暖暖包裡的數學|2021數感盃|國中專題報導|銅獎

作者 沈含真 / 臺北市私立景文高級中學

一、研究動機

正值寒冷的冬天,暖暖包是禦寒之寶。霸王級寒流來襲時,我握著得來不易的暖暖包, 一邊搜尋這神奇之物的發熱原理。我發現市售暖暖包大多是由鐵粉、蛭石、活性碳、鹽、吸 水性樹脂製成,暖暖包裡的鐵粉經過搓揉後,會與氧氣進行氧化作用而釋放出熱量。我在國 中理化單元「濃度與接觸面積對反應速率的影響」裡學到,反應速度與物質的顆粒大小有關,這是因為顆粒越小,其可供反應的表面積就越大的原故。我想要更進一步探討究竟什麼形狀的鐵粉能讓暖暖包發熱反應速度最快。 

二、研究過程

假設鐵粉顆粒可以加工成任何凸正多面體(柏拉圖立體)的幾何形狀,且每一邊長為 而其外接球半徑為r0。由維基百科所查到的相關資料已知:若鐵粉顆粒為正四面體(每面均為正三角形),則其表面積(A)、體積(V)與外接球半徑(r0)分別可以表示為:

因此該正四面體鐵粉顆粒的比表面積(S)表示成r0的關係式為

此式代表每單位體積的鐵粉顆粒表面積與顆粒半徑大小呈現反比關係,也就是鐵粉顆粒愈小時對應的鐵粉表面積就愈大,暖暖包也就會有更快的發熱反應速度。 

但若鐵粉顆粒為正六面體(每面均為正方形),則其表面積、體積與外接球半徑分別為:

這代表正六面體鐵粉的比表面積與r0的關係式為

由此可以發現:正六面體鐵粉顆粒的表面積同樣與顆粒半徑大小呈現反比關係;但與正四面體的鐵粉相較,正六面體鐵粉即使顆粒大小相同(也就是r0不變),正六面體鐵粉的表面積 也只有正四面體鐵粉的 57% (5.2/9)。因此可以預期正六面體鐵粉產生的發熱反應速度也會較慢。 

若進一步考慮鐵粉顆粒為正二十面體的情形,則其: 

代表正二十面體鐵粉的比表面積與r0的關係式為

顯然正二十面體鐵粉相較於正六面體鐵粉的表面積又更為縮小,其表面積為正六面體的73%(3.8/5.2),因此可以預期正二十面體鐵粉發熱反應速度會更慢。 

觀察鐵粉顆粒由正四面體到二十面體的比表面積變化,我發現:凸正多面體隨著面數增加的主要幾何改變在於其形狀稜角越來越圓滑而趨近於球體。因此我再進一步比較球體的比表面積如下: 

故其

由上可以看出球體確實又較正二十面體的表面積更小,這顯示凸正多面體隨面數增加時,會因顆粒變圓滑而呈現表面積下降的變化趨勢。此變化趨勢可用下圖表示 

三、結論

在探討正多面體與表面積關係的過程中,我發現了:在顆粒大小相同的情況下,顆粒幾 何越接近球體,其比表面積就越小,由此可以推知越接近球體形狀的鐵粉氧化反應的速度也 就越慢。因此在製造暖暖包時,除了活性碳與鹽等催化劑的比例之外,鐵粉顆粒形狀的選擇 也是影響暖暖包放熱速度的因素之一。

在探究之中時間不知不覺地流逝,氣溫愈來愈低,又該換個暖暖包了。我打了個噴嚏, 用微微發抖的手指打開放著暖暖包的抽屜,心裡想著:我需要的才不是角落生物圖樣暖暖 包,這時如果能來個正四面體鐵粉暖暖包該有多好啊!

參考文獻

  1. (1)  維基百科https://zh.wikipedia.org/zh-tw/柏拉圖立體
  2. (2)  手心的太陽怎麼運行?暖暖包的科學https://pansci.asia/archives/73322

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