跟孫臏比一場賽馬吧!|2018|高中專題報導|第2名

作者 謝亞彤、林芳緯

「賽局」這個名詞已頻繁的出現在我們生活中,學者們將人類的互動科學化後,成為了 有趣的賽局理論,廣泛的運用在日常生活中。但早在 1944 年數學家馮·諾伊曼與奧斯卡·摩根 斯特恩合作著述《賽局理論與經濟行為》前,西元前四世紀的中國,著名的軍事家孫臏就已 運用賽局理論讓自己在紛亂的戰國時期嶄露頭角了!

話說可憐的孫臏被同窗龐涓陷害,龐涓仗著自己是魏國大將軍砍斷了孫臏的雙腳又在他 臉上刺字,如此侮辱人又不乾脆的痛下殺手,日後對方必定會加倍奉還的。果然天無絕人之 路,一日齊國使者出使魏國首都大梁,孫臏以刑徒的身分秘密拜見使者,以自己三寸不爛之 舌的功力讓使者偷偷把自己運回齊國,並得到齊國將軍田忌的賞識,待孫臏如上賓。不久《史 記孫子吳起列傳》中所記載家喻戶曉的「田忌賽馬」正式展開:

忌數與齊諸公子馳逐重射。孫子見其馬足不甚相遠,馬有上、中、下輩。

齊國的大將軍田忌很喜歡賽馬,並時常與齊國眾多公子賽馬。有一次,他決定挑戰齊威 王的馬匹。他們商量好,將各自的馬分成上,中,下三等。比賽的時候,雙方以上馬對上馬, 中馬對中馬,下馬對下馬。

在這裡我們不用任何公式就能百分之百證明田忌會輸,齊威王與諸公子每一個等級的馬都要比田忌的還強,因為他們是貴族諸侯,區區一個將軍如何與他們匹敵?(當然,如果兩 方實力不分軒輊也不用賽馬了,田忌大概早因功高震主被做掉了。)

表一

如表(一)所示,田忌不出讀者所料的屢戰屢敗。正當他覺得掃興時,他的幕僚孫臏向他走來(等等,他的腳不是斷了嗎?)。孫臏在經過前一場比賽的觀察後胸有成竹的向田忌打 包票:「大人您儘管下注,臣必讓您取得最終的勝利!」

田忌縱使疑惑但為了面子為了錢依舊加碼他的賭金,而齊威王屢戰屢勝,正在興頭,看 到田忌不服輸的舉動,也霸氣的命令部下把前幾次贏得的銀錢全部抬來,還額外押了一千兩 黃金。齊威王輕蔑地說:「那就開始吧!」一聲鑼響,比賽開始了!

孫子曰:「今以君之下駟與彼上駟,取君上駟與彼中駟,取君中駟與彼下駟。」既馳三輩 畢,而田忌一不勝而再勝,卒得王千金。

鑼聲鏜鏜響,田忌的心蹦蹦跳。第一局孫臏先以下等馬對齊威王的上等馬,結果田忌又 輸了。齊威王站起來嘲諷的說:「經過前幾次的慘敗,將軍你還學不到教訓嗎?」田忌沒有答 應。(實在不是因為要故作姿態,而是他的心現在正為了賠輸的錢淌血阿!)接著進行的第二 場比賽,孫臏拿上馬對齊威王的中馬,終於獲勝了一局,這時齊威王開始面露緊張了。最後 一局比賽,孫臏拿中馬對齊威王的下馬,又戰勝了一局。這下,齊威王簡直不可置信,田忌 竟然以同樣的馬匹,三戰兩勝贏了齊威王!如表(二)所示,比賽結果大挫齊威王的傲氣。

表二

田忌與齊威王的賽馬屬於賽局論(Game Theory)中的非合作賽局(Non-cooperative Game),即人們在利益相互影響的局勢中會如何制定策略使自己的收益最大。在表格中,賭金轉換成 一分,因為在嚴格公平的競爭下,一方的損失也就是對方的得利,這種賽局往往是有輸有贏 拚得你死我活,所以雙方玩家不可能存在合作的可能,而他們的收益與損失的總和永遠為 「零」。

因此我們將孫臏幫助田忌的比賽結果轉換為下表(三):

表三

表格中的(x,y),x表示田忌的勝負,y表示齊威王的勝負。-1與1則分別代表敗與勝的報酬。田忌獲勝的情形有三種,分別是上對中、上對下、中對下,但同一局(三場)比 賽中不能派出兩次上馬,因此本賽局對田忌的最佳策略,就為下對上、上對中、中對下。

孫臏能選擇正確的出賽馬匹順序為 1/3×1/2×1/1=1/6 但又因為齊威王是按原先規定以上中 下的次序派馬匹,因此獲勝機率就變成1了。(所以故事中田忌能輕鬆取勝,都要歸功於齊威 王是遵守規定的乖寶寶真君子!?)

這場賽馬又可稱為靜態賽局(Static Game),也就是齊威王與田忌同時採取行動,或者說,雖然不同時但後行動的人不能改變原有的出場順序,即使知道對方的出場序也不能改變自己 的。)

假如今天除了孫臏知己知彼,而齊威王也知道田忌的幕僚中有孫臏這麼厲害的角色,那 齊威王也可以與孫臏一樣顛覆規則,摒棄原本上中下的出場次序。這種賽局即稱為動態賽局 (Dynamic Game),也就是兩人都能在對方行動後立即應變。如表(四)所示。(1,-1)、(-1,1) 的含意與表(三)相同,而(-3,3)為田忌三場連敗之意。

在更複雜的完全訊息動態賽局中,田忌的勝率為 6/36=1/6

表四

如果有一天,齊威王與田忌雙雙來到現代,上演一場跨時代的穿越戀愛劇(喂!你們拿 錯劇本了!)進行一場 Bromance 的賽馬,按照現今盛行賽馬的香港賽馬會規則,馬匹分成五 等,意思是要比五場。假設五場出賽馬匹次序如故事一樣能隨意替換,那田忌獲勝的機率會 是多少?

首先依據馬匹由強到弱以 1~5 表示,若號碼相同則齊威王勝,會有 5!× 5!=14400 種的 出賽馬匹組合順序。若已知齊威王派出順序為(1,2,3,4,5)的馬匹出賽,則田忌可派(1,5,2,3,4)、(2,1,5,3,4)……等 27 組順序的馬匹出賽以贏得勝利。依此推類,在 14400 種馬 匹出賽組合中,田忌總共有27 5!=3240種組合可贏得勝利,勝率為3240/14400=9/40

對孫臏來說,算出的勝率 9/40 大於原先賽三匹馬的 1/6,我們或許可以預測如果孫臏穿越 時空來到現代,他也會是賽馬場的常勝軍!

時序來到三國時期,天下奇才諸葛丞相也有與孫臏同樣的見解(真是英雄所見略同),還 特別指出孫臏的賽馬說實為兵說也。

諸葛亮在《權書·強弱》中接著說:「下下之不足以與其上也,吾既知之矣,吾既棄之矣。 中之不足以與吾上,下之不足以與吾中,吾不既再勝矣乎?」諸葛亮深諳權衡之計,唯有放 棄小利,才能保全大局,贏得最終的勝利。「得之多於棄也,吾斯從之矣。彼其上之有三權也, 三權也者,以一權而致三者也。」所以藉著這一場賽馬,孫臏要告訴齊威王的不只是單純的 賽馬而已,更是領軍致勝之道,齊威王能領略這種高深的寓意也不是泛泛之輩,齊國而後能 稱王於中原,自齊威王始也。

這場歷史性的賽馬,大概是孫臏最為人津津樂道的趣事了(人們總是喜歡看弱勢的一方 運用謀略反敗為勝阿!),不僅讓他能獲得重用,其後他也才得以名顯天下,世傳其兵法,成 為中國軍事史上耀眼的星子。(也讓現今莘莘學子得到一個研究題材)

在現實生活中,我們也能藉著跳脫慣性思維,嘗試考慮對方各種可能的行動方案,並選 擇對自己最有利或最合理的策略(廢話,沒有人喜歡虧損,但正因為沒有人不會虧損,所以 更加凸顯賽局分析的重要性),如此下回賭博時我們也能親自實踐孫臏的機智贏得更多錢!

參考資料:
· https://kknews.cc/zh-tw/news/3m9vjzg.html 每日頭條田忌賽馬與動態推理

·http://wiki.mbalib.com/zhtw/%E9%9B%B6%E5%92%8C%E8%B5%9B%E5%B1%80 MBA 智庫零和博弈

·https://talkecon.com/sawgame1-5/ 白經濟 賽局奪魂鋸 1.5 ·http://boktakhk4.pixnet.net/blog/category/1456108 田忌賽馬@故事欣賞

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