分類彙整:2021高中組

絕地通天的大樹|2021數感盃|高中專題|佳作

作者 邱柏翰、鄧恩陞、周敬崴 / 竹科實中

壹. 前言: 

一. 研究動機: 

 在上古時期,遠在史實記載的傳說故事中,曾有各種管道使天地互通,直至三 皇五帝中的顓頊帝命令孫子重及黎將天向上頂,將地往下按,拆毀通天的管道,才使 天地完全斷絕關係,《山海經》記載在天地相通之時,有棵樹名為建樹,青葉紫莖, 玄華黃實,沒有枝枒,在地面根基上有九個支脈,果實小如芝麻,葉子小如梨花,它 就是九萬里高的通天樹,讀到這裡,我們不禁心神嚮往,想要嘗試以現代的科學,計 算出樹最高的高度,是否真可以直達九萬里雲霄,到達天界?

貳. 正文: 

一. 探討植物生長必需條件: 

 能量是生物維持基本功能必須的要素,在植物的領域,光合作用的產物——葡 萄糖——是能量最主要的來源,而植物行光合作用,水和二氧化碳是必要的原料,所 以既然通天巨樹要維持樹木頂部的機能,就必須把水分運送到高處。因此我們將「樹 木生長的最大高度」轉換成「水分運輸的最大高度」來討論。它提供植物細胞運作所 需的養份,且又是植物行光合作用必需的原料之一。 

二. 通天樹的水分運輸簡介: 

 為了探討「水分運輸的最大高度」,我們必須先對植物負責水分運輸的組織有 一些基本的了解。植物界裡有蘚苔、蕨類、裸子植物、被子植物等植物,其中有能力 生長成神木的就屬裸子植物中的松、柏、檜、杉。 

 裸子植物的木質部有像管子一樣的特化細胞,負責運送水份。水分子必須克服 地心引力,在木質部的管胞中向上爬升,始於深埋在泥土中的根,流經高可參天的樹 幹,最終來到樹頂,供給樹頂的樹葉生長。 

 循著水分子流經的途徑,我們討論出幾個可使水分子上升的機制,並藉由計算 這些機制所能造成最大高度,推導出樹木的極限高度。

三. 提供水分子上升的能量來源: 

1. 大氣壓力: 

 大氣壓力無所不在,有一個實驗是拿一個非常長的水管柱放在水池中, 並從上方抽氣,會發現水柱的最大高度大約是 10 公尺,10 公尺水柱所造成的 壓力這就大約是大氣所提供的壓力。如果把通天樹的木質部想像成水管,水柱 高度也差不多就是十公尺,但是世界上最高的植物——位於加州的「亥伯龍 神」——有 115.85 公尺高,可想而知,除了大氣壓力之外,必定還有其他動力 能使水分上升。

2. 表面張力與毛細現象:

前面提到我們將木質部想像成水管來討論大氣壓力,但是木質部其實是 由非常細的「管胞」集結成束所構成的。管胞到底有多細呢?依據前人的研究 報告,管胞直徑平均介於 10um~50um 之間。水分子在直徑那麼小的管中移動, 令我們想到「毛細現象」的效果一定非常顯著。毛細現象是水與管壁間附著力、 水分子之間的表面張力以及作用在水柱的重力相互作用的結果。 

水在毛細管中可上升的最大高度可帶入公式:

其中 h 代表水柱高度,單位為公尺;r 代表毛細管的半徑,單位為公尺。將管胞 的平均半徑帶入,可以得到水柱高度介於 6 公尺到 30 公尺之間。由公式可以看 出水柱的高度和管胞的半徑成反比,所以如果神木的管胞半徑屬於較小者,毛細現象的效果會比光靠大氣壓力顯著許多。將大氣壓力和毛細現象的效果相加, 水分上升的高度可達 40 公尺,這樣的高度雖然已經超過一般的樹木,但離加州亥伯龍神的 115.85 公尺還有好一大段距離,所以我們繼續思考其他可能性。

3. 根壓: 

 根壓簡單的說就是藉由植物內外的滲透壓差,使水分有進入植物體內的 趨勢,藉此動力使水柱上升(右圖),水柱上升高度所形成的壓力其實就是木 質部的滲透壓。  

從書本中查到根壓值大約在 0.1MPa 到 0.5MPa 之間,滲透壓π = ρgh,假設水溶液的密度接近純水的 1000 公斤/立方公尺,經過計算可得 h 大約為 10 到 50 公尺之間。根壓效應的效果確實比前述的毛細現象和大氣壓力更為顯著,但 是就算與前述兩個效應加總,還是無法達到亥伯龍神的高度,更遑論通天巨樹。 

4. 蒸散作用造成的張力: 

 最後我們找到由 H.H.Dixon 所提出的「內聚力理論」,此理論認為「蒸 散作用」是木質部內運移的最主要驅動力。理論假設在葉子內部,水像ㄧ層薄 膜貼附在葉肉細胞的攜水性表面,當蒸散作用發生時,在細胞間的水面會向後 退,導致介面的曲率半徑越來越小(右二),同時也造成「表面張力」的垂直分量變大,水有一股想要回到原本情況的趨勢,此趨勢使得木質部的水被向上拉升。

我們為了套用這個理論,因此建 立一個理想化的樹木模型,其中有一些數值是依據亥伯龍神的外型所做的粗估。我們假設樹的外型為一圓錐,並且粗估此圓錐的高度和底圓半徑比例為三比一;樹幹為一圓柱;樹葉從樹高的三分之一才開始生長,並且只生長在圓 錐的表面,圓錐內部都是樹枝。有了以上假設,我們便可以開始計算,過程如下: 

樹幹直徑與樹高的關係:為一圓柱,設高度為H。當高度 H 變大 2 倍時,樹重量變為 8 倍,為了保持底面所承受的壓力一樣,底面直徑應變成倍。也就是底面圓直徑應與成正比,它們之間有一比例常數 k。為求比例常數 k。我 們將一樣非常高的加州薛曼將軍樹(因為找不到亥伯龍神的樹徑數據)的數據帶入關係式:實際寬度將它的樹高和底面直徑帶入,得到 k=69.11。

樹葉為一圓錐,圓錐的高以樹高H來表示為。圓錐底面半徑為錐高的三分之 一,所以是

表面張力所能造成的最大壓力:假設水的表面張力分量cosA,A的角度變化從
0o~90o,當產生的力最大時,A=0 度,cosA=1。cosA=1 帶入表面張力公式
T = L × constant × cosA,可得T = L × constant ,其中 constant 在液體為水的情況下帶 72.75,只要將雨水接觸的表面長度L帶入,便能得到表面張力值。

接下來,為了看到葉子內部,下圖為一葉子中柱狀細胞的簡單示意圖。假設細胞為圓柱體,剖面為圓形,直徑為10μm,圖中有三個一樣大的柱狀細胞彼此相切,三圓中間藍色的部分代表水。將三個圓形的直徑相連,可以得到一個正三角形,在這個一個正三角形中,可以提供表面張力的長度是三個六十度的弧(箭頭所指處),架設細胞的半徑為10μm,總長度就是:2 × 10(μm) × π ×

此長度帶入表面張力公式T = L × constant 可得 0.002285 牛頓。

三角形的面積為:

將表面張力除以此面積可得單位面積上的表面張力大約為

假設樹葉只生長在圓錐的表面(不包含底面),將圓錐表面攤開成一扇

型,圓錐表面的面積為,此表面能提供的總張力為單位面積上的表面張力乘以圓錐表面的面積。假設

能運送水分的木質部僅佔樹幹體積的十分之一,張力所提起的水柱高度可表示為

將 k=69.11、水的密度 ρ=1000,重力加速度g=10 帶入,可得樹幹中水柱的重量為:

當張力T = mg時:

解 H 約為:6217.82(m)
此高度遠遠超過大氣壓力、毛細作用、根壓效果的總和,可見蒸散作用才是主
導水分運輸的最主要原動力。

5. 抗張強度的限制條件: 

 雖然知道水的內聚力很強,但其實水和其它材料一樣,所能承受的「張力」有 一定的限制,要是受到的張力超過臨介值,水柱就無法保持連續。目前所知在二十度 的環境下,無溶解氣泡的純水能夠維持在張力 25 到 30MPa。我們先前所計算蒸散作 用所造成的張力,算出極限高度是 6217 公尺,要維持這樣的高度,水柱的張力必須 達到 62MPa,超過水所能承受的抗張強度。因此若加上抗張強度的限制,樹木最高只能長到 3000 公尺高。 

參. 研究結果: 

 大氣壓力顯然無法提供充分的力量,於是我們轉而研究「毛細現象」和「根壓」的效 果,結果發現雖然能提供比大氣壓力更強的張力,但要達到現生最高的樹的高度還是十分勉 強。最後,我們探尋到細胞層級,使用「內聚力理論」,算出了極限高度約為 6000 公尺,在 水的抗張強度限制下,只能達到 3000 公尺,但仍然可以用絕地通天來形容。至於為什麼現生 植物都沒又這麼高呢?我想除了水份運輸外,一定還有許多限制因子,像是高空的強風會使「出類拔萃」的樹承受更大的風力,而且不定期的大火、閃電,都有可能成為樹木生長的干擾因子。

肆. 結語: 

根據上面建立模型計算後的結果,發現最高竟然只能長到三千公尺,雖然仍不及《山 海經》中那直上九萬里的建樹,但這或許就是古人想像力可敬之處。文人陶淵明曾作《讀山 海經十三首》,其中名句「泛覽周王傳,流觀山海經。俯仰終宇宙,不樂復何如?」乃是詩 人一邊泛讀《周王傳》一邊瀏覽《山海經》的感悟,俯仰之間縱觀宇宙萬物,還有什麼比這 還要更快樂的事呢? 由此可見,《山海經》的確是一本值得仔細品味之作。

過程|2021數感盃|高中新詩|金獎

作者 張亞誠 / 臺北市立建國高級中學

我看著數學題目
畫圓 作線
展開 整理
代入 消去
猜想 推翻

證出…… ?

再推翻

一遍又一遍
檢視自己的算式
騷一騷頭皮 左塗右改

新的計算紙 新的角度
摸一摸鼻子 捲土重來

天黑了

滿桌的黑屑
起毛的白紙
龐雜的算式
凌亂的輔助線

檯燈下的桌面就像片沙漠
橫躺的鉛筆是泛黃的骨頭
長串的計算是橫亙的沙丘
毫無生機
毫無靈感

忽然飄來了一片雲朵
滴了幾滴雨
渺小的開始  無限的希望

很快的  牛毛雨長成滂沱大雨
滋潤了黃沙
匯聚成小河
引理遍地開花
定理百出不窮

自然
綻放
Q.E.D.

想你|2021數感盃|高中新詩|銀獎

作者 曾緯庭 / 南山中學

天光裡的薄荷。羽絮的質量。斑駁歷久的枝椏。 

我在時序和廢墟的小數點間 

摺疊成 

名為想你的詩篇 

/

擁擠曦光的雪花莊園裡 想念的重量該從何計算 

/

想你凝望著我的時分 

想你瞳眸間跳躍的星光 

想你美的像眼淚的一切 

如斐波那契數般的疊加 

fn = fn-1+fn-2 

/

闃黑的闌珊夜晚裡 想念總會丟失原來的公式

倒反而不成比例 

掌中搖曳的藍火柴 

在 100℃裡急凍 -18℃裡沸燃 

/

想你 是無從言喻的顏色 

熟葡萄的紫代換為檸檬的青綠 

煙燻妝的濃灰消去了藍色的月光 

/

想你 是銀河下透明的海 

我想我無法成為你的岸 

因你是浪的迂迴 而我是無邊迷醉的海岸線。

/

好想你。 

/

在想你的 每一截詩句裡 在想

你的 每下心跳之間 我將連綿

的想念熬織成數感詩

嘗試嵌入浪漫的方程式

盜「數」|2021數感盃|高中新詩|銅獎

作者 王冠章 / 台南市私立瀛海中學

潮生汐死的古埃及的尼羅河,教堂十字架下,托勒密給出了各一個正確和錯誤的答案。 在阿拜多斯,將羽毛和靈魂劃上等號。用算幾不等式,算出死亡相等於孤單。 層次交雜的奧林帕斯山,阿基米德秤量宙斯的王冠。 

/

在絕對值的城牆下,不能踏入陰暗潮濕的地監。 

躲藏在其中,竊取教堂十字架,用火把點燃身旁的長明燈,深度未知,長度未知。 斜度為正值的階梯,向下,是否要迴轉? 

三角函數計算的結果除以生命的長短,無法算出答案…… 

/

蠕懦陰潮,暗祟攪擾,瞳靈失焦,低於海平面的面目,向下的指數函數。 阿米特在喘息,距離,是個極大的分數。 

/

心臟不能停下顫抖,未知數和羽毛還不能同步。 

大腦不能停下思索,在根號內放進疲憊的腳步。 

/

孔蘇已將十五放進二次函數,最大值將滿盈。

阿米特在嘶吼,距離,從真分數到整數。 

心憚悸顫,冥虫祟然,魂靈碎散,基於量子學的預估,y 為 0 的心電圖。 

/

摩伊賴打亂了十二道門的謎語,紀律、機率,卡爾達諾在賭桌上遞出收據。 付出十字架半具。 

剩下的半具,插入門扉的一隅,阿基米德留下的道具,轉動了矩。 

從杜阿特到奧林帕斯沒有回頭路,向上的指數函數。 

步入宮殿內部,取出王冠底下的寶物,名為圓周率的無限數。 

數學家和神祇的對賭,是宙斯棋差半步。

/

未來。 

人和л的圓舞……

空 集合 |2021數感盃|高中新詩|銅獎

作者 沈奕呈 /台中一中

是   空   集合 

在銀戒的圓環上微分出   紛沓指痕 

絕對值卻   框不正抹不亮   眉的沉思 

天空鳥瞰著寂寞的  我  鳥瞰著寂寥的空  集合 

空洞中幸福  如  鉛直線斜率  是人世間落單的  公因 

/

妳我相遇一瞬 

光速對撞  沉思塵散  似核炸裂  碎月電掣  商餘互放的光亮 

撞進心坎  合成幸福  實核熔合  緩慢消融  眉間久積的孤寂 

雪水與熱淚  合成函數  滴落  豐潤情的荒蕪  翻鬆心田 

煦風  瞬光  配方一朵  緣分的完全平方式 

/

眼神流轉  函數就位 

一交集  便自動外切 

連理的蛇莓  夢境般接近  如在複數平面中 

玉琢銀雕的  二次曲線頂點上 

被  林間括號千堆  燒一壺餾酒的  炙熱  

燻紅了緊貼的雙頰  被濃烈的曖昧嗆得  窒息 

悸動內心  謀合正弦波頻 

連傳靈魂  異地重根綻放  成  契合同心圓  心 

   心 

   相 

   印 

天狼輕眨豪俠星眼  以浪漫  深算信賴區間  

在繁星護衛下  橫掃夜的  空 

輕蹬飛光向量  星馳  銳利銀痕  踏在月的霓虹中

緩  緩  飄 

          落

/

鑲入戒身切點

套過同心指尖

傾聽  脈搏變號

勘根  笑靨熒爍 

/

幸福易  空 

所以  集合

與你的難題三道|2021數感盃|高中新詩|銅獎

作者 林佩妤 / 新竹女中

設 有來自無窮遠處的男孩和

未知路徑上踉蹌的女孩各一

奔流的時光裡飄盪成萍

以龐大至玄幻的字眼才能草擬輪廓的

錯綜軌跡 試證

億萬人海裡的擦肩都是命中注定

/

令男孩和女孩在時間軸的十七交會

滿夜的墨色一瞬升起了月光

迷濛裡的視線最是清晰

越是顫抖的拙樸擁抱越是

炙如烈焰要世界一起灰飛煙滅 求

一個好安放所有怯懦疑懼和幼稚的圖形方程式

/

已知世上沒有永遠重合的不等圖形

飛鳥想念雲上

鯨魚長不出翅膀

固執在口中生根的告別初次相遇時早被

命運說遍 試問

哪一個空間容得下我 再次住進你的眼睛

√7‧愛|2021數感盃|高中新詩|優選

作者 張若榆 / 中大壢中

嘲笑我吧

幾何的屋頂沉重,壓彎了肩膀

無理的標籤,是枷鎖纏繞

悶得身體發疼

/

而我,還是這樣的我啊

小數點下無止盡,是碎語狼狽

就別暴露在外頭讓人生厭

/

還相信童話嗎

說是總有一天,會有人

能溫柔拼拾不循環的武裝

明白一個靈魂凌亂,所求亦不過

有理的未來一盞

/

怪就怪我生得彆扭呀

/

思念也好,算式也罷

不值得被細讀的,不耿直而

曲折的喜歡,我從不說

任憑那些超載的蔑笑自屋簷坍落

/

是了,在每個被錯認的,i 與愛 之間

十分逼近亦無法救贖

我的反覆演算

像一紙苦思

承接了世紀以來的沉重輪迴

壓著我,無處可逃…

迷人的你|2021數感盃|高中新詩|優選

作者 殷郁婷 / 新莊高中

迷人的你, 

悠遊在無盡的長河裡。 

∕ 

畢氏學派的開闢, 

步出了誘人的足跡, 

五角星的尋覓, 

閃爍著希冀。 

∕ 

迷人的你, 

悠遊在無盡的長河裡。 

∕ 

歐幾里得的承繼, 

是新生的中外比, 

幾何原本的翻譯, 

奠定了美學的傳遞。 

∕ 

迷人的你, 

悠遊在無盡的長河裡。 

∕ 

費氏數列的耕犁, 

點出了時代的漣漪, 

神聖比例的洗滌, 

濺起了千年的回憶, 

兩千六百年的堆砌, 

築起了φ的宮邸。 

∕ 

迷人的你, 

悠遊在無盡的長河裡。