一斤是 16 兩，而一兩是 36.9 克，而現代一斤只有 5 兩，而一兩是 100 克，現 代大米價格約為 2.5 人民幣(CNY)/斤(資料來源:在清朝一兩銀子相當於現在多少錢? https://kknews.cc/zh-tw/history/op69zyq.html)，因此可以得出以下算式:

(1) (120斤×2石×16兩×36.9克)/5兩×100克 ≒ 283斤
(2) 283 斤×2.5 元 ≒710 元 CNY(人民幣) 

由以上計算可知，清康熙期間，一兩白銀約等於現今人民幣 710 元。

3. 而古代黃金的價值放到現今又值多少呢?在古代的一兩黃金的價值大概相當於 10 兩 白銀，而透過剛才的算式，我們可以得出 1 黃金=10 兩白銀;而為了考量物價及對 清朝嬪妃年薪做最有利的計價換算，我們打算以過去人民幣與台幣換算匯率最高的 2015 年及今年 2021 目前的匯率來做換算(依照台灣銀行即期買入匯率計價)。(資料來 源-台灣銀行外幣匯率查詢資料庫)

(1) 2015 年台幣與人民幣最高換匯匯率為 5.12 倍 

(依據台灣銀行 2015 年 1 月 8 日即期買入人民幣匯率計價)

一兩白銀轉換成 NTD:710 CNY×5.12 = 3635.2 NTD

一兩黃金轉換成 NTD:3635.2×10 = 36,352 NTD 因此我們可以得出清朝后妃年薪換算至 2015 年台幣幣值的結果，資料整理如下表:

(2) 而 2021 台幣與人民幣最高換匯匯率約為 4.36 倍

(依據 110 年 1 月 20 日台灣銀行即期買入人民幣匯率計價)

一兩白銀轉換成 NTD : 710 CNY×4.36 = 3,095.6 NTD
一兩黃金轉換成 NTD : 3095.6×10= 30,956 NTD 因此我們可以得出清朝后妃年薪換算至 2021 年台幣幣值的結果，資料整理如下表:

由於 2015 年和 2021 年人民幣換算台幣匯差為 1.174 倍，因此清朝后妃年薪換算在這兩年也是 相差 1.174 倍。
(二) 古代后妃薪資與現今受僱員工總薪資水準之比較

透過行政院主計處的薪情平台可查詢個人薪資水準的百分位數(至少贏過所有受僱員工 總薪資的人數百分比)(標準如表 4) ，另外依照現今勞動部公告規定，現行基本工資為月薪新 台幣 24,000 元，年薪為新台幣 288,000 元(2021 年 1 月 1 日起勞動部公告)，再者依據桃園市 2021 年的低收入戶及中低收入戶標準(在不考慮不動產限額情況下)如下表 5，綜合以上三個標準來 進行相關討論。

以下將利用以上兩個表格及 2021 年勞動部公告的基本工資來進行古代后妃們的薪資和現今受 僱人員薪資水準比較，如下表:
若以上面表 3 后妃 2021 年年薪為例:

由上表可知:並非所有后妃都為高薪資所得(以 PR90 為標準)，位階最低的常在及答應甚 至等於今日的低收入戶，清朝後宮的薪資落差非常的大。

三、 發現與結論

從上述研究發現，我們以 2015 年(可將清朝后妃們的薪資換算成台幣匯率價值最高)及今年 2021 年 1 月份匯率，來推導清朝康熙年間后妃們的薪資換算到現代的薪資水準，並且依據行 政院主計處的薪資平台看出各位階后妃們的薪資水準所在的百分位數;可以發現后妃們的薪 資貧富差距非常龐大，貴人年薪才會等同於現在的基本工資水準，其中貴人升到嬪的年薪落 差是最大的，薪資排序百分位數相差 50%，難怪歷史資料顯示後宮在貴人升到嬪時會狂喜， 嬪以上為「主位」，有朝服、朝冠;貴人往下則屬於較低階妃位，其中常在及答應年俸祿更 是等同於現代的低收入戶，這也難怪后妃們都要處心積慮不斷向上爬，方能為自己爭取到更 好的地位與薪資，過上更好的生活。

四、參考資料

1.中國古代銀兩換算 https://ppt.cc/fHPcqx

2.在清朝一兩銀子相當於現在多少錢?https://kknews.cc/zh-tw/history/op69zyq.html

3.古代一兩黃金購買力，換算下來大概是多少錢 https://ppt.cc/fUoNDx

4.研之有物-黑貓皮竟是古代名牌?

華妃月俸為何不夠用？黑貓皮竟然是古代名牌？清宮檔案解開妃嬪薪情之謎

5.清朝時，為何女子從貴人升為嬪都狂喜?https://kknews.cc/zh-tw/history/n2galog.html

6.勞動部-基本工資公告https://www.mol.gov.tw/topic/3067/5990/

7.桃園市社會局低收入戶及中低收入戶薪資來源: https://docs.google.com/document/d/1mFk-9cmDni6CDrFggg4LXWvbUWvwcAa3-tDzC32j8AI/edit

8.行政院主計處薪情平台https://earnings.dgbas.gov.tw/experience.aspx 9.台灣銀行外幣結算資料查詢資料庫 https://rate.bot.com.tw/cr?year=2015&month=1

作者 廖為寧、張定楷、王妍巽 / 台北市立重慶國中

一、 研究動機

放眼望去是一望無際的金黃色的稻田映入眼簾，白雲悠閒的在藍天中散步，稻田裡掛滿 一串串金黃色的稻穗，稻穗細細長長的，飽滿的稻穗彎下腰來向我們鞠躬。一陣風掠過，像 我們打了一聲招呼，便稍縱即逝。稻穗扭著腰笑嘻嘻的，好像在歡迎我們的到來。辛棄疾曾 寫道:「稻花香裏說豐年，聽取蛙聲一片。」當時的佳景如今在此重現，在田間大放異彩， 真是感人心脾。

當一名農夫一直是鄭板橋的夢想，所以在鄭板橋寄弟墨書中曾有一段:

「吾家業地雖有三百畝，總是典產，不可久恃。將來須買田二百畝，予兄弟二人，各得 百畝足矣，亦古者一夫受田百畝之義也。若再求多，便是占人產業，莫大罪過。」

意思是指，身為一個正直、清廉的農夫，收入應該只以百畝地的收成為上限，不可再多 加侵占，否則將淪為攫取金錢、汲汲營營的小人。當初在上國文課時，總覺得十分奇怪，一 百畝的地到底能夠收成多少的稻米呢?又能夠賺多少錢呢?憑什麼超過一百畝的收入就是 「莫大罪過」呢?我們這一群生長在都市的「臺北俗」對於農田的收成實在沒有概念，於是 我們便著手進行研究，想探究鄭板橋這段話的合理性。

二、 研究過程 

在寄弟墨書一文中，鄭板橋寫到:「農夫上者種地百畝，其次七八十畝，其次五六十畝。」 種種對於農夫的熱忱和欣喜，不禁讓我們懷疑當時的農夫到底能賺多少錢呢?

根據寄弟墨書一文中，鄭板橋在文中提到:「吾家業地三百畝，總是典產，不可久恃。 將來須買田二百畝，予兄弟二人，各得百畝足矣，亦古者一夫受田百畝之義也。若再求多， 便是占人產業，莫大罪過。」他說百畝足矣，那百畝究竟是足?不足?還是超過呢?鄭板橋 的老家在江蘇，根據《日知錄‧卷十》¹ 文中所載:「吳中之民，有田者什一，為人佃作者十 九。其畝甚窄，而凡溝渠道路皆並其稅於田之中。歲僅秋禾一熟，一畝之收不能至三石，少 者不過一石有餘。」鄭板橋家一年一畝大約可收成兩石，根據羅麗馨女士所發表的論文《廣 西省的米價及米糧流通》² 乾隆二十年 9 月 11 日的通省米價為 0.82~1.62 兩/石。根據以上資 料，可以推算出鄭板橋家一年可收成的稻米量: 

 平均米價:(1.62+0.82)÷2=1.22 兩/石

∵鄭板橋有 100 畝

∴鄭板橋家一年可收成的稻米量為 200 石

最後在綜合之前的計算可得知鄭板橋家一年可賺:

 200×1.22=244 兩/年

一年 244 兩?那是現在的多少錢呢? 

康雍乾時期，稻米一石價格約為 1.22 兩。再對比今日的米價(參見表一)由上述資料，可 以依照下列算式推導出康雍乾時期物價: 

根據西川米店 ³ 提供的數據，一升=700 公克，且一石=100 升，所以一石約為 70 公斤

平均米價:(3574+4024)÷2=3799(元/百公斤)

∵鄭板橋家一年可收成的稻米量為 200 石=14000 公斤

∴鄭板橋家一年收入=3799×140=531860 元 

鄭板橋一個月收入 531860÷12≒44322 元，而臺灣目前基本薪資為 24000 元/月。所以鄭板 橋的收入其實大約是基本工資的兩倍喲!

三、結論

鄭板橋家一年可賺 224 兩，再對照《欽定大清會典.卷十八》4 所載:「在京文職八旗武 職，一品官百八十兩、二品百五十五兩、三品百三十兩、四品百有五兩、五品八十兩、六品 六十兩、七品四十五兩、八品四十兩，均正從同祿。九品三十三兩、從九品三十一兩。」鄭 板橋家一年的收入大大超過了一品官的俸祿。身為一名農夫，超過一品官的收入，不難發現 鄭板橋的這句話似乎有一些問題。

在鄭板橋的退休生活中，最重要的、也是最期待去做的事情是當一個快樂農夫。但在鄭板橋的思維之中，出現了一個非常嚴重的問題。根據閔宗殿先生所發表論文《試論清代農業的成就》⁵，文中提到:「戰國時一人可耕百畝(合 69 市畝)，清代一人可耕 12-13 畝(市畝)。

造成這一現象的原因，是因為前者耕作比較粗放，後者比較精耕細作」從戰國時期到清朝， 經過這一千多年來，科技及耕作技術早已進步許多，以同一塊田來說，清代所能收成的稻米一定是遠遠大於戰國時期的。鄭板橋在寄弟墨書之中，有著這麼一句話:「將來須買田二百畝，予兄弟二人，各得百畝足矣，亦古者一夫受田百畝之義也。」，其中「一夫受田百畝」這句話 是出自於井田制的思想，而最早提及井田制的是《孟子》和《周禮》二書，但是在孟子生存 的戰國時代，和滿清之間一隔就是隔了一千多年。一千多年前戰國時代的思維，放到清朝來 使用是完全不行的，因為當時的人口、氣候、經濟，以及政治的制度和主流思維都和滿清有 所迥異。換言之，鄭板橋用了戰國時代的思想和制度放到清朝來使用，就是一種錯誤。也就 是說，鄭板橋提出「一夫受田百畝」這句話壓根兒就是錯誤的。

所以，鄭板橋並沒有向他書中說的「士」那麼好，也確實在力行後，恐怕有「置多田產」 之虞。我們都相信鄭板橋「勤政愛民」的個性，會導致鄭板橋如此爆發的收入，原來一切問 題是出在於鄭板橋引用錯誤時代的觀念阿!

作者 陳靖恩、羅珮秦、林榆昕 / 桃園市大溪國中

你知道嗎 理論上從我們學校應該看得到奶瓶刷

每天早上帶著厭世的眼神走進校園，一邊打哈欠，一邊寫著考卷，日復一日的過著平淡 的生活，不過，就在某天，一成不變的生活出現了轉機!

在那之後偶爾會看到身高不到我們一半的小朋友，兩兩牽著手成群結隊的經過我們的教 室前，雖然常聽到許多哭鬧聲，但偶爾的童言童語也為校園增添許多趣味!正因如此常常會 看到幼兒園的老師拿著「奶瓶刷」幫小朋友們洗奶瓶!

開玩笑的啦!當然不是指這個奶瓶刷啊!我們指的是知名地標「台北 101」，每年施放 的跨年煙火，那壯觀的程度就有如巨大的奶瓶刷，正清洗著北台灣。我們不禁會想，正當疫 情衝擊加上天氣嚴寒，我們能否從自家窗戶探頭，望向東北方，參與全台灣一年一度的跨年 盛事呢?身在大溪的我們到底能不能輕鬆的看到那壯觀的景象呢?

多大的範圍內可以看到 101

讓我們運用國中學到的畢氏定理來找出答案，到底在多大的範圍內可以看到 101 呢? 以下為計算過程:

畢氏定理(如圖一):在直角三角形中，兩股的平方和會等於的斜邊的平方。

而地球的半徑大約是 6371 km，單位換算就約為 6371000 m，101 高 508 m 以畢氏定理我們可以求得(如圖二):

101 樓頂與地球的切線長=√6371508² − 6371000²=√6473194064 ≒ 80456.16237 (m)

藉由以上的計算過程，我們可以知道，當我們位於 101 樓頂，可以有約 80 km 遠的視 野，也就是說，在方圓 80 km 內的地區，撇除掉地形和天氣因素，都是可以看得到 101 的。 你或許會有個疑問，人的眼睛真的可以看到離我們那麼遠的 101 嗎?可別小看我們的眼睛 喔!一雙正常的眼睛，視距可以達到無限遠，晚上可以看到距離地球 38 萬 km 遠的月亮， 甚至是幾億光年外的天體，都是最直接的證明，所以這部份就不必擔心了。

目前已知紀錄最遠可以看到 101 的地方，是在新竹芎林鳳山，天氣狀況良好時，以肉眼 就能看到 101 佇立在遠方，是不是很神奇啊!而鳳山距離 101 剛好就是 80 km 左右，是符合 我們的計算結果。

在大溪到底有沒有機會看到

大溪和 101 的直線距離是 32 km(如圖三)，將大溪的位置標示在以 101 為圓心，80 km 為半徑所涵蓋的範圍內，大溪是完全包含在內，也就是說若地形平坦且無障礙物的阻擋，想 要從大溪直視 101 並不是遙不可及的夢想，雖然看到的可能是和冰箱上的 101 磁鐵差不多 大，但能在樸實無華的小鎮上看到全台最高的建築物已經為平淡的生活增添了些許色彩。若 我們可以好好利用這項優勢，也許能將大溪打造成新的網美打卡景點。

近年來大溪的街頭上已經沒有過去那繁華的景象，現在已經看不到那些年輕又有活力的 上班族，大多都是些國中小的學生，不然就是七八十歲的老人家。因為人口外移嚴重、高齡 化……等問題，而導致經濟發展已面臨瓶頸，老街上的店家也沒有什麼變化，雖然假日的老 街依然門庭若市，但卻少了些創新的滋味，所以當大溪可以看到 101 時，怎麼能輕易放過它 呢!畢竟在信義區看，和在大溪看的感覺，會因為周遭的步調、生活、環境和天氣的不同， 而有不同的感受。

考量大溪地區的地形因素，我們認為目前在大溪有機會看到 101 的地點可能有兩個，第 一個是位於崎頂的「遠雄大溪地」，這一區是大溪地勢較高的地區，因此很適合在附近搭設 「網美打卡點」製造出觀景台，畢竟要提升大溪的經濟發展的第一步就是需要「宣傳」，比 起廣告、電視的宣傳，網紅、網美更貼近生活，對年輕人的影響力也更為強大!

第二個地點則是位於大漢溪右岸的「山豬湖生態親水園區」，來都來了當然要欣賞一下 大漢溪上的風光啦!在中國江南有「東方威尼斯」，在大溪當然就要有「大溪威尼斯」啦! 坐在樸素的竹筏上，吹著微微涼風，看著遠方的 101，隨著雲霧的移動，時而清楚，時而朦 朧，增添了需多神秘感!來到步調優閒的小鎮，感受那種輕鬆的無重力感生活吧!

為什麼實際上看不到

人算不如天算!就算計畫的再完善總是會有些意想不到的小插曲!因為我們有根據 Google Maps 的地形圖去找大溪最有可能看得到的地方，經過我們實地訪查也使用望遠鏡和 相機試著尋找 101 的身影，卻只能在正確的方位發現疑似 101 的避雷針，我們推論，101 的 建築物大部分都被位於三峽的鳶山所擋住，導致我們想要看到 101 的夢想窒礙難行。

不過為什麼鳶山會擋住 101 呢?我們利用相似三角形的原理來推算，建築物或樹木—— 這類遮蔽物超過多少公尺，就會擋住我們的視線，而無法看見 101(如圖四):

大溪老街到 101 的直線距離:32.45 km 

大溪老街到鳶山的直線距離:7.48 km

101 的高度:508 m

因為鳶山的海拔高度是 291 m，已經超過上面所計算的高度 117.10 m，所以從大溪看 101 都會被鳶山擋住!

跨年的時候要怎麼看到奶瓶刷

想像一下，我們在 300 公尺高的房間裡，往窗外一看，看見了一隻五彩斑斕的奶瓶刷正 熱情的綻放著，雖然距離遙遠到讓這支奶瓶刷看起來像是一支小仙女棒，對我們來說已經心 滿意足了!但以現況來說，想要在這裡看到 101 的話，目前是沒有這麼高的建築物，但經過 計算後，這邊提供幾個方法:

一、可請愚公來幫助我們把擋住 101 的鳶山往後移動約 18.6 km。

二、把鳶山挖到低於 117.10 m。
Impossible is nothing.人因夢想而偉大，這樣一來我們就能在大溪看 101 跨年煙火了!

作者 劉柔均 / 嘉義縣立大埔國民中小學

壹、 前言

台灣和美國總統大選在近年，常常發生權威民調公司選前民調和最後大選結果完全不 同的情況。原因之一，就是發生辛普森悖論的情形。本文以 2016 年台灣總統大選選民 結構為依據，探討這樣的選民結構，民意調查藍綠陣營忠誠度時，藍綠陣營忠誠比例 的範圍應如何，才會發生辛普森悖論的情形。以及此時該如何修正，才能得到準確的 忠誠度比例。

貳、 研究方法與設計

定義:某陣營的支持者在投票時，投給該陣營的候選人，這時稱該支持者 為忠誠。

一. 何謂辛普森悖論及辛普森悖論如何影響民調準確性

辛普森悖論:人們探究兩種變量是否具有相關性時，會分別對之進行分組研究。在分組比較中都占優勢的一方，在總評中有時反而是失勢的一方。該現象於 20 世紀初就有人討論，但一直到 1951 年，E.H.辛普森在他發表的論文中闡述此一現象後，該現象才算正式被描述解釋。後來就以他的名字命名此悖論，即辛普森悖論。

二. 辛普森悖論如何影響民調準確性:假設選戰中只有勢均力敵的甲、乙兩陣營，選前 使用住宅電話和手機做各陣營忠誠度的民意調查時，可能住宅電話和手機民調調 查結果都是甲陣營較忠誠，但是按照各陣營住宅電話和手機使用人口實際加總， 再除以各陣營總人數，算出各陣營忠誠度，卻是乙陣營較忠誠。因此，只是單純 看住宅電話和手機民調調查結果都是甲陣營較忠誠，就會做出甲陣營的人較忠誠 的錯誤結論。

三. 民意調查台灣藍綠忠誠度時發生辛普森悖論的條件探討:

勢均力敵的甲、乙兩陣營，各陣營的每個成員都能藉由 A 種或 B 種兩種互斥民調接受 忠誠度調查，結果如下表:

則當x₁ ＞ y₁且x₂ ＞ y₂，z₁ ＜ z₂，但最後 時，發生辛普森悖論的情形。

發生辛普森悖論的情形時:
幾何分析:當 x₁ ＞ y₁且 x₂ ＞ y₂，S=n₁+n₂=m₁+m₂，

設x₁ ＞x₂ 時，則有下面幾種可能:

(因為由上述的推論: z₁、z₂ 分別為 x₁和x₂、y₁ 和 y₂的內分點)

(2)

(3)

則此時發生辛普森悖論z₁ ＜ z₂的情形，只有(1)這種情況。

即:x₁＞y_1＞x_2＞ y₂，也就是A 種民調中兩陣營的忠誠度，都高於 B 種民調中兩陣營的忠誠度。
代數分析:當₁＞y₁且x_2＞ y₂， S=n₁+n₂=m₁+m₂，

設x₁＞x₂ 時，但最後z₁ ＜ z₂ ，即:

四. 2016 年當時的選民結構 泛藍、泛綠各自人數: 

全體選民中:泛藍選民占 29%;

泛綠選民占 31.4%;

中立及無反應選民占 39.6％[1]

泛藍、泛綠差距為 2.4%，在誤差範圍內，加上由於當時的社會氣氛，泛藍不表態 的人數較多。 中立及無反應選民中，又有很多隱性的藍綠選民，他們只是口頭表示自己中立，

但內心對政黨的認同度和表態自己是泛藍、泛綠的人相同[2]。考量台灣總統大選，

最後往往是藍綠對決，因此，假設全部選民中，泛藍、泛綠各半。並且，依照當 時紀錄，台灣地區總選民為 1850 萬人。故假設當時泛藍、泛綠各 925 萬人。

泛藍、泛綠各自住宅電話與手機底冊: 

 按照受訪選民電話使用狀況進行劃分時:

P₁ 代表「唯住宅電話族」

P₃ 代表「唯手機族」

P₂ 代表「兩者均用族」

而依據 2016 年台灣總統大選民調推算結果:

泛藍:

P₁=5.54%

P₂=79.93%

P₃=14.53%[1]

泛綠:

P₁=7.47%

P₂=76.19%

P₃=16.34%[1]

研究發現，在考量「樣本涵蓋率」的前提下，若從整體估 計差距的角度觀察，「住宅電話調查為主，唯手機族資料為

輔」應是最佳的組合方式 1 。也就是說，泛藍、泛綠各

自分成二類:「兩者均用族」全部歸給「住宅電話族」一 起調查為一類;另一類為「唯手機族」。 所以，泛藍、泛綠各自住宅電話與手機人數如下:
泛藍:

住宅電話使用人口為 790.6 萬人

唯手機使用人口為 134.4 萬人

泛綠:

住宅電話使用人口為 773.9 萬人

唯手機使用人口為 151.1 萬人

五. 舉例分析: 

針對上面的理論，我們舉一個自己假設的例子。 假設泛藍在住宅電話、手機民調中，忠誠度皆較高， 但是二者人數加總後，再算出的全體忠誠度卻較低:

避免發生辛普森悖論的情形，應該進行的修正:

參、 結論 民意調查，是一門複雜的科學，稍有不注意，可能預測完全失準。由近二十年來，美 國和台灣權威機構的大選民調，紛紛失準，可以窺知一二，而造成失準的原因，其中 之一就是辛普森悖論。因此，在做民調時，要先設計問卷，釐清中間選民，並將各陣 營在各種民調方法的成員數目、成員是否都能藉由互斥的民調方法受到調查，調查清 楚。並且將所得資訊進行修正，才能獲得準確預估的資訊。

參考文獻

1. 張鐙文、黃東益、洪永泰，”住宅電話與手機雙底冊調查的組合估計:以 2016 總統選舉預測為例”，選舉研究第二十四卷第二期(2017/11)
2. 劉正山、蔡艾珍，”中間選民的迷失與隱性選民之政黨傾向初探”， 台灣政治學刊第二十卷第二期(2016)
3. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BE%9B%E6%99%AE%E6%A3%AE%E6%82%96%E8%AE%BA

作者 劉奕佑、劉晏芮 / 信義國中小學

一、研究動機

某天上國文課時，老師講到了「入木三分」這句成語。從小就開始學書法 的我，自然感到十分驚訝!畢竟，要用多大的「手勁」，才能將墨水穿透過 0.7 公分厚(三分)的木頭，那勁道該有多強啊?真的能做到嗎?又或是王羲之只是 使用了小技巧?

◆ 入木三分的歷史由來 

  入木三分，此成語典故，出自於古代的著名書法家王羲之。

  王羲之寫的字既秀麗，又很蒼勁，這是非常不容易的。

這句成語，本來形容「筆力遒勁」。 後來，比喻分析問題很深刻、透徹， 或描寫精到生動! 

➢ 原文:唐•張懷瓘《書斷》:”晉帝時祭北郊;更祝版;工人削之;筆 入木三分。” 

據說，有一次皇帝在北郊舉行祭祀的儀式，必須更換原本已寫有祝祭文的 木版，工人們在削去王羲之寫過的木版時，發現他的筆跡竟然透入木版有三分 之深!由此可見，王羲之雄厚強勁的筆力!

PS:當時的「三分」大概就是現在的 0.7 公分。

二、實驗目的

1. 驗證「入木三分」的可行性。
2. 如果「入木三分」是可行的，找出可達成「入木三分」的最佳條件。

三、研究方法與實驗

 A. 壓力公式

F = 所施之力，A = 接觸面積

➢ F = 500 gw 和1000 gw ，再加上靜摩擦力132 gw。

➢ A ( 針頭面積 ) = (0.2)² 𝑐𝑚²= 0.1256 𝑐𝑚²

B. 實驗器材

墨汁、木塊、軟木墊、尺、針筒、熱熔膠和熱熔膠槍、塑膠杯(上面割洞) 長尾夾、電子秤、大布丁盒、華司(8 公克一個)數個、滴管、線鋸(機)、剪刀。

C. 實驗步驟

1. 尋找與「木頭的滲透性」有關的資料。
2. 準備實驗器材:墨汁、不同種類的木頭、軟木墊、尺、針筒、熱熔膠和熱 熔 膠槍、塑膠杯、長尾夾、磅秤、布丁盒(大的，一盒 20 元的那種)、華司 (8 公克)數個、滴管、線鋸(機)、剪刀。
3. 先在針筒上方黏上布丁盒，用來裝華司。
4. 在塑膠杯的底部割出 r=1.6cm 的圓孔，再將針筒套進塑膠杯，因為塑膠杯 可以有效的支撐整組器材及華司的重量。
5. 用滴管在針筒內加入大約 10 毫升的墨汁，然後迅速的將木塊或軟木墊用熱 熔膠黏上。熱熔膠要記得灌多一點，不然墨汁會滲出來。
6. 實驗分成兩大組，實驗時間都是三天。第一組的操縱變因，是比較施加的 壓力對墨水滲透的影響，模擬的是王羲之寫書法的力道。

7. 以針筒的靜摩擦力 132 公克重分別加上 500 公克重及 1000 公克重的施加重 量。所以其中兩組實驗裝置的布丁盒中裝的華司重量分別是 132gw+500gw=632gw 及 132gw+1000gw=1132gw
8. 另一組的操作變因，則是比較材質的差異對墨水滲透的影響，模擬的是腐 木及實木的差異。實木的細胞間隔空隙較為緊密，而腐木的細胞間隔空隙 則較為鬆散。本次以木塊模擬實木，軟木墊模擬腐木(都是 0.7 公分厚)。

D. 實驗結果

四、結論

1. 墨汁無法在沒有施加壓力的情況下達到「入木三分」的效果。
2. 軟木墊在被施加1公斤壓力的情況下可以馬上達到「入木三分」的效果。 所以我們大膽猜測:王羲之可能並非真的是隱世高手，其手勁可能無法使墨 水滲入三分，亦或他當時使用的木頭可能是腐木，而不是實木，就如同我們 所做的實驗一樣。
3. 我覺得我在這次的實驗中學到了一件事: 雖然大部分的歷史故事都是參考史實所描述的，但是誰又想的到故事的虛偽和真實性呢? 即使是傳說，還是有存在著那麼一點點的可行性與真實性。我們雖然不應該完全相信傳說故事，但也不能完全否定它曾經存在過。有時候現實就是這樣!你可能看到是這樣，想的是這樣;但是偏偏，事 實就不是這樣!不是什麼事情都是跟你所見是一模一樣的，我們是不是該更 注重於深入去了解一件事情的真相呢?
4. 我認為我們人就像是那塊木頭一樣，有時別人總是得在你讀書時給你一些壓 力，讀的東西才會進入你的大腦的最深處——-深層記憶區。所以有時別人 給你壓力時請不要感到厭煩，他其實是在幫你! 雖然在參考提到網路上的資料時，有提到有關於有機塗劑，防腐劑，木頭的紋路等等都會影響木頭的滲透速率，但是卻因資料不足時間緊湊等等原因，使我們無法將這些資料納入參考。

五、資料來源

1. 成語故事:入木三分@學習變的好有趣 https://fscholars.pixnet.net/blog/post/16733293
2. 入木三分是什麼意思,入木三分的解釋,造句,成語故事,英文翻譯

https://iccie.tw/q/%E5%85%A5%E6%9C%A8%E4%B8%89%E5%88%86

3. 入木三分的三分是多少 https://zhidao.baidu.com/question/423574175.html

4. 力透紙背，入木三分的效果是怎麼練成的? https://kknews.cc/culture/xjnlra9.html

5. 王羲之:「入木三分」才是我的功力 https://kknews.cc/culture/k3rrkbr.html
6. 入木三分的解釋|入木三分的意思|漢典“入木三分”詞語的解釋https://www.zdic.net/hant/%E5%85%A5%E6%9C%A8%E4%B8%89%E5%88%86

7. 入木三分|成語典故資料庫-成語故事,成語解釋,成語出處.https://all4test.wordpress.com/2007/06/19/%E5%85%A5%E6%9C%A8%E4%B8%89%E5 %88%86/

作者 沈含真 / 臺北市私立景文高級中學

一、研究動機

正值寒冷的冬天，暖暖包是禦寒之寶。霸王級寒流來襲時，我握著得來不易的暖暖包， 一邊搜尋這神奇之物的發熱原理。我發現市售暖暖包大多是由鐵粉、蛭石、活性碳、鹽、吸 水性樹脂製成，暖暖包裡的鐵粉經過搓揉後，會與氧氣進行氧化作用而釋放出熱量。我在國 中理化單元「濃度與接觸面積對反應速率的影響」裡學到，反應速度與物質的顆粒大小有關，這是因為顆粒越小，其可供反應的表面積就越大的原故。我想要更進一步探討究竟什麼形狀的鐵粉能讓暖暖包發熱反應速度最快。 

二、研究過程

假設鐵粉顆粒可以加工成任何凸正多面體(柏拉圖立體)的幾何形狀，且每一邊長為 a 而其外接球半徑為r₀。由維基百科所查到的相關資料已知:若鐵粉顆粒為正四面體(每面均為正三角形)，則其表面積(A)、體積(V)與外接球半徑(r₀)分別可以表示為:

因此該正四面體鐵粉顆粒的比表面積(S)表示成r₀的關係式為

此式代表每單位體積的鐵粉顆粒表面積與顆粒半徑大小呈現反比關係，也就是鐵粉顆粒愈小時對應的鐵粉表面積就愈大，暖暖包也就會有更快的發熱反應速度。 

但若鐵粉顆粒為正六面體(每面均為正方形)，則其表面積、體積與外接球半徑分別為:

這代表正六面體鐵粉的比表面積與r₀的關係式為

由此可以發現:正六面體鐵粉顆粒的表面積同樣與顆粒半徑大小呈現反比關係;但與正四面體的鐵粉相較，正六面體鐵粉即使顆粒大小相同(也就是r₀不變)，正六面體鐵粉的表面積 也只有正四面體鐵粉的 57% (5.2/9)。因此可以預期正六面體鐵粉產生的發熱反應速度也會較慢。 

若進一步考慮鐵粉顆粒為正二十面體的情形，則其: 

代表正二十面體鐵粉的比表面積與r₀的關係式為

顯然正二十面體鐵粉相較於正六面體鐵粉的表面積又更為縮小，其表面積為正六面體的73%(3.8/5.2)，因此可以預期正二十面體鐵粉發熱反應速度會更慢。 

觀察鐵粉顆粒由正四面體到二十面體的比表面積變化，我發現:凸正多面體隨著面數增加的主要幾何改變在於其形狀稜角越來越圓滑而趨近於球體。因此我再進一步比較球體的比表面積如下: 

故其

由上可以看出球體確實又較正二十面體的表面積更小，這顯示凸正多面體隨面數增加時，會因顆粒變圓滑而呈現表面積下降的變化趨勢。此變化趨勢可用下圖表示 

三、結論

在探討正多面體與表面積關係的過程中，我發現了:在顆粒大小相同的情況下，顆粒幾 何越接近球體，其比表面積就越小，由此可以推知越接近球體形狀的鐵粉氧化反應的速度也 就越慢。因此在製造暖暖包時，除了活性碳與鹽等催化劑的比例之外，鐵粉顆粒形狀的選擇 也是影響暖暖包放熱速度的因素之一。

在探究之中時間不知不覺地流逝，氣溫愈來愈低，又該換個暖暖包了。我打了個噴嚏， 用微微發抖的手指打開放著暖暖包的抽屜，心裡想著:我需要的才不是角落生物圖樣暖暖 包，這時如果能來個正四面體鐵粉暖暖包該有多好啊!

參考文獻

1. (1)  維基百科https://zh.wikipedia.org/zh-tw/柏拉圖立體
2. (2)  手心的太陽怎麼運行?暖暖包的科學https://pansci.asia/archives/73322

作者 劉侑騏、林祐成 / 台北市私立延平中學

一、研究動機 

對大部分棒球迷來說， Trevor Bauer（如圖一）這名字 應該都不陌生，他不僅是 MLB¹辛辛那提紅人隊的現役投 手，多數球迷都知道他有個「棒球科學家」的稱號，關於這 稱呼的由來，源自於 Bauer 的理工背景，Bauer 畢業於加州大 學洛杉磯分校，大學時期就主修機械工程，使他能更有效的 運用科學方法來增進自己的投球機制，加上他努力且細心的 個性，讓他日後成為了拿下賽揚獎²（Cy Young Award）的王牌級投手。 

2018 年的 1 月，Bauer 在社群網站 Twitter 上傳了一支影 片³，影片中他用一較輕的棒球，丟出了 116.9mph 的速球，相當於 187km/hr，震驚了所 有粉絲！因為目前最快的世界紀錄也才 105mph(時速 169km)，Bauer 投出的球足足比世 界紀錄快了時速 18km，而我們想要探討的就是：「假如他真的在比賽中投出 116.9mph 的速球，那打者能打到球嗎？」 

二、探究問題脈絡 

我們將討論問題進一步分成以下四個部分，進而得出結論。 

1. 計算「投手投出球」到「捕手接到球」的時間 

2. 對 MLB 揮棒速度最快打者來說，揮棒耗時為何？ 

3. MLB 棒球場情境下，跑壘狀況討論。 

4. 青少棒球場情境下，跑壘狀況討論。 

三、探究歷程 

1. 計算「投手投出球」到「捕手接到球」的時間 

我們採用公式「時間=距離÷速率」來進行討論，已知本壘板到投手丘的距離 為 18.4 公尺，扣除投手跨出的步伐，此處我們假設約為 1.4m。此外，116.9mph 的速球約為 187km/hr，187km/hr＝187000m/hr＝51.9m/sec≒52 m/sec，因此，投手投 出到捕手接到球的時間為(18.4 −1.4 )÷52=0.327 秒。 

2. 對 MLB 揮棒速度最快打者來說，揮棒耗時為何？

根據歷史資料4，MLB 打者平均揮棒耗時 0.15 秒，平均揮棒速度為 113km/hr， 史上揮棒最快打者之揮棒速度為 183km/hr，利用公式「時間=距離÷速率」計算：得知史上揮棒最快打者需要 0.092 秒完成揮棒動作。

此外，根據資料⁵，打者看到球並將影像傳輸至大腦內需要花費 0.1 秒，而大 腦只有 0.075 秒來判斷球的球速和進壘落點，大腦決定要不要出棒只需花 0.025 秒，另外 0.025 秒決定揮棒位置，高、低、內和外角，0.015 秒的時間讓大腦傳輸 訊號給雙腿開始做滑步動作，故球員反應時間共需秒。因此，對 MLB 揮棒速度最快的打者來 說，揮棒耗時應為 0.24+0.092＝0.332 秒。

3. MLB 棒球場情境下，跑壘狀況討論。 

在瞬息萬變的賽事中，任何一次跑壘都有可能影響 到比賽結果，因此，我們要確定壘包之間的距離。自 1840 年代的尼克巴克規則(knickerbocker Rules)訂定 起，棒球場的外型就沒有太大的改變，壘包與壘包間的 距離為 90 英尺，此規格也沿用至今（如圖二）。 

已知兩個壘包間距離為 90 英尺=27.4 公尺，由於在正常情況下球被擊到內野時，跑者應該都要被刺殺出局，因此，我們以內野區域離一壘最遠的三壘，作為測量標準。另外，「棒球傳到 一壘」可分為兩個階段：即「球滾到三壘的時間」與「三壘手在三壘接到球後，傳 到一壘的時間」。 根據資料⁶，取其中打席數超過 250 個的球員（樣本較值得參考者）平均約為 88.5mph，因此 MLB 打者所打出來的球均速（擊球初速）約為 88.5mph（1 mph＝1 英哩/小時），88.5×1.6＝141.6km/hr＝141600m/hr＝39.33m/sec。球自本壘滾到三壘的時間就是

接著，我們要計算「三壘手在三壘接到球後，傳到一壘的時間」。我們以聯盟 中頂級三壘手 Manny Machado 的守備影片⁷為測量標準，取影片中第 4、6、8、 12、17、20 的片段(較為接近三壘壘包者)以碼表計算從接球到傳到一壘的時間，分 別為：2.69、2.41、2.18、2.45、3.06、2.98 秒。接著依此數據來計算平均秒數，即因此球從三壘傳到一壘的時間約為2.628 秒。

又 MLB 跑者均速8＝27.0mph/sec＝8.1m/sec。當壘包間距等於 90 英尺時，跑 者跑到一壘的時間需要

4. 如果將球場換成青少棒球場規格，會發生什麼事呢？

以青少棒球場規格來說，壘包間距離為 80 英尺=24.4 公尺。而當壘包間距等於 80 英尺時，球滾到三壘的時間需要，而跑者則需要秒跑到一壘。

四、結論 

由前述討論得知，假如 Bauer 在場上投出了 116.9mph(187km)的球，球從投手投出 到捕手接到球的時間只需要 0.327(sec)，即便是對揮棒速度最快的打者來說，完成整個 揮棒動作也需要反應時間 0.24(sec)+加上揮棒時間 0.092(sec)=0.332(sec)，故無法揮到 球。因此就算請 MLB 史上揮棒速度最快的人來打擊也打不到，更何況其他人呢？ 

另外，當壘包距離為 90 英尺時，球員跑到一壘的時間為 3.333 秒，且守備方完成 刺殺所需的時間為 0.697+2.628＝3.325 秒，因此，跑者會被刺殺出局。 然而；如果壘包距離為 80 英尺時，球員跑到一壘的時間為 3.012 秒，守備方完成 刺殺所需的時間為 0.620+2.628=3.248 秒，因此，只要是跑壘達到聯盟平均速度的打 者，一個簡單的滾地球也能上到一壘，這對於防守方極為不利，也大大減少了攻擊方的 難度。 

所以，對大聯盟這些出色的球員而言，90 英尺的球場規格還是較為合理，不然， 大聯盟出色的球員們，在青少棒球場的比賽可就沒人想看了！ 

¹ 美國職業棒球大聯盟,簡稱美國職棒或大聯盟,是目前世界上最高水準的職業棒球賽事。
² 賽揚獎:是大聯盟投手最高的榮譽,每年大聯盟會頒發給國聯和美聯各一個投手。
³ Trevor Bauer 投球影片:https://youtu.be/oBp7x7EzGY4。

⁴ 揮棒速度資料來源:https://blastmotion.com/blog/baseball-swing-speed/#gref
⁵ 摘自《告訴你為什麼棒球打擊超難?》,https://www.sportsv.net/articles/amp/4877。
⁶ 擊球初速資料:
https://baseballsavant.mlb.com/leaderboard/statcast?type=batter&year=2019&position=&team=&min=250。
⁷ Manny Machado 守備影片: https://www.youtube.com/watch?v=pvqZHB7pOf8

⁸ MLB 跑者均速資料：https://baseballsavant.mlb.com/sprint_speed_leaderboard?year=2018&min=10。

作者 周浡誠 / 伸港國中

一、動機  

在某一次學校的作文課中，我想到「一落千丈」這個成語很適合用於表示成績快速下跌， 不過我腦中忽然浮現一個念頭：「千丈到底有多長呢？一落千丈到底有沒有可能呢？」不過， 我也沒有再去網路上查詢相關資料。就在最近又看到這個成語之後，好奇心驅使我繼續更深 入的探討這個問題。

二、內容  

「一落千丈」，這個成語的典故，是出於唐代文學家韓愈的《聽穎師彈琴》，其中「躋攀 分寸不可上，失勢一落千丈強」兩句，以攀登高山時忽然摔落谷底，比喻為官須小心謹慎， 不能大意。後來「一落千丈」被用來比喻成績、地位、景況或聲望急遽下降。   

那「一落千丈」是否真的有可能在人的生命中發生呢？要探討這個問題之前，就必須先 了解「一落千丈」中的「千丈」到底是多長呢？

➢ 1 市丈≒3.33 公尺  1 公丈=10 公尺 1 台丈≒3.03 公尺  

➢ 唐代時 1 丈≒3.7 公尺  

了解了這些長度單位所代表的長度後，就可以開始探討「一落千丈」的可能性了！因為 「一落千丈」這個成語最一開始是出現在唐代的時候，以唐代時期的 1 丈為「標準」的話，「千 丈」大約為 3700 公尺。（3.7×1000=3700 ｍ）

另一方面，為了更符合現代的度量衡，如果是以現代的「1 公丈」作為「標準」，那麼「千 丈」就是 10000 公尺。（10×1000=10000 ｍ） 

由上述的內容可知，其實以唐代的「1 丈」作為標準所計算出來的「千丈」及以現代的 「1 公丈」作為標準所計算出來的「千丈」，雖然都是「千丈」，但在真實的長度上卻是差了 一大截！ 

 唐代時著名的建築，像大雁塔(高 64 米)、小雁塔(高 45 米)、西禪定寺(高近百米)等建築， 距「千丈」還有一段很長的距離。  

既然，唐代時的中國建築沒有辦法達到「一落千丈」，那接下來就要來看看中國的高山！ 

 說到中國的高山，就不得不提到中國的「五嶽」。現代中國的五嶽分別為東嶽山東的泰山、 西嶽陝西的華山、中嶽河南的嵩山、北嶽山西的恆山、南嶽湖南的衡山。  但在唐代時，中國的五嶽指的雲南的「蒼山」(中嶽)、「烏蒙山」(東嶽)、「無量山」(南嶽)、 「高黎貢山」(西嶽)和「玉龍山」 

(北嶽)。既然韓愈的〈聽穎師彈琴〉是在唐代時所著，那就來看看唐代時的五嶽能否達到「一 落千丈」。 

➢ 位於雲南省大理市的「蒼山」，共有 19 座主要山脈，而這 19 座主要山脈的海拔高 度大多數都在 3500 公尺以上。最高峰為「馬龍山」，其海拔高度達到 4122 公尺。   

➢ 位在雲貴高原上的「烏蒙山」，呈東北─西南走向，北起雲南、貴州兩省邊界，南 至雲南省昆明市境內。烏蒙山主峰「韭菜坪」海拔高度約為 2900 米，為貴州省的最 高峰。 

➢ 位於雲南省的「無量山」，縱貫南澗、景東、鎮沅、景谷等地。無量山主峰，位於 景東縣的貓頭山，海拔約為 3306 公尺。 

➢ 位於中國和緬甸邊境的「高黎貢山」，呈南北走向，北起青藏高原南緣，南至雲南 德宏北部，全長 500 公里。主仰目嗄娃嘎普峰，海拔約為 5128 公尺。 

➢ 位於雲南省麗江市的「玉龍山」是中國最南方的雪山，南北長 35 公里，東西寛 13 公里，共有 13 峰，主峰扇子陡海拔約為 5596 公尺。 

 從以上的資料來看，若以唐代時的度量衡作為標準，唐代時五嶽中的蒼山、高黎貢山、 玉龍山，這三座山脈的最高峰皆可達到一落千丈。但若是以現代度量衡作為標準，卻還差了 一大截。

那既然連中國的五嶽都無法達成，那到底怎樣才能夠達成呢？  

 對了！既然說到了高山，那每個人都一定會想到「喜馬拉雅山脈」。喜馬拉雅山脈是世界 海拔最高的山脈，分在於青藏高原南緣，位於中國西藏自治區、巴基斯坦、印度、尼泊爾、 不丹等國的邊境上。山脈東西長約 2500 多公里，南北寛 200~300 公里。而在喜馬拉雅山脈中， 最廣為人知的當然是「聖母峰」，聖母峰又稱「珠穆朗瑪峰」，聖母峰是世界第一高峰，海拔 高度約 8848 公尺，位於中國西藏自治區和尼泊爾的邊界上。如果是以現代的度量衡作為標準 (10000 公尺)，那麼好像還差了一點。  

那既然是 10000 公尺的話，那麼好像有一個著名的地形景觀可以達成此標準。那就 是著名的「馬里亞納海溝」！既然是要「一落千丈」，那一定要從高處往下跳，那如果以海平 面做為基準的話，那海平面以下超過 10000 公尺的地方也可以達成「一落千丈」。馬里亞納海 溝位於西北太平洋的海床，是目前地球上最深的海溝，深度約為 10911 公尺。假設馬里亞納 海溝和海底是呈垂直的狀態，那縱身一躍跳入馬里亞納海溝中後，就可以達成一落千丈了(以 現代度量衡做為標準)。 

 其實如果要達成一落千丈的話，簡單來講就是要從非常高的地方跳下來、或者是要 跳入很深的地方。那如果要從很高的地方跳下來，最簡單的方式就是坐著飛機到很高的地方 後帶著降落傘往下跳就可以了。但是考慮到年代的問題，韓愈是在唐代時寫下〈聽穎師彈琴〉 這首詩，唐朝大約是在西元 618 年~907 年，但世界上的第一架飛機是由萊特兄弟在西元 1903 年時所發明，更別提第一架被發明出來的飛機是否能夠飛到比地面高出 10000 公尺的天空了。

三、結論  

 綜合以上內容，「一落千丈」在現代，是有可能達成的！  

 不過，俗話說：「攀得高，跌得重。」雖然是指不擇手段謀取利益的人，但和「一落千丈」 這個成語似乎有著異曲同工之妙。如果把這樣的概念套用在人生的路上，似乎也在警示我們 不可驕傲自滿，否則後果往往可能不堪設想。 

四、參考資料  

圖片來源：

1. 附圖 1 

https://zh.wikipedia.org/wiki/File:%E5%A4%A7%E7%90%86%E8%8B%8D%E5%B1%B1.JPG  2. 附圖 2 

3. 附圖 3 

4. 附圖 4 

5. 附圖 5 

6. 附圖 6 

https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Everest_North_Face_toward_Base_Camp_Tibet_Luca_Galuzzi_2006_e dit_1.jpg 

7. 附圖 7 

http://big5.sputniknews.cn/images/101942/64/1019426430.jpg  

8. 附圖 8 

9. 文中資料來源： 

https://pedia.cloud.edu.tw/Entry/Detail/?title=%E4%B8%80%E8%90%BD%E5%8D%83%E4%B8%88 一落千丈 

10. 五嶽 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E5%B2%B3 

11. 喜馬拉雅山脈 

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%96%9C%E9%A9%AC%E6%8B%89%E9%9B%85%E5%B1% B1%E8%84%89 

12. 馬里亞納海溝 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%A9%AC%E9%87%8C%E4%BA%9A%E7%BA%B3%E6%B5 %B7%E6%B2%9F

作者 丁燿東 / 延平中學

一. 研究動機 

小時候曾讀過一篇寓言故事《愚公移山》，在讀的過程中我認真地思考這篇故事的可能性; 到底這篇故事只是作者藉由愚公的「愚」和智叟的「智」形成對比來說明堅持到底的重要 性，還是真的發生過這件事呢?我想用我目前會的數學來探討這則故事。

二. 故事大意及研究背景 

大意:  

在王屋山的南方和太行山的西南方住著愚公一家人。愚公年近九旬，住家正對著這 兩座大山。他苦於山區北部阻隔，遂招集家人說:「我們把這兩座山挖平，直通豫州 南部到達漢水南岸，好不好?」大家都贊同，唯有他的妻子(智叟)提出疑問，說:「山 那麼大一座怎麼可能挖平，況且挖下來的土石要丟去哪兒?」眾人說:「渤海的邊緣。」 

智叟說:「渤海離這 800 里遠，來回一趟要半年耶。」愚公說:「我移不完，還有兒子 啊，兒子生孫子，孫子又生兒子…子子孫孫無窮無盡，山又不會變高，有何難哉?」

研究背景:  

1.中國山西省有個地方叫晉城市，位於王屋山和太行山的裡面，是平地，當地居民 說這裡就是他們祖先愚公他們家挖的。. 

2.《愚公移山》是一篇出現在戰國人列禦寇又名列子(450b.c. ~ 375b.c.)所著的〈列子〉 一書中的寓言故事。推測著於 400b.c.。

3.假設在 400 b.c.愚公的後人剛好挖完，進一步可推測愚公是什麼時代的人。

4.移的山是王屋山和太行山的一部份。

5.要將挖下的土石丟到渤海邊。

6.移山步驟：1焚山2移山和運土石到渤海的人同時進行。

7.從愚公家到渤海要半年才能往返一趟。

三.探討過程 

1.總質量 

晉城市面積:9420km²=9.42*10⁹m² 

將晉城市分成 2 半(一半是王屋山 一半是太行山) 各 4.71*10⁹m² 

2.焚山所花的時間 
晉城市未移山前概念上視圖: 

栽樹量

表面積(設為 4 塊正 3 角形):

68²*√3 / 4*4≒8*10³km²≒8*10⁹m² 

※正三角形面積公式: (邊長)²*√3 / 4 

王屋山植被覆蓋率 98% 

太行山植被覆蓋率 94.6% 

王屋山植被覆蓋面積: 8*10⁹*98%≒7.84*10⁹m²

太行山植被覆蓋面積: 8*10⁹*94.6%≒7.56*10⁹m²

兩山平均植被覆蓋面積: 

(7.84*10⁹+7.56*10⁹)/2=7.7*10⁹m² 

設一棵樹底面積+周圍面積≒1m² 

一座山平均有 7.7*10⁹/1=7.7*10⁹棵樹

設兩山同時放火，從下往上燒，同層的樹同時燒，一棵樹燒 30 分鐘( =一層燒 30 分鐘)

山分成 n+1 層，最上層有 1 棵樹，次上層有 a₁棵 

a₁=8 

a₂=16 

a₃=24 

a_n=8n 

※等差級數公式: n*(a₁+ a_n)/2 

1+n*(8n+8)/2=7.7*10⁹ 

n≒43876(取正) 

n+1≒43877 

總年數: 43877*30/ 525600≒2.5 年 

3.挖土石(挖土組)

總質量=1.4*10¹⁶kg

古代平均年齡 30 歲，30 歲為一代(即 30 歲生下一代)

設古代平均生下-夭折=4 個孩子

設 10 歲前的小孩不幹活，每人一生幹活 20 年，一天 12hr 

子孫繁衍示意圖:

各代的挖土組人數: 

2 代 b₁= 4*1/2=2 

3 代 b₂=16*1/2=8 

4 代 b₃=64*1/2=32 

 設第 n+1 代挖完 r=4(公比),b₁=2 

※等比級數公式: b₁*(rⁿ-1)/(r-1) 

2*(4ⁿ-1)/(4-1)>1.5*10¹¹ 

n 取 19 n+1=20 第 20 代挖完 

4.把土石運去渤海邊(運石組) 

 古代幹活的年輕人能用扁擔挑 150 斤(1 斤=0.5kg)的東西=75kg 

文中提到去渤海來回一趟要半年 

一人一生運 20 年*2 ^次/年*75 ^公斤/次=3*10³公斤 

運石組所需人數: 1.4*10¹⁶kg/3*10³≒4.6*10¹²人 

各代的運石組人數: 

2 代 c₁= 4*1/4=1 

3 代 c₂=16*1/4=4 

4 代 c₃=64*1/4=16 公比=4, c₁=1 

第 20 代挖土組沒用完，剩 2*(4¹⁹-1)/(4-1)-1.5*10¹¹≒3.2*10¹⁰人 

到 20 代運石組還需 4.6*10¹²-1*(4¹⁹-1)/(4-1)≒4.509*10¹²人 

4.509*10¹²-3.2*10¹⁰≒4.477*10¹²人 

第 21 代開始每代 3/4 的人去運土石 

第 21 代運石組有 4²⁰*3/4≒8.24*10¹¹人 

4.477*10¹²-8.24*10¹¹≒3.65*10¹² 

第 22 代運石組有 4²¹*3/4≒3.29*10¹²人 

3.65*10¹²-3.29*10¹²≒3.6*10¹¹ 

第 23 代運石組有 4²²*3/4≒1.31*10¹³人 

1.31*10¹³>3.6*10¹¹ 第 23 代運完土石 

5.總時間 

焚山: 2.5 年 

※愚公(一代)年近九旬所以不計 

 挖土石:20 代=19*30=570 年(挖完時，第 20 代雖還沒全死，但仍以 20 代整計算)

運土石:23 代=22*30=660 年(運完時，第 23 代雖還沒全死，但仍以 23 代整計算) 

因為挖土組和運石組是同時進行且 660>570，所以取 660 年 

 總時間: 2.5+660=662.5 年 

愚公移山雖可說是一壯舉，但依現今環保觀念來看，焚山不但會造成空氣汙染，移山更 會破壞野生動物的棲息地。我認為大家應該提倡環保，愛地球。

四. 結論 

400b.c. + 662.5 年=西元前 1062.5 年 

1.依上述推論愚公是商朝人，從西元前 1062.5 年開始移山，其後人花了 662.5 年在西元 前 400 年(〈列子〉一書所著時間)移完山。經歷過牧野之戰、犬戎之禍、春秋時代、三家 分晉。  

2.西元前 1062.5 正值商朝商紂王統治時期，國力強盛，四處征戰導致國內空虛，最後走 向滅亡。 

3. 愚公移山可能是真的，不過若視為寓言故事，其寓意除了世人普遍理解的堅持到底的 精神外，家庭團結亦是不可或缺的條件。 

4.承結論 3，需要的條件:

①愚公一家人都很有毅力也很團結 

  ②愚公的子孫都有孩子 

  ③愚公的後人都有幹活 20 年

圖源 

https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fzhuanlan.zhihu.com%2Fp%2F54892 588&psig=AOvVaw0N2drvR-ipixeb4Cz4p1Sf&ust=1611753723198000&source=images&cd=vf e&ved=0CAMQjB1qFwoTCJiT6N_Yue4CFQAAAAAdAAAAABAZ 

參考文獻 

1. google map 

2. https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%99%8B%E5%9F%8E%E5%B8%82 

3. https://baike.baidu.com/item/%E7%8E%8B%E5%B1%8B%E5%B1%B1 

4. https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%A4%AA%E8%A1%8C%E5%B1%B1 5. https://kknews.cc/zh-my/news/bjr8v9n.html 

6. https://daydaynews.cc/zh-tw/history/526900.html 

7. https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%88%97%E7%A6%A6%E5%AF%87 

8. https://kknews.cc/news/oykkb3p.html 9. https://baike.baidu.com/item/%E6%84%9A%E5%85%AC%E7%A7%BB%E5%B1%B1/8262 10. https://www.fengliask.com/farm/253097.html

作者 廖翊凱、張育維 / 私立弘明實驗高中

人體有許多不可思議的力量，在危急時刻才會發揮。因此想知道人類的最大力量並不容 易，有學過中國傳統武術的人更是難以估算。其中耐人尋味的，是在這些膾炙人口的武俠小 說裡，不可思議的「內功」。在這篇報導中，我們想藉由倚天屠龍記中的文字敘述計算張無 忌及滅絕師太所施力的大小，來探討「內功」的力量。 

一、乾坤大挪移 

《倚天屠龍記》第二十七回裡有這麼一段，話說「張無忌縱聲叫道：『塔上各位前輩， 請逐一跳將下來，在下在這裡接著！』塔上諸人聽了都是一怔，心想此處高達十餘丈，跳下 去力道何等巨大，你便有千斤之力也無法接住。崆峒、崑崙各派中便有人嚷道：『千萬跳不 得，莫上這小子的當！他要騙咱們摔得粉身碎骨。』張無忌見煙火瀰漫，已燒近眾高手身 邊，眾人若再不跳，勢必盡數葬身火窟，提聲叫道：『俞二伯，你待我恩重如山，難道小侄 會存心相害嗎？你先跳罷！』 

俞蓮舟對張無忌素來信得過，雖想他武功再強，也決計接不住自己，但想與其活活燒 死，還不如活活摔死，叫道：『好！我跳下來啦！』縱身一躍，從高塔上跳將下來。張無忌 看得分明，待他身子離地約有五尺之時，一掌輕輕拍出，擊在他的腰裡。這一掌中所運，正 是『乾坤大挪移』的絕頂武功，吞吐控縱之間，已將他自上向下的一股巨力撥為自左至右。 俞蓮舟的身子向橫里直飛出去，一摔數丈，此時他功力已恢復了七八成，一個迴旋，已穩穩 站在地下，順手一掌，將一名蒙古武士打得口噴鮮血。他大聲叫道：『大師哥、四師弟！你 們都跳下來罷！』」 張無忌要施多少力呢？張無忌將俞蓮舟下墜的力撥為自左至右，應以一斜上之下墜力抵 消，並使其合力成水平(左 ->右)，如圖(一)。

因斜邊長大於兩股，由此可知張無忌要施比下墜力還大的力量，才有可能成功。而這也需在跳塔人可以承受其力與反作用力的前提下才有機會達成。

我們可以算出俞蓮舟的下墜力，也就是張無忌要化解的力，其力為重力與衝力之和。其中，重力為人體質量乘以重力加速度。而俞蓮舟為成年男性，假定其為七十公斤，重力加速度9.8m/s²，故其重力為

70 × 9.8 = 686(N)。

接著，我們討論其衝力。首先先討論俞蓮舟的位移。在《倚天屠龍記》中金庸先生寫到「萬安寺高塔共十三層，高十三丈…」可知當時高塔上一層樓高一丈，而當時六大門派高手逃至第十層且立於地板。所以俞蓮舟應是從約九丈高落下，而非塔上諸人心想之「十餘丈」。張無忌在俞蓮舟離地五尺時一掌拍出，所以共落下八丈五尺，而元代長度的一丈(十尺)等於現今3.12m，故位移為

8.5 × 3.12 = 26.52m。

因是自由落體，初速為0m/s。接著計算其末速度，已知加速度為 9.8m/s2，帶入等加速度公式

可得其末速度約為 22.8m/s。

已知質量m = 70kg，速度變化∆v = 22.8 − 0 = 22.8(m/s) 。不妨假設其接觸時間為

0.1 秒，由衝力公式P = m∆v/t可計算其衝力為15960 N。

由以上計算可知，張無忌要化解的力為重力與衝力之和:

15960 + 686 = 16646 (N)

綜上所述，張無忌要施至少 16646 牛頓的力才能化解俞蓮舟的下墜力，比現今世界紀錄500kg(= 4900N)遠遠多了二倍有餘。而這僅是他最少要施的力而已，要使跳塔人落地後「一摔數丈」的力量勢必要比這 16646 牛頓的力要來的大。

二、峨嵋九陽功

回到《倚天屠龍記》第二十七回，往後看一點。話說「滅絕師太伸臂抱了周芷若，踴身下跳，待離地面約有丈許時，雙臂運勁上托，反將周芷若托高了數尺。這麼一來，周芷若變成只是從丈許高的空中落下，絲毫無礙，滅絕師太的下墮之勢卻反而加強。」

滅絕師太又要施多少力才能將周芷若托高數尺呢?

如前面所述，她們師徒實際上是從九丈高落下，滅絕師太在離地丈許時將周芷若托高。

我們假設滅絕師太是在離地 1.2 丈(丈許)時將周芷若托高三尺(數尺)。如此一來，周芷若就是從 1.5 丈(4.18m) 的高度再次做自由落體到地面。滅絕師太要多大力才能達成如此的效果，我們可以算一算。

依照金庸先生的原文，當時兩人掉落的軌跡如下圖(二)。

我們以祝緒丹小姐(於倚天屠龍記 2019 年版本中飾演周芷若)的體重做計算。她的體重為 43 公斤。首先我們計算周芷若第一次自由落體的位移，

9 丈 − 1.5 丈 = 7.5 丈=23.5m。

等加速度公式：

v₁² = v₀² + 2aS，

因是自由落體，初速度為0m/s，加速度9.8m/s²，因此周芷若的末速度為：

v₁ = 0 + 2 × 9.8 × 23.5 = 21.4 m/s。

然而周芷若被滅絕師往上托高了三尺，這往上三尺的速度無法直接算，不過我們能藉由
周芷若第一次離地二丈時的速度來反推。

所以

v₀ = 21.4m/s。

又位移為

3 × 0.312 = 0.936(m)，

初速度為0m/s,加速度9.8m/s²,再帶入

v₁² = v₀² + 2aS，

得

v₁ ≒ 4.3，

所以速度變化量為

21.4 − (−4.3) = 25.7(m/s)，

假設接觸時間為 0.1 秒,則衝力

P = mv/t = 11051(N)，

滅絕師太需施的合力為：

衝力+重力=11051 + 43 × 9.8 = 11472.4 (N)

綜上所述，這表示滅絕師太須施 11472.4 牛頓以上的力，雖無法與張無忌 16646 牛頓的

力道相比，但也比世界紀錄(4900N)多了二倍多。

三、結論

綜上所述，張無忌運用乾坤大挪移可施 16646 牛頓的力，滅絕師太練峨嵋九陽功可施11472 牛頓的力。張無忌只出一掌，而滅絕師太功力未復，又中了玄冥神掌，兩人皆未使出全力，力量卻已遠遠超出目前世界紀錄許多。此等種種，實非吾輩人力所及可見武俠世界中的「內功」著實深不可測。