作者 葉承恩、樊蓁蓁 / 花蓮縣慈濟大學附屬高級中學

壹、前言 

一、簡介 

 在 2020 年 5 月 25 日，從「我會改變世界」到「我無法呼吸」的一齣慘劇，在熱浪滾滾的柏油路上上演著。一位非裔美國人-佛洛伊德，被三位白人警察壓制在地，其中一位警察 以手壓住被害人的背，另一位警察更以左膝壓住被害人的右頸部長達 8 分 46 秒，佛洛伊德從 小到大，或宏大抑或渺小的願望，都在短短幾鐘內嘎然而止。而因為種族歧視造成的衝突， 在美國、甚至世界各地都頻頻出現非裔美國人被執法人員殺害的案件。佛洛伊德之死再次引 發美國反對種族主義執法的大型示威，其更可被稱為是「美國歷史的重要拐點之一」。 

二、動機 

 佛洛依德之死，引起全美各地的示威與抗議，「Black Lives Matter」的口號更是漫延到了全世界。然而，關於佛洛依德的死亡原因，卻沒有詳細的聲明與解釋，因此我們很是好奇： 壓迫頸部與背部是否真的有可能導致死亡。希望透過數學、生物與物理的結合，找出真相。 

三、探討問題 

(一)警察壓制頸部是否會導致死亡？ 

(二)若壓頸導致死亡，則警察施多少公斤的力在受壓者頸部？ 

(三)警察壓制後背是造成死亡的原因嗎？

貳、正文 

一、探討過程 

(一)警察壓制頸部是否會導致佛洛伊德死亡？ 

 動脈，是人體中用來運輸充氧血的血管。而人體位於頸  部的主要動脈是：總頸動脈(左右各一條)。佛洛伊德被壓住 

的是右頸，也就是說，他的右總頸動脈被壓住了。 總頸動脈，是負責供應頭頸部充氧血最主要的動脈，在 頸部時分叉為外頸動脈(供氧給面部與頸部)和內頸動脈(供氧給大腦)。因此，總頸動脈 受迫會導致血流受阻，進而減少腦部供氧。腦部缺氧時超過四分鐘，腦細胞就會受到 永久性的傷害，無法復原。 

 由此可知，佛洛伊德的總頸動脈受到壓迫，而且壓迫時間還長達八分鐘，非常有 可能是他的死亡的原因之一。 

(二)若壓頸導致死亡，則警察施多少公斤的力在受壓者頸部？ 

 了解頸部受迫會影響總頸動脈的血流，進而導致佛洛伊德的死亡後，那麼，警察 究竟施多少公斤的力在受壓者頸部呢？ 

首先要先計算： 

佛洛伊德大腦的需氧量： 

左右總頸動脈總共提供多少氧給大腦： 

壓迫右頸的皮膚需要多少力：

由上可見，其實左右內頸動脈總和提供的氧(94.92ml/min)，遠遠超過大腦需要的量 (54.6ml/min)，那為甚麼佛洛伊德還會死亡呢？以下要做兩個假設。 

假設一：佛洛伊德沒有死亡，警察施了多少力在他的右頸上？

由上述可見，警察如果僅在佛洛伊德的右頸上施了 60 公斤重左右的力，雖然會導 致他的右頸動脈受到壓迫，但並不一定會造成死亡，因為右頸動脈未被完全壓死，所 以其所提供的氧，加上左頸動脈提供的氧，對大腦來說仍是充足的。 

 假設二：根據報導，佛洛伊德被壓制了 8 分 46 秒，但其實他在 5 分 53 秒時，便 已經沒有任何反應了。如果警察讓他在 6 分鐘內死亡，則警察施了多少力？

由上述可見，警察至少在佛洛伊德的右頸上施了超過 70 公斤重的力，導致他的右 總頸動脈受到完全壓迫，血流無法通過，而單就左總頸動脈分給左內頸動脈的氧供應 (0.7765 x 60 = 46.59ml/min)，不夠大腦每分鐘需要的量(54.6ml/min)，進而導致死亡。 

(三)警察壓制後背是造成死亡的原因嗎？ 

從前文得知，有一位警察壓制住佛洛伊德的後背，使他無法動彈，同時也減少他肺部擴張的空間，進而導致其死亡的發生。 

 由上表可知，在正常呼吸時，一般正常男子的潮氣容積約為 500ml，而在呼吸的時 候，肋骨上升、橫膈膜下降，此處假設佛洛伊德被警方壓制在地，且被壓住後背，導致他的肋骨被固定而無法上舉，同時，進出肺部的氣體量縮減 2 倍。

根據理想氣體方程式，且「當吸氣時，肺泡壓變小且比外界的一大氣壓小約 1cmH2O。」 (科學 Online，2009)，同時當人被壓制在地後，腎上腺素激發加上呼吸變淺，一分鐘的呼吸次數會由 20 次加快為 30 次，代表呼吸一秒會吸進 250ml 的氣體。

 

表為肺動脈在氧氣充足的情況下血液帶氧量，以及佛洛伊德被壓制在地、肺部體積擴張能力降低後，肺動脈所含的血氧量。

(血氧濃度:血紅素結合的氧量與血紅素氧容量之比)

從上表的數據來看，佛洛伊德呼吸一秒約吸進 24.15ml 的氧氣量，但他的血紅素需要攜帶 的氧氣量為 40.06ml，很明顯不夠所有血紅素攜帶氧氣。而他的血氧濃度約為 60%，遠遠低於 人體所需的 95%~100%，且低於 80%則稱為低血氧症，即為缺氧的表現，當沒有足夠的氧氣從肺部進入血液時，將會導致呼吸衰竭，進而導致心臟及腦部缺氧。  

另一方面來看，肺動脈每秒攜帶 24.15ml 的氧氣，假設佛洛伊德被壓制在地時，腎上腺素 激發，導致其心臟處於激烈運動，那心臟所需氧氣為 70/60≒1.167，而人體總共需要 1.167+2.085+2.947+1.553+32.939=40.691ml 的氧氣量，原本血液中飽和的帶氧量是 40.45ml，足 夠身體所需的氧氣量，但是當佛洛伊德被壓制在地後，血液中的帶氧量僅剩 24.15ml，導致身 體所需氧氣量嚴重不足，加上因為鎖骨動脈連接椎動脈，椎動脈則連接腦幹，血液中氧氣量 不足，則導致腦幹氧氣量不足，呼吸中樞功能喪失。上述不管是身體缺氧，抑或是腦幹缺氧， 最終都導致佛洛伊德的死亡。 

二、總結 

  1. 我們推測佛洛伊德死亡原因之一，是因為右頸動脈受至少 70 公斤以上的力壓迫，導致血流受阻，進而導致腦部缺氧，最終死亡。 

  2. 我們推測佛洛伊德死亡原因之一是因為後背受壓，導致肺部吸進氣體量減少，進而導致血液攜氧量不足，最終缺氧死亡。 

參、未來展望 

一、數據不夠多元 

因為基因聯會及重組使每個人都有其獨特，網路及書籍上的數據不足以概括世界上所有 的人種，也不一定完全符合佛洛伊德的身體性質，因此，我們只能以常態的方式來估算他的 所有數據。也因為佛洛伊德死亡的事件算是最近發生的憾事，因此網路及論文期刊都還沒有 針對他的研究，為此，我們查證很多資料及手算很多數據才得出成果。總結來說，雖然我們 都是參考國外論文來撰寫這份報告，但是因為我們英文閱讀速度較慢，因此無法看完所有相 關的文獻，希望未來我們能夠查詢更多國外的資料來佐證自己的想法，完善這份報告。 

二、社會議題 

 近幾年來，因為種族歧視而產生的憾事不計其數，而 2020 年中發生的佛洛伊德之死更引 發社會軒然大波。因為種族的隔閡，使好幾位追夢者離開這個美麗的世界，但也因為他們的 犧牲，讓我們看到社會的陰暗面。期待未來不會再發生類似的憾事，這個社會也能為人權多 付出一些。 

肆、參考資料 

 Walker, Jearl/ Halliday, David/ Resnick, Robert(2013)。Fundamentals of Physics。美國新澤西 州:Wiley。 

Urry, Lisa A./ Cain, Michael L./ Wasserman, Steven A./ Minorsky, Peter V./ Reece, Jane B.(2019)。 Campbell Biology。台北市:偉明圖書公司。 

科學 Online(2009)。呼吸，肺。2009 年 4 月 23 號，取 自:https://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?tag=%E5%91%BC%E5%90%B8%EF%BC%8C%E8%82 %BA 

healthline(2019)。What Is Hypoxemia?。2019 年 5 月 17 號，取自 

https://www.healthline.com/health/hypoxemia

Anatomy and Physiology。The Process of Breathing。取自 https://reurl.cc/8yolZy

[Determination of normal values of the aortic blood flow profile using continuous Doppler  echocardiography from apical and suprasternal echo position]。取自 https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/1570726/ 

作者 卿尚華、卿承宇 / 台南一中

壹、 前言 

一、 研究動機 

關於是否應該針對「2019 冠狀病毒」普篩或無症狀患者實施檢測等議題，曾在臺灣引起 相當多的討論，因此，我們決定深入瞭解檢測問題。 

二、 研究目的 

除了瞭解檢測原理外，我們將應用高中機率與統計的基礎，針對檢測問題建立其數學模 型，並探討提升檢測效能的機制。 

貳、 正文 

一、 簡介 

「2019 冠狀病毒」於全球大流行後引起軒然大波，也嚴重影響了我們的日常生活。 為了早日克服冠狀病毒的威脅，除了疫苗的開發外，病毒檢測技術是另一項重大的議題。 醫療檢測結果可以下表混淆矩陣呈現（吳俊忠。2017）。由於檢測試劑的正確率通常 難以達到百分之百，檢測結果難免會有錯誤，特異性指的是無帶原者（稱為狀況一 H₁） 中採檢陰性的比例，一般簡稱為「真陰性」的比例；而敏感性為有帶原者（狀況二 H₂） 中採檢陽性的比例，也可稱為「真陽性」的比例。當檢測出陽性時，受限於檢測試劑的 物理特性，有部分可能會是偽（或假）的陽性，檢測出陰性時亦然。由於機率和為一， 「偽陽性」與「偽陰性」分別由檢測試劑的特異性及敏感性所決定。

表一：混淆矩陣。

試想，如果是癌症篩檢，偽陽性的受檢者必定會產生極大的心理負擔；若是傳染力 高的冠狀病毒，偽陰性者恐怕會迅速造成疫情擴大而難以控制，因此，好的檢測試劑需 要最大化特異性與敏感性。如下圖所示，檢測數據m通常會以某種機率分佈呈現，為簡化數學符號，令m的條件機率 分別代表在H₁與 H₂發生前提下，檢測數據為m的條件機率，其中P代表機率。因檢測試劑的不完美， 與 通常會有部分重疊，是「偽陽性」與「偽陰性」產生的原因。檢測結果仰賴一門 檻值決定，當檢測數據m比門檻值大（小）時，判斷為陽（陰）性。所以，在狀況一 H₁下，若 m比門檻值大，則偽陽性發生，機率為紅色斜線面積；在狀況二 H₂下，若m比門檻值小，則是偽陰性，機率為藍色斜線面積。因此，當門檻值愈大，偽陽性機率愈小， 而偽陰性機率愈大。所以偽陽性與偽陰性會互相影響，通常是一必須取捨的問題，也就 是說，偽陽性愈大則偽陰性愈小，反之亦然。 

二、 研究方法 

(一)數學機率模型 

由於偵測試劑廠商並不會公開其量測數據的分佈機率，本專題將自行假設其機率分 佈，以驗證我們的想法。我們的問題有兩種可能的狀況，即無帶原者（稱為狀況一H₁ ) 與有帶原者（稱為狀況二H₂ ）。為探討一廣義的決策法則，我們假設量測數據存在誤差， 但有某種的可靠度，例如：量測數據，其中，S_H1 及S_H2 分別代表量測數據在狀況一及狀況二下可能的集合，代表聯集。為方便研究及呈現我們的想法，我們將假設m為整數，即S_H1 及S_H2 為整數形成的集合。由於誤差可能存在，S_H1 及S_H2 中的元素個數都不只一個且可能重疊。 與 代表檢測器量測特性，可藉由檢測器產品特徵化事先得之。由於機率和為1 （Richard Issac, 2002），所以， 亦然。

(二)單一（single）量測數據 

首先，我們先探討最簡單的例子，也就是說，當量測數據只有一個時，我們藉由上 節提出的模型，分析最佳的決策法則。我們先探討一個特例。如果，其中代表空集合，最佳的決策D明顯如下： 

其中，當D為0/1時，代表判斷結果為H₁/ H₂ ，因為當時，由於 ， 所以不可能發生狀況二，故可以推論為狀況一，反之亦然。但如果 ，當時，有可能為狀況一或狀況二，這時可利用下式判斷： 

單數據法：

(2) 其中， 。也就是說，「如果發生狀況一的機率大於或等於狀況二發生的機率，就決定狀況一發生，反之亦然。」 

(三)複數（multiple）量測數據 

  假設有N個檢測器，其檢測結果將有一控制中心負責收集所有數據後做最佳判斷。 實務上，可以同一（或不同）廠牌檢測器實施數次檢測，而每個檢測器將判斷結果回報 給中心，中心再利用收集到的結果決定，若認為是狀況一的個數大於檢測器個數的一半， 即 N/2，則判定為狀況一，反之亦然。此判斷方式我們稱為「投票法」：

投票法：

其中 

D_i為第i個檢測器的決策， ，m_i為第i 個檢測器的量測值。 當判斷式成立時，結果D=0，即判斷為H₁ ，反之，則判斷為H₂ 。此檢測法類似投票法則，少數服從多數。 

(四)實驗設計

任 何 量 測 誤 差 都 可 能 造 成 檢 測 結 果 錯 誤 ， 我 們 首 先 假 設 ，由於不論量測數據m為何，兩種狀況都可能發生，也就是說，我們預計實驗較嚴苛環境下的檢測結果。假設其機率如下所示：

其中 ， 滿足機率和為一。為了方便驗證提出的想法，我們故意 假設兩種狀況下的條件機率是對稱的，故理論上真陰性與真陽性的機率會一樣。此案例 是為了方便驗證提出的想法，可輕易延伸為其他不同的實際情況。 

(五)主程式介紹 

下表是我們完成的部分模擬主程式，模擬在狀況一H₁及各種複數量測數據下的正確 決策機率，即「真陰性」機率。因為「真陰性」機率 +「偽陽性」機率=1 ，即「真陰性」 機率愈高，則「偽陽性」機率愈低，因此本實驗也可看出「偽陽性」機率的結果。程式 中，%符號代表 MATLAB 中不執行的註解，可用來解釋毎一行程式的功能，請參考註解 說明。其他函數，如 sample_gen（為產生隨機樣本函式）等，因篇幅關係則無法一一列 出。 

表二： 模擬主程式。

(六)單數據法與投票法複數量測數據效能比較 

雖然直觀上有複數量測數據的輔助，檢測成功效能會大幅提升，但是我們仍然很 好奇是否真是如此？針對複數量測數據，每次實驗利用程式分別產生H₁及H₂之下的量 測數據各 個，至於單數據法則只有一個數據可以使用，即N=1 。我們利用程式共做了M=20000 次隨機實驗，檢測為「真陰性」與「真陽性」的機率如下表。由數據可 知，利用控制中心負責收集所有數據後做最佳判斷，檢測成功效能會大幅提升。我們探討的 及 是左右顛倒的，故狀況一及二的檢測結果理論上會是一樣的，模擬 實驗也呈現類似的結果。 

表三： 單數據法與投票法效能比較。

參、 結論 

期盼本篇專題能讓社會大眾對於檢測機率問題有正確的觀念。在本篇報告中，我 們解釋了檢測技術的原理，受限於檢測試劑的不完美特性，我們認知到「偽陽性」與 「偽陰性」的存在，使得檢測結果真偽難辨，遂引起諸多議題導致社會爭論不休，正 所謂「真作假時假亦真，假作真時真亦假」！若欲降低「偽陽性」/「偽陰性」，應上 升/下降門檻值，而隨之升高的「偽陰性」/「偽陽性」，則可利用本篇利用複數量測數 據的方法，以提升檢測準確性。首先，我們定義出檢測數據的數學機率模型；接下來， 則確認複數量測數據可提升檢測準確性；最後則撰寫程式模擬驗證提出的想法。由於 無偵測試劑廠商量測數據的分佈機率，本專題遂自行假設其機率分佈，未來可延伸至 量測數據為實數的環境中，也可朝著評估在真實數據下的準確性繼續探索。 

肆、 引註資料

 註一：吳俊忠（2017）。醫學分子檢驗（五版）。臺北市：五南出版社。 註二：Richard Issac (2002)。機率的樂趣（The Pleasures of Probability）。陳尚婷、陳尚瑜譯， 台北：弘智文化事業有限公司。

作者 蕭琨崙、李定叡 / 永春高中

壹、前言 

 新冠疫情之故，政府推出振興卷以刺激消費，同時各政府部門皆各自推出類似的各 種振興活動，包含農委會的農遊卷、體育署的動滋卷、文化部的藝 FUN 卷等都接連推出。 而其各自的中獎、兌換與使用方式皆不進相同。其中藝 FUN 卷採取登記後抽獎的方式推 出，民眾可以利用手機、便利商店 ibon 等取得參加資格並參與抽獎。我們也參加了藝 FUN 卷 1.0 的抽獎活動，其得獎方式是自己的身分證末位被抽中即可領獎。 

 抽獎過程中，邊看著電視轉播的我們，就發現了不少該抽獎方式的不公平處。很貽 害地，在抽獎結束後，我們並沒有中獎。然而，整個抽獎過程其實每個數字的中獎機率 並非均等的 (文章後面會對遊戲規則加以說明)，遊戲規則未定清楚，也是極引人爭議之 處。本研究將利用轉移矩陣的計算方法，求出各個數字的中獎機率，以說明抽獎過程不 公平之處。 

 在數感寫作的臉書專頁中，在抽獎活動結束後即已有對該問題做初步的分析，也有 留言者表示，自己使用了 C++ 語言模擬抽獎過程，在進行 100 萬次後，平均每輪遊戲 需進行 9 次才可結束遊戲。在本文的抽過獎規則設定中，若踩到 start 或 again 時，再次 行走時會視為第二輪，所以我們無法確定七輪內必定結束遊戲，我們希望利用轉移矩陣 的計算方法，依序優先求出第一輪到第三輪結束，各個數字的中獎機率，再求出第九輪(因 為平均遊戲次數為九次)各數字的中獎機率。 

貳、正文 

一、遊戲規則說明： 

(一) 由兩位負責抽號碼者，各自從 0~9 中取出一球 (取後不放回)，將兩球的點數相加後決定行走步數。

(二) 如點數相加後為二位數，取其個位數。例如：6 +5 =11，則取 1，代表行有 1 步。 

(三) 轉盤 (如圖一) 總共 12 格，除了 0-9 隨機置入轉盤之外，還有 start 和 again，放 在第零步和第六步，當行走到 start 和 again 時，重新取球，從該點再行走一次。 

(四) 走過的數字不會再被經過，經過時直接跳過。(走到過的格子即代表得獎) 

(五) 抽滿 200 萬人即停止遊戲，各尾號的人數皆在 30 萬以上，也就是說，遊戲最多 進行至抽滿七個數字時，中獎人數即可到達 200 萬人以上。 

二、遊戲設定：為了方便計算，在遊戲中加入了一些設定：

(一) 當經過 start 和 again，進行重新取球時，會視為進行了兩輪遊戲，因此我們必須 確定進行七輪時，中途過程中完全沒有停在 start 或 again，否則遊戲必定超過七輪 

(二) 為方便觀察，我們將各個格子依順序取名為 a₀ ~ a₁₂ 。(a₀ 、 a₁₂ 皆為起點) 

(三) 偶數步數：0、2、4、6、8 的機率皆為(以 0 為例：分別有1+ 9 , 2 + 8 , 3 + 7 , 4 + 6四種可能)。令a=

奇數步數：1、3、5、7、9 的機率為(以 1 為例：分別有0 +1, 2 + 9 , 3 + 8 , 4 + 7 , 5 + 6五種可能)。令b=

(四) 轉移矩陣計算方法：

1. 給定機率矩陣 ，其中m₁₁為前一步停留在a₀(起點)，下一步停留在a₀(起點，即狀態不變)的機率。m₁₂為前一步停留在a₁，下一步停留在a₀(起點)的機率。意即m_rs為前一步停留在a_s-1，下一步停留在a_s-1的機率(其中)。

2. 定義:初始矩陣M₀，M_n表示經過 n 步後的機率矩陣。顯然M₁ = MxM₀。而M_n= Mⁿx M₀。

3. 原先算出的矩陣機率會以分數呈現，但在遊戲進行到越後面時，越可能造 成分母過大，導致分數過於佔據版面以至於讀者不易閱讀。所以我們在進 行完畢第一輪後，將機率改以小數的方式呈現，方便讀者閱讀和觀察。

三、利用轉移矩陣計算，求出各輪遊戲結束時之各點機率。

(一) 第一輪各格之機率計算

由上述計算與表一可知，機率最大值在所有偶數步數位置 

即P(a₀) = P(a₂) = P(a₄) = P(a₆) = P(a₈) = 0.889 。 機率最小值在所有奇數步數位置上， 即P(a₁) = P(a₃) = P(a₅) = P(a₇) = P(a₉) = 0.111。

(二) 第二輪各格之機率計算

 由上述計算與表二可知，機率最大值在P(a₉) = 0.099。機率最小值在P(a₁) = 0.077。

(三) 第三輪各格之機率計算

由上述計算與表三可知，機率最大值在P(a₁₁ ) = 0.0841。機率最小值在 P(a₈) = 0.0803。 

(四) 第九輪各格之機率計算 

由上述計算與表四可知，機率最大值在P(a₀) = 0.08237。機率最小值在 P(a₁) = 0.08038。 

參、結論： 

一、 統整： 

利用轉移矩陣的計算方法算完第一到三輪各數的機率和第九輪各數的機率後，由 各輪矩陣可觀察出各點的機率是不均等的。但是 2、8 雖然在第一輪無法到達，但是 持續觀察機率到第九輪時，可發現到達 2、8 的機率逐漸變高，甚至超越其它數字。 但即便如此，這個轉盤仍舊是不公平的。 

(一) 未來展望： 

1. 由於我們轉盤的規則設定是將我們到達 start 和 again 時，重新取球決定步 數的動作都視為第二輪。如此將導致一個情形：若是不斷地行走六步，則將會造成永無止境的輪迴，所以我們期盼能將第 n 輪的機率矩陣M _n計算 求出，並討論此一轉移矩陣之各格機率最終是否會收斂。 2. 計算完第 n 輪各數字的機率後，我們期盼能找出使遊戲機率不均的理由， 並設計公正的遊戲轉盤，不論是改變轉盤格數或是決定步數的方式，都會 將是我們未來思考的方向。其實，如果兩位抽獎者能夠在抽球過程中改為 取後放回，就能將奇偶數不公平的狀況排除，但是中獎號碼的排列方式顯 然仍不是個公平的排列方式。

肆、引註資料:
一、吳妍(2020)。藝 FUN 券抽獎機率不均有 BUG?唐鳳親自回應了。取自
https://www.mirrormedia.mg/story/20200722edi008/
二、林倉億(2014)。「轉移矩陣」二三事。取自
https://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/hpm1705.pdf
三、陳一理(2013)。矩陣與行列式。台灣:建興
四、數感實驗室 Numeracy Lab。取自
https://www.facebook.com/numeracylab/posts/3278903902130613/

作者 賴妍希/ 高雄女中與陳沛恩/ 福誠中學

一、前言 

武道始於點而終於圓，直線亦從此一道理而生——大山倍達 

這句由極真空手道大師，大山倍達的話，呈現了武學由點至線，由線構 面，由面築圓，再乘以時間，有了繁複的變化，引人入勝。從演化歷史尺度來 看，人類從農業走向都市不過是一眨眼的時間，也許每個人深處多少對熱血戰 鬥的畫面都能感到共鳴，這也是許多青少年喜歡的影視作品多少都有武打的成 分。 

而在許多日本動漫中，從名偵探柯南到鬼滅之刃（如圖一）都有空手道的 元素，角色用空手道和對手廝殺，讓人看得非常著迷，筆者也開始思考現實生 活中空手道的威力能有多少，與一般人胡亂踢擊是否有力量上的差別。最重要 的是：防身術對女高中生是有實際應用價值的，藉由探討「空手道」的踢擊威 力，本研究想了解對女子防身而言，怎樣的招式最有實用價值。 

二、研究動機 

從小學時期就對武術充滿著嚮往，有時也會幻想自己能像柯南中的小蘭一 樣一腳踢飛壞人。在升上高中後加入了極真空手道社，而極真空手道以實戰為 本質，更以全接觸式賽例聞名於世，因其全力擊打、極具破壞力的格鬥方式被 譽為世界最強武道之一。因此現在身為空手道社長的我在實戰時總會有一個煩 惱 : 如何在比賽時以自己有限的體力使出輸出最大的傷害值的招式使對手倒下。在近距離接觸中，搭配身體的轉動，踢擊是能快速給予對方傷害的，因此 本研究就著重在空手道中的旋踢。 

三、研究目的 

1、 探討女子防身術場域，旋踢的最大輸出值(牛頓 N)最高。

2、 探討旋踢，高、中、低段，何種招式效益值最高。 

四、研究方法 

1. 設備的侷限，簡化計算方式參考前人研究時發現（參考資料）：想要測量招式的生物力學，要在手腳上貼許多感測器量測加速度、測量地面反作用力、角速度、各姿勢精準的角度等。

若改成分析網路上空手道影片（圖二），除了尋找選手的體重資料，還有 求得加速度，若由影片計算加速度，會受限於影片幀率與角度問題，若要用此 種方法必須用高速攝影機拍影片。 

2. 精簡測量方式 

礙於現實設備，我們用最簡化的方式，牛頓第二運動定律之 F=m*a。因為 動作都是由同一個人做出，所以直接將腳的質量設為一個定值 m，搭配手機 app (phyphox)，將手機綁在腳上，搭配同步攝影進行記錄（圖三）。

 圖二：極真空手道世界賽。圖片來源：https://youtu.be/t0QMp4J81t8

五、研究結果 

透由 phyphox 得出每 1/100 秒時在 x,y,z 方向的加速度(已扣除重力加速度， 如圖四)，再將數據匯出成 csv 檔後利用公式 得出合力向量加速 度，找出最大值者後乘以質量(定值)，我們便假設該值為打到對方時的所傳遞出的力。

我們此次測試的招式是空手道實戰中常出現的 3 種，而許多變化的招式也 都是以此 3 招來作為基礎，分別為低段旋踢、中段旋踢和高段旋踢，此三種旋 踢相異的地方在於出腳時膝蓋抬起的高度影響腳踢出的高度不同以此來達成不 同的傷害，低段旋踢踢中敵人的部位在小腿；中段旋踢踢的是敵人的腰；高段 旋踢(也就是柯南中小蘭常踢的)則是瞄準敵人的頭部(下巴)。 

將手機綁在腳上並做出踢擊動作，所紀錄多筆數據精簡後，如下表所示。

表一：我們得到每個動作最大加速度的數據

接著我們將低中高三段各 3 次踢擊最大加速度的合力加速度進行比對，並 計算平均與標準差如圖五，單位為 m/s²。

知道高段旋踢合力加速度為三種踢技中最高後，接下來我們要算的是 3 種 招式的性價比，cost performance ratio，簡稱 cp 值，也就是每出一招要花多少時 間且會輸出多少合力加速度。 

因為無法從現有設備得知每次踢擊消耗的焦耳數，本研究參考數學的積分 概念（計算 x 軸上每個單位時間的 y 值，累積求得積分），因為質量 m 視為固 定，再乘以 m 後為牛頓值 N，本研究以踢擊的準備時間 t1 到踢擊達到最高加速 度 t2 的時間區間內（圖六）的牛頓總值視為消耗的能量，我們設定一種單位稱 為「效率值」：累積單位時間內的加速度總量，再除以時間。

而我們判斷加速度開始變化是以合力加速度超過 5 作為起始點，兩者的數 據皆四捨五入到小數後 2 位。如圖七所示

效率值若不從武術觀點的來看，相當於單位時間內輸出的牛頓數，但若以 武術觀點來看，並不是招式的任意時間點都能有效打擊，假設三種踢擊最終達 到的加速度都一樣，那效率值越低，表示該招式越「省力」。 

綜合以上數據，所得結果如表二，平均下來之數值如圖八，效率值最高為 低段踢，最低為高段踢。 

六、結論 

本研究試圖以簡易的定義，擷取踢擊的加速起末時間點，進行分析，所得 到的結論大致如下： 

1. 單純以最終加速度而言，高段踢若能有效打擊，應該是傷害性最高。 2. 若以本研究所定義之效率值（僅限於加速時間），且以達到最高加速為有效 打擊，其餘加速區間不視為有效打擊的情況，則高段踢對於體能的消耗未必 為最高；但若加速區間皆視為有效打擊的情況，中段踢才是最有效率的。

然而實際進行防身對打時，還需要考慮自己和對手身身高體重，弱點狀況， 實際情況不能以本篇結論一概而論。 

七、參考資料 

陳本泓。2014。武術馬步不同旋轉方向之生物力學分析。國立臺灣師範大學 吳錫銘。2004。武術側踹腿及側踢動作之生物力學分析。國立臺灣體育學院 

資料來源 

按一下以存取 n000030311501.pdf

作者 陳姮瑾、田靜瑜、戴啟安 / 科園實中

（一）研究動機 

《哈利波特》是英國作家羅琳知名的奇幻作品，它的熱度一路從小說延燒到了電影，不論是 對於小時候或者現在的我們都有著莫大的吸引力。其中最吸引我們的，可不只有跌宕起伏的 劇情，還有那個令人驚嘆不已的魔法世界總是有許多我們作夢也想不到的神奇事物，這就是 奇幻小說最使人著迷的部分，畢竟越是難以達成，便越是令人心馳神往。 

「魁地奇球賽」，毫無疑問是哈利波特中最經典的橋段，每個球員乘坐自己的飛天掃帚，以 超越汽車的速度在高空中飛行，這引起了我們好奇心：在高速飛行的情況下，人穩坐掃帚之 上，這件事是有可能的嗎？如果不使用魔法的話，他們會不會從掃把上滑落呢？ 

因此，我們決定以現有的物理、化學知識和網路上能利用的資源計算出坐在掃帚上時人在水 平方向上的受力，研究這部分的合理性。 

(二) 研究過程 

我們假設主角上半身挺直地乘坐在飛天掃帚上、雙手緊握掃柄且雙腿放鬆地分跨兩邊，以此 來計算人飛行時受到的空氣阻力和人與掃帚間的最大靜摩擦力。

(1)首先，要計算的是人在掃帚上所受到的空氣阻力。 

此計算用到的是空氣阻力方程式: 

F=1/2CpSV²

F:空氣阻力(N) 

C:空氣阻力係數 

ρ:空氣密度(kg/m³) 

S:參考面積(m²) 

V:物體相對於空氣之速率(m/s) 

為了求出空氣阻力的大小，我們必須先依次探討，計算出：空氣阻力係數(C)、空氣密度(ρ)、參考面 積(S)和物體相對於空氣之速率(V)。 

空氣阻力係數一般來說是實驗值，必須由實驗求得，但考慮到此實驗易產生誤差，因此我們在網路上 搜索相關研究，查到一篇論文《空氣阻力對跳遠成績的影響》^[1]]，其中計算出人在跳遠時的空氣阻力 係數 C=0.865，影響此係數的因素主要為運動體形狀，因此 0.865 可直接當作人和空氣相對運動時的空 氣阻力係數。

空氣密度與氣溫、濕度和氣壓皆相關，我們以現有的化學知識去推導出空氣密度的計算公式，推導過 程如下: 

體積的計算方式為:V=M/ρ 

而氣體的密度計算可藉由理想氣體方式:PV=nRT 

推得:PM=ρRT→ρ=PM/RT (M 為分子量) 

先考慮純乾空氣的狀況，由於空氣組成成分皆相同，而 R 為理想氣體常數，也是一固定值，因此我們 可藉此推得: 

ρ∝P/T 

→ρ/ρ0=T0*P/(P0*T) 

→ρ=ρ0*T0*P/(P0*T) 

ρ(P、T)、ρ0(P0、T0)分別代表各種不同狀態的乾空氣與標準狀態的乾空氣， 

標準狀態下，T0=273K，P0 為 101.3kPa，而標準乾空氣密度 ρ0=1.293kg/ m³將其代入算式可得:ρ=3.48P/T 在濕空氣部分，我們可以將濕空氣視為空氣中的一部分，而濕空氣是由壓力為 Pd 的乾空氣與壓力為 Ps 的飽和蒸汽壓所組成，再透過相對濕度計算式我們可以知道=ψPb(Pb 為飽和水蒸汽壓，ψ 為空氣相 對溼度) 

再根據道爾吞分壓定律，我們可以得出: 

ρw=3.48*P(1-0.378*ψ*Pb/P)/T 

我們將英國的平均氣溫值、平均氣壓值、平均相對濕度以及飽和水蒸汽壓代入公式 英國平均氣溫：8.85°c 

英國平均相對濕度：81%rH 

英國平均氣壓：1015.8hPa 

得出空氣密度 ρw=3.48*101.58(1-0.378*81*1.1439/101.58)/281.85=0.82 (kg/ m³) 

參考面積指的是物體迎風面積，所以我們首先以身高計算出坐著時的高度(簡稱坐高)，電影中飾演哈 利波特的演員丹尼爾當時身高約 168 公分，男性平均坐高指數為 53.0，則哈利波特的坐高＝（53/100） ＊168=89.04 (cm) 

接著我們參考上面這張圖片，以比例計算出哈利波特實際頭的長、寬和上身的寬。 先將他的軀幹視為長方形算出面積＝89.04*51.4=4576.66 (cm²) 

接著，以橢圓面積公式求出哈利波特臉的面積＝(25.7/2)*(22.3/2)*π＝450.12 (cm²) 最後，得出哈利波特在掃帚上的參考面積 

S＝(450.12+4576.66)/10000=0.502678(m²)=0.502678(m²) 物體相對於空氣之速度要以風速和掃帚的飛行速度來計算，根據《穿越歷史的魁地奇》此書記載， 哈利波特的掃帚型號<光輪系列>時速可達每小時 100 英哩(1 英哩＝1.61 公里)，換算可得(100＊ 1.61*1000)/3600=44.72 (m/s)，另一掃帚<火閃電>為每小時 150 英哩，(150*1.61*1000)/3600=67.08(m/s)， 再進一步假設當時的飛行方向剛好逆風且以 17km/hr(4.72m/s)的英國平均風速來計算，即可用公式計算 出空氣阻力的量值分別為：

(2)得出空氣阻力的量值後，接著要計算的是摩擦力，公式為: 

fs = N *μs 

我們分兩個部分計算，分別為「手與掃帚間摩擦力」和「褲子與掃帚間的摩擦力」。

首先是手與掃帚的摩擦力。從哈利波特飛行示意圖中，可看出他在飛行中帶著皮革手套，因此應以皮 革材質來探討。 

由上表可知，木製掃帚與皮革間的靜摩擦係數約為 0.3~0.4，因此我們取中間值 0.35 進行計算。 

根據我們所查到的文獻資料，1985 年時，20~24 歲的男性平均握力是右手 121 磅(58 公斤)，左手 105 磅(48 公斤)。現在，同樣年齡層的男性握力平均是右手 101 磅(46 公斤)以及左手 99 磅(45 公斤)。假設 哈利波特是在雙手緊抓掃帚的情況下飛行，則正向力 N=(46+45)*9.8=891.8(N) 

可算出手與掃帚間的最大靜摩擦力=891.8*0.35=312.13(N) 

接著，我們要得知的是褲子與掃把間的摩擦力，但我們無法在網路上找到相關的數據，因此我們試著 做了一個簡易的小實驗來測量。首先，我們查到哈利波特穿的褲子是類似騎馬裝的材質，因此我們使 用純棉的布料和木塊來進行實驗，得出兩者間的摩擦係數量值，裝置圖如下: 

木塊重量為 445g，使用 210g 力的瞬間，木塊開始滑動。

μs = fs / N 

可得靜摩擦係數=(0.21*9.8)/(0.445*9.8)=0.47。 

哈利波特演員的體重約為 60kg，得褲子與掃帚間最大靜摩擦力=0.47*(60*9.8)=276.36(N) 因此人與掃帚間的靜摩擦力=312.13+276.37=588.49(N) 

總結來說，人與掃帚間最大靜摩擦力為 588.49(N)，而光輪系列的掃帚空氣阻力為 435.76(N) 因 588.49>435.76，所以哈利波特若是騎乘光輪 2000，他與掃帚間的最大靜摩擦力足以抵擋空氣阻力， 是可以不依靠魔法穩穩高速飛行的！ 

但若是乘坐火閃電掃帚，所產生的空氣阻力是 919.05(N)，比起最大靜摩擦力 588.49(N)，空氣阻力遠遠 大於靜摩擦力之和，因此哈利波特在此情境便無法相對於掃帚靜止，只會從高空滑落！看來哈利波特 是無法順利騎在他的教父天狼星送他的火閃電上的，幻想破滅！ 

(三) 結語 

雖然哈利波特中的魁地奇球賽和魔法世界讓小時候的我們癡迷、驚嘆、艷羨。但現實終究是現實，我 們所證明的數據說明了：以火閃電飛天掃帚用超越汽車的速度在高空中飛行並不符合科學邏 輯，更是不可能發生在現實世界的，一坐上去可能摔個四腳朝天或全身骨折。但沒關係，我 們還是可以讓奇幻的魔法世界留在我們童年的美好回憶裡，陶醉於超現實的世界中，相信他 的魔幻與神奇！ 

圖片資料來源： 

http://ent.sina.com.cn/m/f/2011-07-25/ba3368671.shtml&nbsp;

https://www.cnki.net/

https://wenku.baidu.com/view/c307dcb5ed3a87c24028915f804d2b160b4e866a.html

https://dq.yam.com/post.php?id=6205

註[1]：

https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-STKJ198902013.htm

作者 郭昱君、古京娗 / 新竹科學園區實驗高級中學

一、研究動機 

卡通陪伴我們度過快樂的童年時光，其中，最令人印象深刻的就屬搞笑且不講理 的《海綿寶寶》了！在這部卡通裡，派大星是特別受人喜愛的角色之一，除了可愛肥 胖的粉色身體，他愚蠢又天真的個性更是令人著迷。看過這部卡通的人一定都記得， 派大星住在深海的一顆紅棕色石頭底下，但鮮少有人知道，那顆石頭其實是一隻海 龜！派大星每天回家都會用他的兩隻腕足抬起海龜，進入屋內。這令我們很好奇，這樣看似不真實的畫面真的是有辦法做到的嗎?而海星的腕足到底能施多大的力? 

二、探究過程 

(一) 派大星的家 

 根據海綿寶寶第十三季第十集內容，大家以為是石頭的派大星的家，事實上是一 隻名叫Tony的海龜！牠是一隻沉睡三十年的海龜，在這三十年間，他的龜殼上逐漸沉 積許多泥沙，便被派大星當作石頭，成為派大星房子的屋頂了。 

 在這集裡面，我們知道Tony已存活三十歲以上，則根據Harold(一名海洋生物學家) 針對成年海龜質量以及長度的研究，他的長度大約介於80~102公分之間，故以下我們 都利用龜殼長度的中間值91公分來計算，Tony的體重大約為106.57公斤。

(二) 派大星的管足原理及數量 

 從派大星的外型及資料推斷，牠的品種屬於粒皮瘤海星，牠們存活的範圍位於太 平洋海域。派大星的五隻腕足上具有許多的微小管足，透過將體液注入管足，使管足 能夠伸長，到達所需長度時，將吸盤附著於其他物體，並將管內的體液經由貫徹身體 的管道抽出，使管足變成真空狀態，產生吸力，派大星就是透過這樣的方式移動的！ 根據國外研究論文，海星的長度和其管足數量的關係式為： 

y (數量)= 0.0779x(長度) + 3224

以派大星12公分的體長計算，他大約有3233個管足，平均一隻手約有647個。 

y=0.0779× 12+3224=3233 

3233/5=646.7 

 再由下圖的紅色與白色線段比例關係計算，其手部和海龜接觸的部分大約為整隻手的24%，而兩隻手總共有大約310個管足。 

(三) 管足的吸力 

 因為管足上面接著一個吸盤，因此我們運用F(吸力)=P(壓力)A(面積)來計算管足抽 真空後吸盤的吸力。壓力就是水壓值加上大氣壓力，又因為比奇堡仍在可透光之地 區，因此以太平洋大陸棚深度計算，壓力即為2公尺水深所施予的重量。吸盤面積則利用下圖依比例計算。

根據上圖比例尺和吸盤比例可求出一個管足的直徑y 

(3.09”):(1 cm)=(1.07”):(y cm) 

y約等於0.35 

0.175×0.175×π×310=29.8 

F=2×29.8=59.6=5.96kgw

以直徑0.35公分的圓形計算，和海龜接觸的管足上吸盤的總面積大約為29.8平方公 分，則所有吸盤吸力即為5.96公斤重。 

(四) 舉起房子所需的力 

 在海底，一個物體所受的力即為浮力減掉重力，海龜受的重力就是其體重，我們 在第一節已討論、計算完畢，而他所受的浮力則以液面下體積乘以液體密度計算。  已知海龜長度介於80-102cm，利用下面這隻海龜的照片大略計算龜殼的體積先以 平均體長91公分計算龜殼厚度（依下圖橘色及黃色線段長比例計算）海龜厚度為28.2公分。 

1.64 : 5.28=z : 91 ; z=28.2公分

 由於海龜龜殼的形狀近似於被一平面所截出的球缺體(如下圖)，因此，我們以球 缺體積公式計算海龜龜殼體積。 

π×28.2×(3×45.5×45.5+28.2×28.2)÷6=103,446

 計算出的派大星的石頭屋的體積大約為103,446立方公分。 而他們所生活的太平洋淺海地區，海水密度為1.028 g/cm³，以浮力公式計算，大約為10 6.34公斤重。

1.028×103,446=106,342 g=106.342 kgw 

106.57-106.34=0.23kgw  也就是說，若像動畫中的場景一樣，派大星要舉起石頭屋至少需要施的力為重力 減掉浮力，也就是0.23公斤重。

三、結果分析與結語 

 根據上述計算結果，派大星需要施力0.23公斤重才能搬起他的家，而派大星管足 上的吸盤能產生的最大力為5.96公斤重，相較起來真的是綽綽有餘呢！或許這就是為 甚麼他能夠一臉輕鬆地抬起看似很重的石頭屋，或是一邊舉著屋子，一邊和海綿寶寶 嘻笑玩鬧的緣故。甚至某一集動畫中，他只用了一隻手就撐住了屋頂，游刃有餘的表 情讓人感覺他似乎毫不費力。因此，從理論層面上來看，透過我們的推論，或許這個 神奇的畫面還真有幾分合理性。但就現實世界的觀點來看，若真有海星抬著海龜殼移 動的畫面出現，肯定會在一夕之間爆紅吧！當我們看卡通時，通常不會特別去思考內 容的真實性，即使某些畫面放在現實中並不合理，不過或許也是因為能夠短暫抽離現 實生活這一點，才讓我們如此為卡通著迷吧！

四、參考資料 

● https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5587101/#:~:text=There%20were%20also %20marked%20differences,recorded%20across%20the%2042%20A. 

● https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%B8%E7%9B%98#%E7%9C%9F%E7%A9%BA% E5%90%B8%E7%9B%98 

● https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://jeb.biologists.org/conten t/jexbio/30/4/575.full.pdf&ved=2ahUKEwj0yLikhqftAhUSq5QKHaKODJcQFjAAegQIA RAB&usg=AOvVaw0Nzjcnu2pgyb2ci0k1YNTX&cshid=1606628966143 

● https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E7%BC%BA

作者 顧寶成 / 永春高中

一、研究動機 

哆啦 A 夢，又名「小叮噹」，是一部家喻戶曉的日本卡通，該卡通主要在敘述 一個來自未來的哆啦 A 夢，受原主人的託付，回到現代並幫助野比大雄。該卡通 最大的特色在於哆啦 A 夢的口袋裡的各式各樣的道具，而其中有一個道具—竹蜻 蜓，最令我印象深刻。雖然卡通終究只是個虛擬世界，但竹蜻蜓竟然可以帶人飛。 那麼，它到底得轉多快，才能讓哆啦 A 夢起飛？於是我決定來研究看看。

二、基本定義 

(一) R(m)為竹蜻蜓的扇葉的半徑長

(二) W(m)為扇葉的寬度

(三) V(轉 / 秒)為扇葉的轉速

(四) P(m)為螺距

(五) L(Nt)為升力

三、研究流程 

(一) 介紹計算方式及計算部分基本定義之數值 

(二) 計算使哆啦 A 夢起飛的最低轉速之臨界值 

(三) 計算竹蜻蜓轉速之最大值 

貳、正文 

一、介紹計算方式及計算部分基本定義之數值 

(一) 計算方式

首先先介紹升力的計算方式，計算方式會使用到經驗公式來估計，如下：

其次，基於無法得知竹蜻蜓的螺距的具體長度為多少，在此令P = k × R，進而可得：

(二) 竹蜻蜓的扇葉半徑長

哆啦 A 夢的頭的周長為129.3(cm)，若將哆啦 A 夢的頭視為一個完美的圓如圖 ( 二 ) )，則其頭的半徑約為6.4(cm)。若再按照等比例來看 ( 如圖( 三 ) )，扇葉半徑長約為6.4 ÷ 2.5 = 2.56 ( 在此取2.6(cm) )。所以R =0.026(m)。

(三) 扇葉的大小

利用同樣的算法 ( 請看圖 ( 四 ) )，已知R = 2.6(cm)，再次按照等比例來看 ( 如圖( 五 ) )，扇葉的寬約為6.4 ÷ 4.1 = 1.56( 在此取1.6(cm) )。所以W = 0.016(m)。

二、計算使哆啦 A 夢起飛的最低轉速之臨界值

已知哆啦 A 夢體重為129.3(kg)，而其造成重量為129.3 × 9.8 = 1，267.14(Nt)。由此可知升力至少要有1，267.14(Nt) ( 不含竹蜻蜓的重量 )，才足以將哆啦 A 夢抬起。將目前以知的數值代入式子，得:

1,267.14 = 4.9 × 0.016 × 0.026₂ × kV² ⇒ kV² ≈ 23,909,023.67 。

如果螺距是扇葉半徑長的一半，也就是說，那麼 V² ≈ 47,818,047.34⇒ V ≈ 6,915(轉 / 秒)。換句話說，其一分鐘會轉414,900(圈)。

414，900(轉 / 分)高達軍用直升機的20倍以上!

以上計算是建立在螺距為扇葉半徑長的一半下做的，那換作其他比例呢？在此做個簡單的統計，如下：

表 ( 一 )：作者自行製作 ( 以下皆為四捨五入至整數位 )

當螺距為扇葉半徑長的時，其轉速高達了927,753(轉 / 分)。

我們不難去試想，假設螺距的長度非常非常的小，小到幾乎趨近於0，那其轉 速會來到多少呢？基於直接算k → 0並不會有任何意義，在此取，計算結果如下：

表 ( 二 )：作者自行製作 ( 以下皆為四捨五入至整數位 )

總結來說，雖然基於無法得知螺距的具體數值，進而算出了各式數值。但我認 為，螺距最大值應當為2.6(cm)，也就是說其與扇葉大小一樣。畢竟以視覺上來 看，竹蜻蜓整體的最長的部位也就莫非於扇葉了，若假定螺距大於扇葉，個人認為 並不太合理。所以，使哆啦 A 夢起飛的最低轉速之臨界值應為293,381(轉 / 分)。 

三、計算竹蜻蜓轉速之最大值 

無論竹蜻蜓轉速有多快，快到甚至違背常理。但是，在卡通中，我們是可以很 清楚的看到竹蜻蜓是否有在轉。換句話說，扇葉上的任一點的速率並不會超過光 速。因此，我從此點下手，算出竹蜻蜓轉速之最大值。 

計算方式會選定離軸心最遠的點 ( 也就是距離軸心2.6(cm)的點 )，進而計算臨界值，過程如下： 

299,792,458(光速) = t × 2 × 2.6 × π ⇒ t ≈ 18,360,636 (t表圈數)

透過上式得之，竹蜻蜓的轉速最高為18,360,636(轉 / 秒)，亦為1,101,638,160(轉 / 分)。
當竹蜻蜓抵達最高轉速時，升力L = 4.9 × k × 0.016 × 18,360,6362 ×0.0262 ⇒ L ≈ 687171046095.05k (Nt)。假設，則 L ≈343,585,523,047.53 (Nt)。那麼竹蜻蜓與哆啦 A 夢整體上升的加速度會是
F = ma ⟹ 343,585,523,047.53 – 1,267.14 = 129.3 × a
⟹ a ≈ 2,657,273,950.35。

只要持續加速約0.11秒，即可超越光速。

參、結論 

竹蜻蜓的轉速會介於293,381和1,101,638,160(轉 / 分)之間，且如果竹蜻蜓達到了 最高轉速，那麼哆啦 A 夢只要持續加速0.11秒 ( 從靜止開始 )，即可超越光速，從這 世上消失 ( 在我們眼中 )。再者其光是「最低的速度」，就已經幾乎無法在世上東西可 以比擬了，有的也只是至少8倍的噴射戰鬥機的轉速。

其次，一個小小的竹蜻蜓就可以帶來這麼大的轉速，想必其馬達也是驚天動地呀！ 再者，哆啦 A 夢也只是個保母機器人，一個保母機器人可以帶來一個足以毀天滅地級 別卻又輕巧的馬達。或許，這也正是為何他是保母機器人。不然他如果去當武器製作商之類的工作，且並非正當之事的話，世界早已沒有了未來。 

肆、參考資料
一、哆啦 A 夢中文網。2021 年 1 月 23 日。取自:
https://chinesedora.com/character/doraemon.htm

二、哆啦 A 夢的竹蜻蜓實現的可能性。2016 年 11 月 16 日。取自 https://kknews.cc/zh-
tw/comic/g2bkn4m.html

三、童年夢想!多啦 A 夢「1:1 實體化竹蜻蜓」發售 戴頭上真的能轉~。2020 年 3 月
6 日。取自 https://www.japwind.com/article/80806

四、最想要哆啦 A 夢道具 TOP5! 大人、小孩第一名都是「它」。2017 年 02 月 22
日。取自 https://www.ettoday.net/news/20170222/871458.htm

五、竹蜻蜓(《哆啦 A 夢》中大雄和其同伴用於飛行的道具 )。取自
https://www.newton.com.tw/wiki/%E7%AB%B9%E8%9C%BB%E8%9C%93/9536826

六、武直起飛時的轉速要達到多少?轉速竟如此之高,才能起飛。2018 年 7 月 24 日。
取自 https://kknews.cc/zh-tw/military/z5ee9gl.html

七、哆啦 A 夢的竹蜻蜓實現的可能性。2016 年 11 月 16 日。取自
https://j.17qq.com/article/cckdpnndv.html

八、螺旋槳飛機的臆想(續)。2010 年 6 月 3 日。取自 http://blog.udn.com/mhwu1/4072474

作者 張庭瑋、吳冠諺 / 永春高中

 小時候，爸媽總告訴我們，每當聖誕節到來，就要在床前放上屬於自己的聖誕襪。聖誕 老公公會挨家挨戶地爬進煙囪，將禮物放在襪子裡贈送給他們。聽到這裡，你心中是否有些 疑問呢？ 

「聖誕老公公到底要花多久，才能將全世界的禮物送完？」

先前曾有其他各式各樣的古怪研究，探討送禮物這件事情的可能性；而得到的結論更是 千奇百怪、五花八門。舉例來說，如果馴鹿真的要一次負載全世界的禮物，並且在一夕之間 完成任務，那麼牠將會在千分之四秒內蒸發，因為牠所需要的速度是音速的3000 倍。 

 為了不讓孩子們的幻想破滅，我們既不想讓馴鹿蒸發，也不想得到聖誕老人會摔死、雪 橇會爆炸等等光怪陸離的結論。我們要以最純真、最善良的分析方式來探討聖誕老人的送禮 之謎，因此凡事都必須合理化：禮物的數量與重量、馴鹿的力量、雪橇的速度與行走路線、 世界上的孩童人口數及分布等，唯一不需限制的就是送禮所需的時間了，畢竟我們總要讓聖 誕老公公有條不紊地完成他的任務嘛！

廢話不多說，就讓我們來看看聖誕老公公究竟要花多久的時間，才能順利送完全世界的 禮物吧！根據傳說，聖誕老公公只會送禮物給懂事的孩子；最新的世界人口統計數據顯示， 他在2020年大約需要送給19.29億個兒童聖誕禮物。 

 聖誕老公公的出發地，是位於芬蘭境內經緯度66°32^′37″Ｎ 25°50′50″Ｅ的聖誕老人村。童 話書上對拉雪橇的馴鹿數量並沒有定論，因此我們採用了最常見的版本，也就是他雇用了12 隻馴鹿（參考文獻1）來拉雪橇（事實上，這12隻馴鹿都有各自的名字，但現在顯然不是自我 介紹的時候）。無論在傳說或童話中，聖誕老公公的形象一直都是個不折不扣的胖子，因此我 們將其假設為100公斤，又因普通雪橇重量約為150 公斤，所以雪橇與聖誕老人在裝載禮物前 的總重為150 + 100 = 250公斤。 

 聖誕老公公的雪橇需要載運數量龐大的禮物，而我們查得一隻成年馴鹿能夠額外負重的 最大值約為135公斤，因此我們可得到12隻馴鹿的負重能力扣除聖誕老公公肥胖的身軀及笨 重的雪橇後大約為135 × 12 − 250 = 1370公斤（參考文獻2），這個數字是禮物的最大淨重。 在合理的狀態下，每一個孩子收到的禮物平均約1公斤重，也就是聖誕老公公一趟最多只能載 1370份禮物。前面說到，世界上約有19.29億的兒童需要禮物，也就是禮物的總重量超過190 萬噸，所以聖誕老公公大約要送1929000000 ÷ 1370 ≈ 1410000趟才能把所有禮物送都送給 懂事的孩子們，過程中他要往返不同方向、不同國家、不同城市，這真是世界上最累的一份 工作啊！ 

 讓我們進一步看看聖誕老公公送禮的過程吧！為了兼顧計算的方便性與合理性，我們比 照物流業的運送原理，建立了一套聖誕老公公的送禮模式。首先選定一個即將送禮的國家， 接著從芬蘭滿載1370 份禮物出發，送到這個國家的首都，再駕著空雪橇回芬蘭重複上述動作， 直到這個國家全國的禮物都被送到首都為止。接下來，他必須在這個國家的首都與各地之間 穿梭，挨家挨戶地送他的禮物。 

我們把聖誕老公公送完某個國家的禮物所需移動的距離定義為Route_i，其中正整數i是國家的編號。資料顯示全世界共有242個國家地區，所以1 ≤ i ≤ 242。為了計算出每個Route_i的值，我們還必需定義幾個變數:首先令D_i為芬蘭聖誕老人村與各國首都之間的大圓距離，接著令A_i代表各國面積，令P_i代表各國擁有的兒童人數，最後令H_i代表各國的家庭戶數。我們考慮到古時候家家戶戶皆子孫滿堂，因此定義一戶人家平均擁有5位懂事的孩子，因此我們可得

 由上可知，聖誕老公公往返聖誕老人村和各國之間的次數會是（因為要考慮來回）；接著把這個數字乘上聖誕老人村到各國首都的距離，就會得到把所有禮物運到各國首都的總移動距離international_i，即：

禮物運到各國首都後還要送到每一戶，而聖誕老公公在送禮物的過程中，只要雪橇上的 1370份禮物一送完，他就必需再回該國的首都拿取。為了估算他在各國境內來來回回走了多遠，我們必需求出首都到該國每一戶房子之間的平均距離。假設各國的所有房屋共同均分國土面積，則各國的每戶平均占地面積將會是如果我們把每戶占地視為正方形，則每戶之間的平均距離就是此正方形的邊長

接下來我們必需重新定義各國的房屋排列方式，以臺灣為例，如果全國人口分布如同左 下圖般的不均衡，則聖誕老公公的移動距離將難以計算。我們把聖誕老公公的移動範圍重組成一個矩形，這個矩形的寬為聖誕老公公一趟所能送的戶人家的占地距離，即 ，而矩形長為聖誕老公公在國內要走的趟數乘上距離，即

 

經由上述推論，我們就可以推算聖誕老公公在各國國內所走的距離。參考上圖，聖誕老 公公從首都出發一趟可以送禮給274戶（矩形的寬），而送完274戶後聖誕老公公必需回首都 裝載禮物，故越靠近首都的路要重複走越多遍，也就是每段路被重複行走的次數會呈等差數 列。也因為如此，聖誕老公公在矩形的長邊方向往返行走的總路徑長，可由等差級數公式乘 上兩戶間的平均距離得到，即（乘以2代表來回配送）。至此，我們可以得到聖誕老公公在各國國內的移動總距離domestic_i為：

忙了這麼久，我們終於可以算出聖誕老公公把全世界的禮物都送完所需要移動的距離
了！這個距離Route_i就是「將禮物從芬蘭分批運送到各國首都的移動距離international_i」加上「從各國首都將禮物配送到各戶的移動距離domestici」之和，也就是：

資料顯示，全球共有242個國家地區，每個國家地區的總戶數可由人口數除以5得到(參考資料3及參考資料4)。此外，馴鹿的最高時速大約為80km/hr(參考文獻5)。我們詳細查閱了芬蘭聖誕老人村與各國首都之間的大圓距離D_i、各國面積A_i、各國的兒童人數P_i、並推算各國的家庭戶數H_i。我們把這些資料輸入 Excel 製成表格，再讓Excel 幫我們算出所有的數據。

現在我們以臺灣為例:由於臺灣擁有大約5890839 位兒童，因此我們得知聖誕老公公在臺灣需要配送5890839 ÷ 5 ≈ 1178168戶人家。臺灣陸地面積大約為36200平方公里，且聖誕老人村到臺北的大圓距離為7746公里。由前面的公式，我們得知聖誕老公公至少需要行走954786049公里，耗時11934826小時才能把臺灣全部的禮物配送完畢。這數字有多驚人呢？簡單來說就是環島795655圈、花費1362年才能完成！(小知識:根據隋書列傳，當時臺灣是由原住民巴宰族所統治的琉球王國政權。)

但這僅是臺灣而已。讓我們來看看全世界的情況吧!聖誕老公公需要行經64369298687公里，耗時804616234小時，也就是繞赤道160622圈、連續91851年不眠不休，才能把全世界的禮物都送完。

等等！不對呀！誰家有 5 位孩子啊？！馴鹿都不會累嗎？聖誕老人白天也要工作嗎？既然已經認真算了這麼久，一定要更貼近真實情況才合理！

首先，現在已經是小家庭時代，因此每戶平均約只有2位孩子。此外，我們考慮馴鹿在具
有負重的情形下不可能無時無刻都保持最高速度，因此重新定義馴鹿平均時速為40km/hr，此時負重量將只能是原本的一半，也就是每趟運送685份禮物。此外，聖誕老人也需要休息，他只能利用晚上人們睡覺的8小時進行配送。我們納入這些「人性化」的考量並重新計算，發現聖誕老公公需要行經321846493439公里，耗時24138487008小時才能完成。

上面這數字有多誇張呢？我們要知道，這可是繞赤道602332圈、持續運送2755535年，才能 送完今年全部的禮物啊！等等，不對呀！等到聖誕老公公送完禮物都已經又過了2755534個 聖誕節了，這樣孩子們都變化石了！ 

 由上可知，聖誕老公公如果希望把今年的所有禮物準時送完，那麼他必需在2755536年 前（舊石器時代）就開始工作才可能完成（參考資料6）。因此小朋友們如果在襪子裡發現一 塊 1 公斤重的石頭，也不要太驚訝喔！畢竟那時候才剛演化出人類，人們還過著互相砸石頭 的生活呢！ 

參考資料:

1. https://pets.ettoday.net/news/612100
2. https://news.cnyes.com/news/id/1375778
3. https://www.populationpyramid.net/zh/%E4%B8%96%E7%95%8C/
4. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%84%E5%9B%BD%E5%AE%B6%E5%92%8C%E5%9C%
   B0%E5%8C%BA%E4%BA%BA%E5%8F%A3%E5%88%97%E8%A1%A8
5. https://pedia.cloud.edu.tw/Entry/Detail/?title=%E9%A6%B4%E9%B9%BF
6. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%96%E7%95%8C%E5%8F%B2%E5%B9%B4%E8%A1%
   A8_(%E5%85%AC%E5%85%83%E5%89%8D)

作者 吳岳霖、江宗倫 / 台北市私立延平中學

一、研究動機 

海綿寶寶是我們小時候最愛看的卡通，故事發生在一座名叫比奇堡的城市，裡面住著海綿寶寶、珊迪、 章魚哥、派大星等等。眾所皆知的是：海綿寶寶住在 深海裡的大鳳梨、章魚哥住在摩艾屋、派大星住在石 頭底下、松鼠珊迪住在高科技玻璃屋，這些角色的住 
屋不僅可愛逗趣，其中讓我們最嚮往的是─珊迪的高 科技玻璃屋（如圖一¹）。為了能有一層玻璃將海水隔開，讓房子內部充滿著空氣。這樣高科技的住屋使我們不禁思考， 卡通裡的玻璃屋真的能對抗強大的水壓，在海底屹立不搖地存在嗎？ 

二、研究方式 

我們將需要考慮的環境條件先設定清楚，並蒐集各方資料，以便我們計算時能採用 正確對應的數據。 

1. 比奇堡市位置：位於太平洋上的馬紹爾群島的底部，絕對位置為北緯 11° 31′ 22″ ， 東經 165° 34′ 1″ E。 

2. 玻璃屋的材質：我們選擇最常用於當作建材的 「平板玻璃」與「強化玻璃」來探討。 

3. 玻璃屋的高度：我們假定為一個半球形玻璃屋， 房子正中央有一顆幾乎達到半球頂的樹木，樹高大約為此半球半徑（如圖二）。又因為珊迪是一 隻松鼠，根據資料，松鼠喜歡在高大的樹枝處築巢，通常距地面五到十五公尺²。因此我們假設 玻璃屋的高度為 10 公尺。

4. 比奇堡市海域深度：太平洋的平均深度約為 4028 公尺，太平洋最深處達 11,022 公 尺。 我們將計算玻璃屋分別位於水深 4028 公尺與 11,022 公尺兩處時，取半球形頂部與底部為基準，即圖二中A 、 B兩點，計算此兩處所受的海水壓力，以得到玻璃屋所承受的海水壓力範圍。並假設單位面積為 1cm² 的平板玻璃及強化玻璃，討論所需玻璃厚度為 何，才能承受水壓。

三、探究歷程 

1. 假設珊迪的家位於太平洋平均深度處，計算玻璃屋所需承受的海水水壓範圍：

海水的深度，在海洋的用法中大多用 decibar（分巴，100 毫巴，或十分之一巴， 縮寫為 db）。1db 差不多等於一米的海水深度。由於大氣在平均海平面上的氣壓為 1.013 巴，差不多等於一巴，稱為一大氣壓（1atm），所以 10db 等於一大氣壓，也就是 10 公尺深的壓力有一大氣壓³，又1atm＝10336 kgw/m²的壓力⁴。

設在太平洋平均深度處4028公尺時, A 點水壓＝P_A,，B 點水壓＝P_B；A 點水深＝ 4028 -10= 4018(m)，相當於 401.8 大氣壓，則P_B

2. 玻璃強度計算：

根據 CNS 3092 制定在不同風壓狀況下，玻璃在長寬比不會差距甚大的條件下， 其製造規範符合的玻璃強度公式為 ：

其中 P 是玻璃強度(kgw/m²) ，t 是玻璃厚度(mm)，A 是玻璃面積(cm²)，K 是玻璃參考係數（平板玻璃：K=1，強化玻璃：K =3）⁵。 

接著，我們固定玻璃面積 A = 1cm²，假設厚度為 t (mm)，計算平板玻璃及強化玻璃的厚度。 

(1) 設平板玻璃承受壓力為P₁(kgw/m²)、所需厚度t₁(mm)

(2) 設強化玻璃承受壓力為P₂(kgw/m²)、所需厚度t₂(mm)

3. 假設珊迪的玻璃屋位於太平洋的最深處，會發生什麼狀況呢？ 我們按照相同步驟計算海水壓力： 

設在太平洋最深處11022公尺時， A 點水壓P’_A，B 點水壓P’_B ；

A 點水深=11022− = 10 11012(m)，相當於 1101.2 大氣壓，

則P’_A

B 點水深=11022(m)，相當於 1102.2 大氣壓，

則P’_B

(1) 設平板玻璃承受壓力為P’₁(kgw/m²)、所需厚度t’₁(mm)

(2) 設強化玻璃承受壓力為P’₂(kgw/m²)、所需厚度t’₂(mm)

4. 除了厚度，我們利用「球體表面積公式= 4π R²」，可知半球形玻璃屋的表面積為 2× π ×1000²≈ 6.28 ×10⁶ cm²，結合上述第 2 點與第 3 點的討論，我們發現不論求出的厚度為何，都需要六百多萬塊單位面積的小玻璃才夠組成珊迪的玻璃屋。

四、結論 

我們算出在 4028m 深的海底平板玻璃的厚度需介於 5.70～5.71mm，強化玻璃則為 2.73～2.74mm。但平板玻璃的厚度需介於 10.48 至 10.49mm，才可承受 11022m 深的水壓。 然而，普遍民宅中玻璃的厚度⁶多介於 2 至 3mm，因此平板玻璃不論是以平均或最大深度 來計算皆較不適合當作水底玻璃屋的建材。此外，我們雖算出強化玻璃的厚度介於 5.38 至 5.39mm 時，可承受 11022m 深的水壓，但考量到其他因素，如：在深水裡施工並不容 易，必定會耗費大量的人力與財力，且屋內需要維持氧氣充足的狀態，但在如此深的海 底，氧氣幾乎不存在。

不僅如此，根據我們的討論，假設前提是取單位面積為1cm²的平板玻璃及強化玻璃，分別在兩種深度下，來討論兩種玻璃厚度的條件。但是現實生活中，是不太可能做出一體成形的半球形玻璃屋，幾乎都是由多個三角形玻璃，以切平面的方式組成半球形玻璃屋（如圖三 ⁷）。因此，我們的討論情境告訴我們：在不考慮技術層 面的挑戰下，珊迪的玻璃屋是由六百多萬塊 1cm² 的碎玻璃嵌合而成的！說到這裡，我們突然覺得珊迪的玻璃屋，一點也不如我們所想的如此高科技了！ 

所以我們覺得，像珊迪一樣蓋在深海裡的玻璃屋，果然還只是卡通裡不可思議的存 在。但我們相信，人類的科技發展，有天也許能實現眼前不可能的事物。

五、心得 

我們覺得這次的專題製作非常有趣，讓我們更加體會到數字的奧妙，從日常生活中發想 主題，居然在數學與科學的運算下，讓原本覺得天馬行空、不切實際的猜測，得到一個意想 不到的結果。也許表面看似毫無意義，卻充滿趣味性促使我們深入探討。 

過程中最困難莫過於蒐集需要的資料，為確保專題中資料的正確性，我們需要瀏覽很多 網站，找出合理的正確性資料。計算水的壓力對玻璃屋的影響，沒想到如此麻煩，要注意很 多不同面向的影響，包括水深、屋子的形狀、玻璃的種類等等。特別是玻璃的部分，我們查 了許多網站，各個對於玻璃所能承受壓力的敘述都有所不同，最後決定以較無瑕疵的玻璃強 度公式來計算玻璃的厚度。 

而當我們計算或邏輯出現問題時，謝謝老師幫助我們突破盲點，一步步引導我們得出最 後的結論，這過程確實很考驗我們處理數字的能力。這次的專題，我們不只回答了最初的疑問，也學到一些自然跟工程的小知識，更體會到統合與運用資料與學理知識的價值。 

¹ 圖片來源 https://images.app.goo.gl/KqSUiDYbwWAM4Pjg6。
² 資料取自網站 https://blog.xuite.net/peggyss/blog/548594275。

³ 取自洪秀雄教授的海洋動力學教學網頁,
http://mail.atm.ncu.edu.tw/~hong/OceanDynamics/chap02/Fig01-16.htm。
⁴ 取自國立台灣師範大學物理學系,常見文題整理:壓力的單位即換算,
http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=9291。
⁵ 取自黃國禎的玻璃相關名詞與公式網頁,http://hkc168.blogspot.com/2013/11/blog-post_28.html。

⁶ 取自全天候:《氣密窗玻璃厚度、種類該如何組合?噪音、西曬問題如何解決?》
https://www.ykal.com/knowledge/green/glass-combination.html。
⁷ 圖片來源 https://images.app.goo.gl/h4y8DyEzU9dBJp3o9。

作者 盧郁安 / 市立高雄中學

一、前言 

2020 年底，四年一度的美國總統大選在全球萬眾矚目下登場，而每逢這場選戰激烈開打 時，有個議題總是會一再地被提出來討論，那就是關於「選舉人團制度」的弊病。

眾所周知，美國選舉人團制度中每州的選舉人票不一，多如加州 55 票，少如阿拉斯加 3 票。然而這些選舉人票數量並非完全取決於州的人口，而是與國會參、眾兩院總席次有 關：其中眾議員席次的確依據人口分配，參議員則是每州固定 2 席。顯而易見地，每張選舉 人票代表的選民數各州不一，也就是所謂的「票票不等值」。 

關於這個現象，有一名國外 YouTuber「CGP Grey」做出了極端狀況下的統計：最低只要 獲得全國 21.91%的民意，即可拿到過半選舉人票當選。

而在我國憲法第 129 條中提到，各種選舉「以普通、平等、直接及無記名投票之方法行 之」，其中的「普通」指的就是「一人一票，票票等值」，因此理論上臺灣應該不會出現像美 國大選般的票票不等值現象吧？答案是：還是有可能發生，而箇中奧秘就藏在立法委員選舉中。 

二、探討過程

(一)我國立委選舉制度簡介

立法委員選舉採「單一選區兩票並立制」，共選出 113 席立委，其中又可分為 73 席

區域立法委員、34 席全國不分區及僑居國外國民立法委員、6 席原住民立法委員。

區域立委為單一選區相對多數決制，即每選區僅選出一名最高得票的候選人。

不分區立委是依全國政黨票比例將席次分配給各黨，但政黨票得票率需占 5%以上

才可分配席次。

原住民立委分為平地、山地選區各 3 席，採複數選區相對多數決制，由兩選區中各

別前 3 高票的候選人當選。

在地方立委選區的劃分上，以選區人口為主要考量因素。但考慮到各地區民意的代

表性問題，故規定每一縣市皆須至少選出一名立委，以表現對各縣市的公平性。依據以

上原則，必然會導致各選區內選舉人口不同的情形，也因此產生「票票不等值」現象。

此外，票票不等值現象也可能源自於選區內參選人數的不同。由於區域立委採單一

選區相對多數決制，當選人的得票數只要是選區內最高即可當選，而每個選區當選所需

的得票率及選票數也不同，因此也可能會發生票票不等值。

為了表達出票票不等值可能產生的結果，我們可以提出一個假設性問題：

「在極端狀況下，最少需要幾張選票就能國會過半?」

接著，就讓我們用 2020 年初舉行的第十屆立法委員選舉相關數據來進行計算吧！

(二)「最低可能當選票數」的公式推導

相信許多學生在學習不等式時，應該看過關於「最低安全當選票數」的應用問題吧！但是在那些題目中，我們所計算的是「篤定當選」的票數，並不是「可能當選」票數中的最小值。為了製造最少票數的情境，我們可以先思考最低可能當選的票數：假設某選區有a人參選、選出b名當選人、有效票數n票，且最低可能當選票數為x票則x應大於最高票落選人的得票數而最高票落選人得票數的最小值為

可得不等式

所求應取整數，故

由公式也可以得知，要計算最低可能當選票數，只與候選人數、有效票數有 關，與當選人數無關。 

（三）區域立委、原住民立委的「最低當選票數」計算 

利用中選會選舉資料庫網站的數據，將全國 73 個地方立委選區與 2 個原住民立委 選區的選舉資料輸入至 Microsoft Excel 軟體中。 

接下來我們假設這場選舉的投票率為 100%，且沒有人投下廢票，即選舉人口等於 有效票數。引入公式，計算出每個選區的最低當選票數。 

關於上圖中的函式，B 列表示有效票數，C 列為候選人數，ROUNDDOWN 則是無 條件捨去函式，等同於公式中的高斯符號。 

最後使用排序功能，使資料依最低當選票數從小至大排列，以利後續計算。

至此，立委選舉中的票票不等值已可略窺一二：金門、連江為全縣同一選區，屬於 制度中「每縣市至少一席立委」特例保障的選區，每席次所代表的民意也較少；而原住 民立委、臺北市第六選區、高雄市第三選區等則因為參選人數較多，有可能以較低票數當選。 

（四）不分區立委席次計算與席次加總 

假設這場選舉有一個名為 A 黨的政黨在全國各選區皆有派出代表角逐立委席次， 而且 A 黨在各選區的選票總和恰等於該黨政黨票的得票數。 

此外，為了製造「最少票數」的極端情境，下文計算中假定「只有實際當選的選區 才有選民投下 A 黨的政黨票」。為什麼我們可以這樣假設呢？我們可以先計算出不分區 立委每席次當選所需要的票數： 

全國立委選舉人口計有 19312105 人，依政黨票比例選出 34 席不分區立委，可以約 略計算出每席次需要的政黨票票數：

 

註：由於不分區立委選制中尚有其他席次分配規則，故此計算並非完全精準。 

與先前區域立委的計算結果相比較，不分區立委的 568003 票遠高於區域立委中當 選票數最高的臺中市第二選區 145562 票，因此在最低民意的極端情況下，不會產生 「為了不分區席次而將政黨票分散在沒當選的選區」的情況。 

終於來到了開票環節！依照先前排列出的遞增排序，用最低可能當選票數一一加總席次。

首先登場的是連江、金門選區，果然可以用很少的民意獲得席次！

接下來是原住民立委，因為平地、山地各有三個席次，故票數各別累加了三次。

此後各選區票數逐一累加，民意比例、國會比例的落差逐漸擴大！

到了新北市第九選區，民意比例總算過了 5%，可以開始分配不分區席次。

在選票數突破一百萬後，地區立委持續累加……國會席次就快過半了！

桃園市第五選區當選，A 黨在立法院的席次正式過半。而關鍵的民意比例，居然只 有區區 10.22%！

三、結論與討論 

在極端狀況下，最少需要幾張選票就能國會過半？根據以上計算，答案是 1972919 張 票，大約只占全國民意的一成。

（一）假想選舉與真實選舉的差別 然而，上文假設的極端狀況幾乎不會在現實世界發生。首先，最低可能當選票數的 假設通常不會成立，這是因為我們先前設定最高票落選人票數的最小值只會發生在他人落選票數相同時，而這在絕大多數情況下不會發生。此外，這個假設需要建立在選 區內各個候選人之間的票數比例關係，而這是 A 黨無法獨自控制的因素。 

為了解決這個問題，我們可以改採數學題目中常見的「最低當選安全票數」來討論，而公式是（代數假設與前文相同），如此 A 黨就能夠鎖定絕對會使自己當選的選票數量。重複前文步驟，可以得到以下結果：席次過半時，所需票數為 5150088 張票，約占全國民意的 26.67%。在修正假設之後，我們仍舊可以在這個較合理 的情境下看到票票不等值的現象。 

儘管如此，這種情況實際上還是不容易發生，而這關係到了我國的政治生態。依照 「最低當選安全票數」的公式，票數只與有效票數、當選人數有關，導致這些優先累加 的區域多為人口較少的鄉村地區，而這些選區通常是地方派系影響較重的區域，政治色 彩不易更動，更遑論其他政黨介入影響、控制選票。 

（二）票票不等值現象的改良 

如果我們想要避免這種選票不公的情況，可以怎麼改良選舉制度呢？最直接的方法 就是改行「聯立制」。

所謂聯立制就是先依政黨票比例分配總席次，各政黨再用不分區立委補上扣去地方 立委的席次；若分配總席次小於已當選的地區立委席次，則不再補上不分區立委，形成 國會總席次增加的「增額當選」。 

在聯立制下，通常能夠保證國會席次比例與全國民意大致相符，然而容易造成小黨林立、政局不穩。 

即便聯立制看似有較完整的「票票等值」機制，但我國的並立制較能保障人口較少 地區的民意代表性，以表現出對各地區的實質平等。「凡存在，必合理」，在看似不公平 的制度背後，或許都有著其他方面的考量與背景，而是否要更動這些制度，則需要全民 共同通盤、縝密的考量。 

四、參考資料
CGP Grey – The Trouble with the Electoral College
https://youtu.be/7wC42HgLA4k
全國法規資料庫
https://law.moj.gov.tw/
中央選舉委員會選舉資料庫網站
https://db.cec.gov.tw/
The News Lens – 地方派系:內行看門道的台灣「山頭」故事
https://www.thenewslens.com/feature/local-factions