如何在撲克牌魔術中融入數學 |2021數感盃|國中專題報導|佳作

作者 黃皓晨、吳承恩 / 林口康橋國際學校

一、摘要 

本篇主要討論 Perfect Shuffle 的原理與模算數和各類 Perfect Shuffle 的關係,如三疊和四疊 Perfect Shuffle,並從中發現讀心術的魔術。 

二、研究動機 

撲克牌是一種十分經典的桌遊,有各種獨特的玩法,如德州撲克,二十一點,都是賭場必備 的項目。而幾乎所有玩法都會需要洗牌,我們就想到了一些問題:如果用 ”perfect  shuffle”(分牌個相等的牌堆,各 26 張牌,恰好交錯)的話,第一張牌要”perfect shuffle”多少 次才可以回到原位呢?我們又從這個問題延伸出了其他的問題:如果分成三疊呢?或一次兩 張呢?這些東西之中,會有什麼規律嗎? 

三、主要結論與數據 

我們把情況分成四種 : 1.「兩疊」 2.「三疊」 3.「四疊」4.「一次兩張,兩疊」 經過計算,我們得到了以下的結果: 

3-1:數據 

(ㄧ)兩疊 

4 張的時候,排列方法會是(數字代表由上往下每張牌的編號,1 即為由上往下第一張牌): 1234  

1324 

1234 

(3 次)

6 張的話: 

123456 

142536 

154326 

135246 

123456 

(5 次)

8 張: 

12345678 

15263748 

13572468 

12345678 

(4 次)

10 張(10 張以後,因 10 容易造成誤會,改用英文字母代替):

ABCDEFGHIJ 

AFBGCHDIEJ 

AHFDBIGECJ 

AIHGFEDCBJ 

AEIDHCGBFJ 

ACEGIBDFHJ 

ABCDEFGHIJ 

(7 次) 

12 張: 

ABCDEFGHIJKL 

AGBHCIDJEKFL 

ADGJBEHKCFIL 

AHDKGCJFBIEL 

AJHFDBKIGECL 

AKJIHGFEDCBL 

AFKEJDICHBGL 

AIFCHKEBJGDL 

AEIBFJCGKDHL 

ACEGIKBDFHJL 

ABCDEFGHIJKL 

(11 次)

(二)三疊 

6 張: 

123456  

135246 

154326 

142536 

123456  

(5次) 

9 張: 

123456789 

147258369 

123456789 

(3次) 

12 張: 

ABCDEFGHIJKL

AEIBFJCGKDHL

AFKEJDICHBGL

AJHFDBKIGECL

ADGJBEHKCFIL

ABCDEFGHIJKL

(6次) 

(三)四疊 

4 張: 

1234  

1324 

1234 

(3次)

8 張: 

12345678 

13572468 

12345678

(3 次)

12 張: 

ABCDEFGHIJKL 

ADGJBEHKCFIL 

AJHFDBKIGECL 

AFKEJDICHBGL 

AEIBFJCGKDHL 

ABCDEFGHIJKL 

(6 次)

從以上的研究,我們發現了 perfect shuffle 似乎需要計算餘數,然後我們問了老師,便得知有 一個叫模算數(ModuLar Arithmetic)的算術系統,於是我們先用兩疊來實驗,並觀察 2 在數列 中移動的規律: 

以四張為例 

1234 

132

1234 

在兩疊中,發現會是2K (2 是疊數,K 是洗牌的次數)mod (張數減一),舉例來說,在兩疊四張中,計算方式即為2K (兩疊) mod 3 其中 mod 3 是因為 4-1。觀察 2 前面的數字個數變化依序為 1 個,2 個,1 個。

再來討論六張 

123456 

142536 

154326 

135246 

123456 

2 前面的數字個數變化依序為 1 個,2 個,4 個,3 個,1 個 

在三疊中,計算方式即為 3K (三疊) mod 張數減一

三疊六張: 

123456 

135246 

15432

142536 

123456 

2 前面的數字個數變化依序為為 1 個,3 個,4 個,2 個,1 個 

四疊也一樣 

12345678 

13572468 

15263748 

12345678 

2 前面的數字個數變化依序為 1 個,4 個,2 個,1 個 

因此,52 張 2 疊即為 8 次 

3-2:主要結論 

根據費馬小定理ap−1 ≡ 1 (mod p),且由於沒有隨機性,所以在分兩疊偶數張的情況下,不管幾張牌都會回歸。每次洗牌都會有一個固定性可以回歸,張數不同會造成次數不一定。且因為同餘的性質同一模數的同餘數能相加、減、和乘

我們利用這個規律,做出了一個魔術。首先,按照順序將牌排好(牌數自訂,但必須是偶數),然後叫觀眾從中選一張牌,但不能讓自己看到。先偷偷記下那張牌在牌堆中的順序,並利用完美洗牌將牌移動到原本的位置。接著,故作玄虛的假裝再透視牌堆,並說出他選的牌是哪一張(就是牌的位置,超過十三的話就減掉,直到最後的數小於十三)。

研究以後,我們發現並不如原本預測的那般,越多牌就會洗越多次,也並非越多疊就洗越多次。經過研究,我們發現了一個很有趣的規律,也就是模算數。這種計算方式其實很實用,在進位法和時鐘都需要用到。

四、討論 

在做這次專題之前,我們並不知道有完美洗牌這種有趣的規律,發現這件事以後覺得 非常新奇。本文花了很多時間在討論偶數張的規律,以及如何從中發想魔術。這一次的結果 雖然沒有達到原先預想的目標,但我們這一次研究仍然學到很多,也對魔術有更多的了解。 我們這一次只找到了一次放一張牌,分成多疊的規律(偶數張),奇數張的無法看出其中奧秘。日後若有機會,可以繼續研究此相關的話題,希望可以討論出一次排兩張或三張的規 律,或者是尋找奇數張的規律,以及試著延伸更多種魔術。 

五、參考資料 

1. Youtube(2020/12/14)。52 Card Perfect Shuffles[網站]。取自 

2.CSDN(2020/12/24)。Perfect Shuffle 整理(又稱洗牌問題,舊地置換演算法) [網站]。取自 https://bLog.csdn.net/wsccdsn/articLe/detaiLs/8867629 

3.科展(2020/1/9)。數學、魔術、撲克牌 

4.科展(2020/1/9)。完美洗牌 

5. 詐欺遊戲 第二季 第三集

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