作者 劉凱傑、蔡孝綸、張詠晴

一.研究動機 

《孔乙己》是民國初年文學大家——魯迅所寫的短篇小說，可說是人人必讀的經典之作。此文充分展現出了科舉制度所造成的思想僵化，以及社會大眾對不幸者的冷漠，而作者筆下 那個眼中只有利益，對孔乙己毫不關心的掌櫃，更是令人印象深刻的角色。文章中，掌櫃不 停重複著同一句話:「孔乙己還欠十九個錢呢!」且文末作者也並未清楚交代孔乙己的去向及 生死，這讓我們不禁想:若是孔乙己所欠的「十九個錢」，到現在都還沒還清，這筆錢加上利 息後，他的子孫將要償還多少給魯鎮酒店的後代呢?於是，我們決定以此為題進行討論。

二.研究問題 

1.探討以文章中所指出的漲價幅度所代表的通膨率為利息時，孔乙己所欠之十九個錢到現代 個別以複利和單利計算時其子孫將需償還之金額。

 2.探討此筆金額將在現代可購買的紹興酒(即文章中的黃酒)數量。

三.研究過程

《孔乙己》原文節錄如下: 魯鎮的酒店的格局，是和別處不同的:都是當街一個曲尺形的大櫃臺，櫃里面預備著熱

水，可以隨時溫酒。做工的人，傍午傍晚散了工，每每花四文銅錢，買一碗酒，——這是二 十多年前的事，現在每碗要漲到十文……有一天，大約是中秋前的兩三天，掌櫃正在慢慢的結 帳，取下粉板，忽然說:「孔乙己長久沒有來了。還欠十九個錢呢!」我才也覺得他的確長久 沒有來了……中秋之後，秋風是一天涼比一天，看看將近初冬，我整天的靠著火，也須穿上棉 襖了。……掌櫃也伸出頭去，一面說:「孔乙己麼?你還欠十九個錢呢!」……自此以后，又長 久沒有看見孔乙己。到了年關，掌櫃取下粉板說:「孔乙己還欠十九個錢呢!」到第二年的端午，又說:「孔乙己還欠十九個錢呢!」到中秋可是沒有說，再到年關也沒有看見他……大約 孔乙己的確死了。

1.

我們首先探討以文章中所指出的漲價幅度所代表的通膨率為利息時，孔乙己所欠之十九 個錢到現代個別以複利和單利計算時將需償還之金額。

《孔乙己》一文作於西元 1918 年，當時科舉制度已廢除，由此可知，本文的時間設定是 在西元 1905 年科舉廢除之前，為方便計算，我們將年份定為西元 1900 年。

我們以年利率計算:

令 y 為年分,文章中可得知在二十多年間酒錢的變化，因此分別代入 21 到 29 年計算，後 再取平均，並加上誤差值正負平均標準差，據原文本金為 4，經 y 年後最終漲到 10，我們分 三種計息方式計算:

(1)單利，每年計息一次

 (2)複利，每年計息一次 

(3)複利，每月計息一次

分別計算如下:

(1)

經過y 年之後，從四年漲到了十元4(1+x)

令所求x年利率為 ，經過一年後，變為4(1+xy)=10

由於是單利，因此經過y年後，變為

y分別代入 21~29 所求x分別為

(2)

經過y 年之後，從四年漲到了十元

令所求x年利率為 ，經過一年後，變為4(1+x)

由於是複利，因此經過y年後，變為4(1+x)^y

4(1+x)^y=10

兩邊分別取log

兩邊作 10 的次方數

y分別代入 21~29 所求x分別為

(3)

經過了 年之後，從四年漲到了十元

令所求年利率為x ，則月利率為

經過一月後，變為

經過一年後，變為

由於是複利，因此經過y年後，變為

兩邊分別取log

兩邊作 10 的次方數

分別代入 21~29 所求 分別為

雖然已經算出了 21 到 29 年可能的年利率，但是為了求得更精確的數值，我們將 這些數據取平均，並加上誤差值正負平均標準差，以求得年利率最有可能出現的範圍，而標準差σ的求法即為

其中，把它以Σ的形式寫出，即變成

其中。而平均標準差的算法即為標準差乘以，當我們把一組數據加上正負平均標準差，那麼即代表此數據的誤差範圍。

接著將三組數據經計算加入誤差範圍:

(1) 單利 每年計息一次

因此可信年利率為 

(2) 複利 每年計息一次

因此可信年利率為

(3) 複利 每月計息一次

因此可信年利率為

知道了當時漲幅的利率後，我們以此為基礎，計算孔乙己，那 19 個錢到線在漲了 多少。以當初欠錢的時間為 1900 年計算，一直到 2020 年，共過了 120 年。

(1)單利，每年計息一次

可信年利率為 0.060652 ±0.002243

因此以單利每年計息一次計算，孔乙己到現在共欠了 152.2~162.4個錢。

(2)複利，每年計息一次

可信年利率為 0.037753 ±0.001422

因此以複利每年計息一次計算，孔乙己到現在共欠了1376~1912 個錢

(3)複利，每月計息一次

可信年利率為 0.037108 ±0.001374

因此以複利每月計息一次計算，孔乙己到現在共欠了1375~1910 個錢

接著，我們探討孔乙己所欠金額在現代將使其子孫在現代可購買的紹興酒(即文章中的黃 酒)數量。

欲求得此筆金額能買足多少酒，必須知道當時的「文」，換算成現今中國所使用的「人民 幣」，會是多少。

范文瀾先生在《中國通史》引用清朝檔案如下:
短工每天掙 10 文錢左右，此時白銀價格還沒猛漲，基本上是 1000~1200 文錢兌換一兩銀

子。蔬菜價格隨菜品種類不同而有差別，普通瓜菜如黃瓜每斤 2 文上下，白菜每斤 1 至 3 文， 蔥每斤 5 文，蒜台每斤 8 文。桃子 6 至 10 文一斤。桃子現在在中國地區為 3 元人民幣一斤， 因此一兩銀子約等於現在 400~450 元人民幣。

我們由此得知，在以一兩 1000 文錢為基準的情況下，

400÷1000=0.4

可得一文錢換算成人民幣的金額為 0.4 元。

得知金額換算後，我們查詢了目前紹興酒在中國的市價。有鑑於搜尋中國各大通路之市售五百毫升玻璃瓶裝紹興酒為十到三十人民幣不等，因此我們選擇以二十人民幣為標準計算。

我們各以單利和複利所計算出的金額取最大值和最小值乘以 0.4 換算成人民 幣，並且以此四種情況計算可以買多少瓶酒。

計算如下:

(1)

單利最小值:152 個錢 → 152 0.4=60.8 → 四捨五入為 61 人民幣

61 20=3 餘 1 → 共可買三瓶紹興酒

單利最大值:162 個錢 → 162 0.4=64.8 → 四捨五入為 65 人民幣

65 20=3 餘 5 → 共可買三瓶紹興酒

(2)

複利最小值:1375 個錢 → 1375 0.4=550
550 20=27 餘 10 → 共可買二十七瓶紹興酒
複利最大值:1912 個錢 → 1912 0.4=764.8 → 四捨五入為 765 人民幣 765 20=38 餘 5 → 共可買三十八瓶紹興酒

四.結論
1.若所欠之錢以單利每年計算一次，孔乙己之子孫將須償還152.2~162.4個錢。

若所欠之錢以複利每月計算一次，孔乙己之子孫將須償還1375~1910個錢。

若所欠之前以複利每年計算一次，孔乙己之子孫將須償還1376~1912個錢。

2.按照計算若孔乙己所拖欠之金額到 2020 年所可以買的紹興酒數量為:

單利最小值:152 個錢，共可買三瓶紹興酒。

單利最大值:162 個錢，共可買三瓶紹興酒。 複利最小值:1375 個錢，共可買二十七瓶紹興酒。

複利最大值:1912 個錢，共可買三十八瓶紹興酒。

由此可知，其後代也不過要償還相當於 38 瓶紹興酒的金額，這不是一筆太難還清的債。 所以若孔乙己的後人，願意腳踏實地努力工作，不和他一樣好吃懶做，將很有可能還清，從 此洗清他們家「欠債不還」的惡名。

資料來源:
《吶喊》魯迅
http://www.millionbook.net/mj/l/luxun/lh/006.htm
《中國通史》范文瀾
中國淘寶網紹興酒頁面https://world.taobao.com/product/%E5%8F%A4%E8%B6%8A%E9%BE%8D%E5%B1%B1%E7%B4% B9%E8%88%88%E9%85%92.htm

作者 藍巧琳、黃繹璇

熟悉的童話，故事開始

很久很久以前，在一個遙遠的國度，有一名皇后在風霜刺骨的冬季裡，懷上了一個寶寶，，這個未出生的嬰兒是上天賜給整個王國的貴重禮物，因此國王和皇后都很珍惜這個孩子。有天早晨，皇后坐在烏檀木雕花窗前，一面看著窗外冰冷銀白卻純淨美麗的雪景，一面刺繡時，她不小心一個分神，手裡尖細閃著寒光的銀針，就這樣刺到了自己白皙的手指。皇后痛得倒抽一口氣，看見自己的指尖以經有了殷紅色的血珠，頓時若有所思，她向上天許願，希望生下一位可愛嬌美的女娃，她的皮膚純白如霜雪、嘴唇嫣紅如鮮血，頭髮烏黑亮麗如檀木。幾個星期後，上天似乎聽見了皇后的心願，她誕下了一個漂亮高貴的女孩，如皇后所願，膚白勝雪，唇紅似血，髮黑如烏檀，因此新生的小公主被命名為白雪(Snow White)。

不幸的昰，生下白雪公主後，皇后因為生產太過勞累又身體病弱，不久，疼愛公主的慈祥母后便去世了。為了不讓白雪公主少了母愛的關懷，公主的父王再娶了一位美豔卻驕傲的繼母，其實新皇后的真實身分是個邪惡女巫，擁有一面能夠回答任何問題的魔鏡。她每天都會問魔鏡一個問題：「魔鏡啊魔鏡，誰是世界上最美的女人？」魔鏡總回答：「皇后，世上最美的女人當然是您了！」新皇后擔心白雪公主的美貌會超越自己，當白雪公主日漸長大，便如同她的生母所祝福的一樣，愈來愈美麗，繼母的擔憂成真了！某一天早上，當新皇后再度進入密室，問了魔鏡同樣的問題，這次，魔鏡沉默了一陣子，當魔鏡再開口時，它的回答變成了白雪公主。這讓新皇后十分氣憤，從此視白雪公主為眼中釘，一心想把她除掉。作為一名女巫，她最擅長製毒，惡皇后煉製了一鍋毒藥，再將白雪公主最喜愛的蘋果泡在毒藥中，惡毒的她想讓白雪公主吃下鮮紅欲滴的毒蘋果，永遠消失在人間。

那麼，在白雪公主生活的時代背景中，究竟有什麼毒藥可以使惡皇后的手段得逞呢？後母費盡心思煉出的一大鍋毒藥又藏著什麼祕密呢？

致命的童話，蘋果的糖衣陷阱

回溯此童話的歷史，《白雪公主》是廣泛流傳於歐洲的德國童話，根據1986年德國巴伐利亞州美因河畔洛爾市鎮的藥劑師、製藥史學家同時也是地方史學家，卡爾‧海因茲‧巴特爾思博士(Dr. Karl Heinz Bartels) 研究指出，白雪公主的故事原型便取材自洛爾和其周邊區域。而主角白雪公主的歷史原形則極有可能是1725年生於美因河畔洛爾市鎮的瑪莉亞‧索菲亞‧瑪格瑞莎‧凱瑟莉娜‧馮‧埃爾塔爾(Maria Sophia Margaretha Catharina Von Erthal)，她的父親菲利普‧克里斯多福‧馮‧埃爾塔爾（Philipp Christoph von Erthal ）當時任神聖羅馬帝國境內洛爾地區的地方長官，但由於具備外交長才，他常以主教轄區使節等外交大臣等身分，周旋於歐洲諸多皇族王室之間。因此對洛爾地區而言，馮‧埃爾塔爾家族的聲望地位便如一國王族一般，洛爾城堡就是這個家族的官邸。

童話中出現的許多地景和人物也與洛爾地區及鄰近的斯佩薩特地區景色、產業符合，例如：黑森林可能是日後德國小說家威廉‧豪夫(Wilhelm Hauff)在《斯佩薩特的客棧》(Das Wirtshaus im Spessart)中被稱作「可怕野樹林」的地方；白雪公主逃亡的路徑也許是14世紀就被提及的一條山路，維澤爾大道(Wieser Str.)，此路自巴伐利亞州的洛爾通到黑森州的比柏格明德(Biebergemund)，那里有礦山，因此童話中的七矮人可能是身材矮小的礦工或礦童。比柏格明德屬於哈瑙伯爵的領地（Grafschaft Hanau），因此繼母無法以貴族夫人的身分追捕家族子女，只能喬裝成農婦；水晶棺材則是當地的玻璃產業。

至於繼母所製成的毒藥，巴特爾思博士找出相關文獻資料，提及邪惡的繼母加工毒蘋果所採用的材料為顛茄汁(Atropa belladonna L.)，這種植物生長在斯佩薩特，西歐至喜瑪拉雅山也都有分佈，內含全株皆具有毒的生物鹼，包括了阿脫品(atropine)、莨菪鹼(L-hyoscyamine)和東莨菪鹼(L-scopolamine)，其中以成熟的黑色漿果中的生物鹼含量最高。而占有8.33%的阿托品(化學式：C₁₇H₂₃NO₃；分子量：289.369 g/mol)具有麻醉作用，在中樞神經會抑制前庭系統(Vestibular system)的興奮性，導致昏迷、心率變慢，在週邊神經部分，會導致皮膚潮紅、瞳孔放大，成人口服的最小致死量為80毫克(mg)～130毫克(mg)，最有可能是使白雪公主呈現貌似死亡的昏迷狀態主要因素，而使用顛茄汁也符合真實年代背景。

我們依據0～18歲標準身高體重表，假設白雪公主為標準身高體重，且根據迪士尼官方資料，白雪公主遇害時的年齡為14歲，那麼在標準身高為158.6公分(cm)，體重為47.8公斤(kg)，假定成人阿托品最小致死量為80毫克(mg)的情況下，可以依下列由中華民國行政院衛生署所提供的計算式得知，粗步推估應使用多少劑量的阿托品，才能造成14歲且健康的白雪公主真正死亡。

年齡	身高（公分）	體重（公斤）
矮小	偏矮	標準	超高	偏瘦	標準	超重	肥胖
1歲	69.7	72.3	75	77.7	8.45	9.4	10.48	11.73
2歲	80.5	83.8	87.2	90.7	10.70	11.92	13.31	14.92
3歲	88.2	91.8	95.6	99.4	12.65	14.13	15.83	17.81
4歲	95.4	99.2	103.1	107.0	14.44	16.17	18.19	20.54
5歲	101.8	106.0	110.2	114.5	16.20	18.26	20.66	23.50
6歲	107.6	112.0	116.6	121.2	17.94	20.37	23.27	26.74
7歲	112.7	117.6	122.5	127.6	19.74	22.64	26.16	30.45
8歲	117.9	123.1	128.5	133.9	21.75	25.25	29.56	34.94
9歲	122.6	128.3	134.1	139.9	23.96	28.19	33.51	40.32
10歲	127.6	133.8	140.1	146.4	26.60	31.76	38.41	47.15
11歲	133.4	140.0	146.6	153.3	29.99	36.10	44.09	54.78
12歲	139.5	145.9	152.4	158.8	34.04	40.77	49.54	61.22
13歲	144.2	150.3	156.3	162.3	37.94	44.79	53.55	61.99
14歲	147.2	152.9	158.6	164.3	41.18	47.83	56.16	66.77
15歲	148.8	154.3	159.8	165.3	43.42	49.82	57.72	67.61
16歲	149.2	154.7	160.1	165.5	44.56	50.81	58.45	67.93
17歲	149.5	154.9	160.3	165.7	45.01	50.20	58.73	68.64
18歲	149.8	155.2	160.6	165.9	45.26	51.41	58.88	68.10

狡詐的童話，鮮紅欲滴後的算計

⑴ Young法

公式：兒童劑量=成人劑量×[兒童年齡/(兒童年齡+12)]

計算：

80 mg × [ 14 / ( 14 + 12 ) ] 

= 80 mg × ( 14 / 26 ) 

= 80 mg × 0.53846 

= 43.07692 mg

1公克 (g) = 1000毫克 (mg) → 43.07692 mg = 0.04307692 g

0.04307692 g ÷ 8.33 %  = 0.04307692 g ÷ 0.0833 = 0.51713 g (顛茄克數)  

⑵ Augsberger法

公式：兒童劑量 = 成人劑量 ×［（兒童年齡 × 4 + 20）/ 100］

計算：

80mg × [ (14 × 4 + 20 ) / 100 ]

= 80 mg ×［（56 + 20）/100 ］

= 80 mg ×（76 / 100）

= 80 mg × 0.76

= 60.80000 mg 

1公克 (g) = 1000毫克 (mg) → 60.80000 mg = 0.06080000 g

0.06080000 g ÷ 8.33 % = 0.06080000 g ÷ 0.0833 = 0.72989 g（顛茄克數）

⑶ Clark’s法公式：兒童劑量 = 兒童體重（英磅 Ib單位）/ 150 × 成人劑量

計算：

根據國際度量衡單位：1 (kg) = 2.20462262 (Ib)  → 47.8 kg = 105.38096 (Ib)

105.38096 Ib / 150 × 80 mg

 = 0.70253973 × 80 mg 

 = 56.20318 mg

1公克 (g) = 1000毫克 (mg) → 56.20318 mg = 0.05620318 g

0.05620318 g ÷ 8.33 % = 0.05620318 g ÷ 0.0833 = 0.67471 g（顛茄克數）

⑷ 體表面積算法

應用體表面積算法時，我們應先算出人體皮膚實際總表面積 [ BSA (m²) ]。而根據2003年國際科學展覽會作品《地區青少年體表面積與相關生活因子研究》，我們挑選以下5種實際人體表面積的公式。

［註］以下公式中H(cm)為身高，W(kg)為體重

①Mosteller公式

       BSA (m²) = [ ( H x W ) / 3600 ] ^½ 

②DuBois 公式

      BSA (m²) = 0.20247 x H^0.725 × W^0.425

③Haycock 公式

      BSA (m²) = 0.024265 x H ^0.3964 ×  W^0.5378

④Gehan公式

      BSA (㎡) = 0.0235 xH^0.42246 xW^0.51456

⑤Boyd公式      BSA (m²) = 0.0003207 × H^0.3 ×W^{[ 0.7285 ー ( 0.0188 log10 ) ]}

為了方便計算，我們採用最簡易且通用世界的Mosteller公式

計算：

設白雪公主為標準身高158.6公分(cm)、標準體重47.8公斤(kg)

[ (158.6×47.8 ) / 3600 ]^½  

= ( 2.10585556 ) ^½ 

= Sqrt. 2.10585556

= 1.45116 m²

1.45116m²/ 1.73 × 80 mg = 67.10566 mg

1公克 (g) = 1000毫克 (mg) → 67.10566 mg = 0.06710566 g

0.06710566 g ÷ 8.33 % = 0.06710566 g ÷ 0.0833 = 0.80559 g（顛茄克數）

⑸ Gaubius法公式：將20～60歲成人的劑量比例當作1，按照表格乘以比例倍數即可。

年齡	<1	1～2	2～3	3～4	4～7	7～14	14～20	20～60	>60
劑量倍數	1/15～1/10	1/8	1/6	1/4	1/3	1/2	2/3	1	2/3

計算：

80 mg×(2/3) = 53.33333 mg 

1公克 (g) = 1000毫克 (mg) → 53.33333 mg = 0.05333333 g

0.05333333 g ÷ 8.33 % = 0.05333333 g ÷ 0.0833 = 0.64025606 g (顛茄克數)

⑹ Percentage Method百分比法公式：以20歲以上成人劑量為100%，對照表格乘以百分比即可。

年齡	新生	2個月	4個月	12個月	18個月	3歲	5歲	7歲	10歲	11歲	12歲	14歲	16歲	20歲
百分比(%)	10～12.5%	15%	20%	25%	30%	33%	40%	50%	60%	70%	75%	80%	90%	100%

計算：

80 mg × 80% = 80 mg × 0.8 = 64 mg

1公克 (g) = 1000毫克 (mg) → 64 mg = 0.064 g 

0.064 g ÷ 8.33 % = 0.064 g ÷ 0.0833 = 0.76830732 g (顛茄克數)

甜美的童話，完美的結局

白雪公主在毫無防備的天真下，如繼母所願吃下毒蘋果，然而到了童話最終，白雪卻沒有死於惡皇后的毒計之下，反倒嫁給了白馬王子，有了完美童話該有的結果。

其實就理論而言，白雪公主最多僅需要0.8公克的顛茄，就能致死。因此不論算出來的數據是多少，只要皇后摘採一把顛茄果實，並且不經任何稀釋，直接將顛茄汁裹上蘋果的外皮，顛茄汁中所含的足量阿托品成分，就能輕易的殺死白雪公主。只可惜，童話畢竟是童話，邪不勝正，壞心的皇后有了心機卻沒有腦袋，忘了考慮濃度問題。

為了讓顛茄汁看起來量豐液足，毒藥輕易的就能裹上蘋果，於是皇后加了一大鍋的水進入毒藥內，讓自己辦起事來輕鬆不費力，但是天底下哪有白吃的午餐呢？殺人也不是門好差事啊！毒藥也是必須講求百分百純粹無添加，才能達到預期的效果。

雖然官方故事告訴我們，白雪公主沒有死亡是因為蘋果塊並沒有被吞下，噎在了喉嚨，但現實生活中，我們知道，口服時，只要毒藥碰到口中唾液，儘管食物沒有被吞下，也會造成危險性。況且白雪公主的毒蘋果本來便只有果皮本身有毒，不需要吞下肚，預期也能達成殺人於無形的目的。

思來想去，一個童話需要有甜蜜的結局和幸福，故事中的反派大壞蛋還是功不可沒，如果沒有惡皇后的下毒詭計，少了陰錯陽差，白雪公主只能是一個平凡的美麗女子，也遇不上一生的摯愛白馬王子了吧？

參考資料

〈1〉維基百科-白雪公主 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BD%E9%9B%AA%E5%85%AC%E4%B8%BB#%E5%8F%83%E8%80%83%E6%96%87%E7%8D%BB

〈2〉台灣有毒中草藥毒性資料庫-顛茄

http://tcm-toxic.kmu.edu.tw/index.php/顛茄

〈3〉每日頭條-阿托品VS阿托品中毒，如何辨別？

https://kknews.cc/zh-tw/health/eokq984.html

〈4〉中華藥典第七版

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https%3A%2F%2Fwww.lawlove.org%2FFiles%2Fpdfs4web%2Fph7_0460s.pdf&ved=2ahUKEwijjJyr3IrnAhU0NKYKHbcXCMcQFjAKegQIARAB&usg=AOvVaw0pEWA810lSSZjLEY6fegKr

〈5〉2018最新兒童身高、體重表來了，看看你家孩子達標了嗎？

https://www.cocomy.net/post/867032

〈6〉A+醫學百科-顛茄

http://cht.a-hospital.com/w/颠茄

〈7〉行政院衛生署體表面積計算

http://netreg.pnhb.mohw.gov.tw/other8.asp

〈8〉行政院衛生署人體表面積算法

http://netreg.pnhb.mohw.gov.tw/other8.asp

〈9〉2003國際科學展覽會，醫學與健康科學科作品https://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-2/International2003/pdf/090006.pdf

〈10〉法醫•屍體•解剖室：犯罪搜查216問89、90頁

作者 陳冠維、黃士榤

研究動機:

《玩命關頭 7》中，唐老大和布萊恩駕著一輛 lykan hyperssports 跑車在阿布達比(AbV Dhabi) 飛衝高塔大樓的畫面並跳車保命的畫面，令人難忘!不過在看完電影後不禁開始產生疑惑， 在現實世界中，這種場景是否能成真。而引發了本組以科學的角度來分析、這超越極限的電影片段!

先備知識:

為了增加本組計算、推論的準確度，本組上網蒐集了電影場景中建築物、跑車、環境及地理 因素的相關資料，並更深入討論電影片段中，可能影響計算的參數。以下為本組蒐集到的資 料。

一、 建築物:

阿布達比的最新地標~Etihad Towers 葉堤哈塔

從一號到五號高度分別為 277.6 米(911 英尺)、305.3 米(1,002 英尺)、260.3 米(854 英 尺)、234.0 米(767.7 英尺)和 217.5 米(714 英尺)。其中最高的二號塔是阿布達比第三 高的建築物。電影中的高塔為二號塔。兩塔之間的距離為 52 公尺。

二、 跑車:

Lykan Hypersport 是由成立於 2012 年的黎巴嫩的公司 W Motors 所限量生產的跑車，是中 東地區所生產的第一個超級跑車。要價 340 萬美元。W Motor 聲稱的最高速度有 385 km/h (239 mph)=107m/s 和 0 至 100 km/h(0 至 62 mph) 的加速時間僅需要 2.8 秒。全車採 用輕量化碳纖維打造，重量為 1380 公斤。

三、 榴彈發射器(M203):

重量 1.36 公斤(空槍)

長度 15 寸(350 公釐)

槍管長度 12 寸(305 公釐)

子彈 40×46 公釐低速榴彈

口徑 40公釐

槍機 單發，手動後膛裝填

槍口初速 76 公尺/秒

有效射程 150 公尺(點殺傷) 350 公尺(面殺傷)

最大射程 400 公尺

供彈方式 單發

 (參考:維基百科)

四、其他因素:
1.考慮因素:車內角色重量:100 Kg +80 Kg =180Kg 

2. 汽車質量分布均勻

3. 無空氣阻力

4.省略玻璃阻力(方便計算)

5.省略摩擦力(摩擦力提供跑車前進的反作用力，因此不影響車速)

探討榴彈爆炸對跑車產生的加速度:

依網路資料:

直徑 11.25mm, 質量 8.5g, 速度 70m/s 子彈動能比為 20.87J/cm2 而榴彈的初速為 76 m/s, 230g, 直徑:40*46mm 為了方便換算，本組將榴彈的初速改為 70 m/s，榴彈直徑取 45mm。 此時，榴彈的初速與子彈相同，質量為子彈的 27 倍，直徑為 4 倍。 由此可得榴彈的動能比為 20.87*27/16=35.22 J/cm2

如何將榴彈動能比轉換為 F:

35.22 kg*m²/S²/cm²=352200 kg*m²/S²/m²=352200N/m=352200N

探討榴彈對跑車產生的加速度:

依”F=Ma” 可得”a=F/m”

帶入求得: a=352200N/1860Kg(跑車質量)=189.35 m²/S² 榴彈對車速的影響:

依”V=V0+at” 其中 V0 為跑車的最高速(385.35km/hr)、a 為榴彈爆炸給跑車的加速度、t 為榴彈爆炸的作用時間V 為受榴彈作用後的速度。

→V₀=107m/s a=189.35 m²/S²

→V=107 m/s +189.35 m²/S²*t

研究進行到此階段，本組遇到了一個重大的困難，從電影或網路資料中，找不到榴彈爆炸 作用的時間。之前許多的相關資料、數據都可以在網路上獲得，其他研究也做過相關的數據 分析。但是探討榴彈對跑車產生的加速度在本組找尋的資料中是第一個。本組組員討論後仍 百思不得其解。因此本組決定向物理老師詢問。老師建議我們可以帶不同時間，整理出對應 值討論。而本組繼續進行探討。

聽完老師的建議後，本組決定將榴彈爆炸作用時間的值取 0.1s、0.05s、0.00.1s 並分別討

論。

探討榴彈對車速的影響:

依” ”V=V0+at”
當 t=0.1 時
V=107 m/s +189.35 m²/S²*0.1s=126 m/s

當 t=0.05 時
V=107 m/s +189.35 m²/S²*0.05s =116.5 m/s

當 t=0.001 時
V=107 m/s +189.35 m²/S²*0.001s = 107 m/s

計算當跑車以最高車速(385km/hr)飛衝高樓的可能性:

首先，假設跑車到達另一大樓需時 t 秒。依”S=(V+V0)/2*t” 其中位移 S 是兩棟大樓的距 離(52m)、V0 為跑車的最高速(385km/hr)、V 為榴彈爆炸後跑車的速度。計算結果如下:

1. 榴彈作用，跑車速度為 126(km/hr)時
   52m=(107 m/s +126 m/s)/2*t→52=116.5 m/s *t→t=0.4s
2. 榴彈作用，跑車速度為 116.5(km/hr)時
   52m=(107 m/s +116.5 m/s)/2*t→52=111.7 m/s *t→t=0.45s
3. 榴彈作用，跑車速度為 107(km/hr)時
   52m=(107 m/s +107 m/s)/2*t→52=107 m/s *t→t=0.49s 接下來將跑車到達另一棟大樓的時間，帶入”S= V0t+gt2/2”求出跑車下降的高度，算 出跑車下降高度 S。其中 V0=0(出速度=0)、g 為重力加速度=9.8 m2/S2、t 為跑車到達另 一棟大樓的時間。計算如下:

1. t=0.4s
   S=9.8 m²/S²/2*(0.4s)2=0.784m
2. t=0.45s
   S=9.8 m²/S²/2*(0.45s)2=0.99m
3. t=0.4s
   S=9.8 m²/S²/2*(0.49s)2=1.176m

結論:

若跑車以最高時速(385km/hr)飛衝大樓，約 0.5 秒到達另一棟建築且跑車下降高度大約 1

公尺。因此電影中跑車飛衝大樓的畫面在現實世界是可能發生的。 進一步分析跑出飛衝最低車速:

分析完電影場景中跑車飛衝畫面的可能性後，本組的好奇心萌發，欲探討跑車飛衝的最 低車速。因此本組開始上網找尋相關資料。

根據網路資料顯示，電影中跑車飛衝時，下降的高度約為 12m。利用公式” S= V₀t+gt²/2” 可求出跑車下降的時間 t。其中 S 為跑車下降高度(12m)、V₀=0(出速度為 0)、g 為重力加 速度=9.8 m²/S²。

計算如下:
12m=9.8 m²/S²/2*t²→t=0.7s

依 ”S=(V+V0)/2*t” 可求出跑車最慢車速 V₀。其中 V 為跑車受榴彈作用後的車速(帶最 大值 116.5 m/s)、t 為跑車在空中停留的時間、S 為兩棟大樓間的距離。計算如下: 52m=(116.5 m/s + V0)/2*0.7s
→V₀ 最小=32m/s=115.2km/hr

結論:

根據電影場景資料，跑車在飛衝的過程下降了 12m，而本組進一步根據此數據推算出了 跑車飛衝最小車速。

驗證:

在整個數據分析的過程，本組組員都是相當小心謹慎的，深怕一個地方的數據或計算有 錯誤將會影響往後的數據研究。但因為網路上的資料僅有結果沒有過程，更增加了此主 題的研究的困難度。為了確保數據的準確，本組組員更上網找尋外國網站對此主題的研 究結果與本組對照。

與國外資料 112.65km/hr 比對本組分析出的資料 115.2km/hr 誤差為 2.55km/hr，可見本組數 據分析的正確性。
評鑑與檢討:

1. Lykan hyperssports

本組使用的數據皆為官方公布的數據，另外再進行數據分析前已先將車子假設為質量 均勻，免除重心影響跑車在空中降落的值。因此本組希望有機會能在針對重心不同與 萬有引力之間關係再做進一步的討論。

2. Etihad Tower 葉提哈塔 本組計算時葉提哈塔所使用的數據皆為網路上查詢的資料。另外本組在做數據分析時 也忽略了大樓強化玻璃的阻力。在上網找找尋相關資料時，本組發先強化玻璃的強度 會因受力而變化，而這並不在本組組員所及的能力範圍。
3. 榴彈發射器 本組在討論榴彈發射器給跑車的加速度時，忽略了發射處與跑車的距離。 在電影中 其實榴彈發射的位置和跑車有一定的距離、榴彈的初速本組也是取70m/s取代76m/s方 便計算，其中有許多細節可以在跟深入的研究。
4. 摩擦力: 在分析前，本組就已將車子與地面的摩擦力省略。其實本組一開始在構思的時候的確 有將地面摩擦力帶入計算的，後來經過更深入的討論、物理方面知識的研讀後發現摩 擦力其實是可以省略的。因為跑車驅動輪轉動時，摩擦力提供了反作用前進。而車速 則為反作用力帶動跑車前進的速度因此不影響車速。

5. 空氣阻力

本組剛開始構思時，其實想要加入空氣阻力的計算。但是在上網找尋相關資料時發現 流體力學有不同的使用情形，且並不再本組組員目前的能力範圍，且空氣阻力的影響並不大。因此本組省略了此部分的套論。

6.分析跑車最高車速飛衝大樓的可能性

此階段花費本組最多心血，因為前面的資訊都是教科書、網路可以找的相關的內容。 但是計算的內容在本組查詢的資料範圍內，都是只有結果的，加上有許多不同的變 數，因此增加了本組研究的困難。最終本組在精密的分析、計算，加上討論後，成功 的找出與現有資料相近的結果。

7.進一步分析跑出飛衝最低車速

在本組一開始的構思其實並無此部分，為事後加入的。因為在前一部分的結果並沒有 太具體的表現，加上本組想更深入的研究。分析的數據，與現有資料比對無誤，加上本組數據的分析為目前唯一附上計算過程的資料，使本組組員有相當的成就感。也希 望有機會可以有更進一步的相關研究。

參考資料:

1. https://www.vVltVre.com/2015/04/coVld-fVrioVs-7s-skyscraper-jVmp-really-happen.html 相關 文章
2. 龍騰版-高中物理課本第一冊第三單元
3. 下圖為本組參考的文件

 

作者 高瑀謙、梁家榛、劉又慈

動畫和電影中經常出現一些不可思議的畫面，不僅在我們心中留下深刻的印象，也引起 了許多人的好奇或模仿，想知道究竟這些看似不可能的任務，是否真的能在現實世界中發生。

一名美國 YouTuber 為了知道動畫片當中那些離奇的動作場景是否真能實現，決定親自驗 證並拍成一部部的影片。他進行的其中一項挑戰是「用馬桶吸盤爬牆」。影片當中，他將廁所 馬桶吸盤緊緊按壓在自家二樓的陽台玻璃圍欄上，雙手抓著馬桶吸盤的把柄，只見他雙腳才 剛離開支撐就立刻和馬桶吸盤一同墜落到一樓了。

看了這個影片的我們不免有些好奇，難道用馬桶吸盤在高樓大廈的外側玻璃上爬行的舉 動真的不可能嗎?如果使用不同大小的吸盤是否便能讓動畫場景成真?於是我們試圖以一連 串的假設和計算，探究這項挑戰的可行性。

首先，我們先理解吸盤的科學原理:使用吸盤時，吸盤裡面的空氣會被擠出，使吸盤下的 空氣壓力減低，而當吸盤外的空氣壓力大過於吸盤內，吸盤就會被外面的空氣壓力頂著，吸附在接觸面上。

  接著，我們經過資料搜尋後找到吸盤直徑與吸力的公式為:

其中 D 為吸盤的直徑，單位為 mm;M 為吸取物件的重量，單位為 kg;n 為吸盤的個數;P為真空壓力，單位為 kPa;S 為吸盤的安全係數。據我們搜尋資料知道，一般情況下，水平吸吊所需的安全係數最小為 4，垂直吸吊的情況下最小為 8，考慮我們設計的情境是在大樓外牆 爬行，屬於垂直吸吊的情況，故取 S 為 8。

接著介紹真空壓力，一般量測壓力時大多以局部的大氣壓力為基礎壓力，由壓力計所量 得的壓力值稱為表壓。表壓為量測點的絕對壓力與局部大氣壓力的差值。「絕對壓力」即是以 「絕對真空」(空無一物，理論上才能達到)為零位，標出的數值都是正值，這個數字越小， 越接近絕對真空。而大氣壓力、表壓、絕對壓力三者的關係為絕對壓力−大氣壓力＝表壓。

因此當絕對壓力大於局部大氣壓力時，表壓值為正，反之則為負值。負的表壓又稱為吸 入壓力或真空壓力，表示該點的絕對壓力小於局部大氣壓。常用帕斯卡(Pascal)或托爾(Torr) 做為壓力的單位，本次計算採用 Torr 為單位，其單位換算公式為 1 atm ＝760 Torr ＝ 101.325 kPa。

以家用吸塵器吸力為例子，一般來說，吸塵器可以使氣壓降低 20%，這表示吸塵器在一 大氣壓下會使吸塵器的內部形成 760Torr0.8608Torr 的絕對壓力，故其真空壓力為
608 Torr − 760 Torr ＝ −152 Torr。

正常吸盤能使氣壓降低的比率應小於吸塵器，故可得知吸盤所能造成的絕對壓力介於 608 與 760 Torr 之間。我們將吸盤所能創造的絕對壓力假設為 760 Torr 及 608 Torr 的平均值，為 684 Torr，故真空壓力為 684 Torr −760 Torr ＝ − 76 Torr，換算可得 − 10.1325kPa，為方便計算， 我們取 − 10kPa 為其真空壓力值。

我們估算這名 YouTuber 的體重為 65kg，且雙手各握著一個吸盤。設定他當時只有雙手 有拿吸盤，爬行前進中只會有一個吸盤支撐體重，將上述各項假設數值代入公式:

藉由影片中其他參照物的對比，那名 YouTuber 手中的馬桶吸盤直徑約僅 15 cm，確實無法支 撐他的體重，且考量到他爬行時需鬆開其中一個吸盤，才能向上攀爬。因此，他手中的工具 恐怕無法實現兒時動畫片裡的場景。

因此我們做了更進一步的假設:如果連雙腳都有吸盤的話，是否有機會使他以原本使用的 15 cm 的吸盤讓這個實驗成功呢?我們將支撐重量設為 x，由於過程中需鬆開其中一個吸盤以 利向前爬行，同時只有三個吸盤吸附牆面，故計算如下:

因此，我們可知即使雙手雙腳都附上一般超市能買到的廁所馬桶吸盤來攀爬，也無法支撐這 名 youtuber 的體重。所以，想要藉由馬桶吸盤在高樓大廈的玻璃帷幕飛簷走壁恐怕真的是天 方夜譚。

然而，我們卻搜尋到 2016 年時一則令人震驚的報導:「一名男子使用吸盤攀上川普大樓， 並成功地在警察逮捕他之前借著吸盤攀爬上 21 層樓」。我們閱讀新聞後，發現他成功化身當 代蜘蛛人的奧秘:原來這名男子使用的並不是一般的廁所馬桶吸盤，而是電子吸盤。

當一般吸盤掛著物件時，物體的重量可能使吸盤與接觸面出現縫隙，使吸盤外的空氣進 入吸盤內，而當吸盤內的空氣壓力與外面相等時，吸盤就無法借由裡外的氣壓差承受物件重 量，與接觸面脫離。電子吸盤的優點即是可自動偵測漏氣狀態、吸出內部空氣、降低內部真 空壓力並保持吸力，因此可避免上述問題。

於是我們嘗試計算如果將電子吸盤運用在原先那名 YouTuber 身上，是否能使他成功的利 用直徑大小符合常理的吸盤，支撐起自己的體重?首先我們必須先知道當吸盤內部接近真空 時，吸盤內部的真空壓力數值為何。

由上表 1 作為參考數值，我們估計機器抽真空的程度大約能到「高真空」的狀態，所以 取「高真空狀態」數值範圍的平均值Torr 來計算，真空壓力為

我們取其值為 −  101 kPa，並且設定他當時只有雙手有拿吸盤，爬行前進中只會有一個吸盤支 撐體重，代入公式計算:

即直徑約 26 cm，因此使用電子吸盤在大樓外側爬行似乎是件可行之事!

在討論的過程中，我們反覆觀看「一名男子使用吸盤攀上川普大樓」的影像資料，發現 他的動作與電影《不可能的任務:鬼影行動》中男主角爬上哈里發塔方式類似，只不過後者 使用的是「壁虎手套」。若使用「壁虎手套」的科技的話，是否真能在大樓外側爬行呢?

據科學家的研究，壁虎能在各種不同材質的表面上飛快的垂直移動的關鍵在於凡得瓦 力，即存在於分子間的正負電荷吸引力。壁虎的腳掌上有上百萬根的剛毛(setae)，每根剛毛 的尖端具有 100 ~ 1,000 根奈米級的微細纖毛(spatulae)，每根纖毛都能提供很小的吸附力， 以世界上體型最大的壁虎蛤蚧為例，其成年個體體長近 40mm，體重約 300g，每個腳掌的面 積大約是 227mm2，四個腳掌共可產生約 20 牛頓(N)的吸附力，而它的重力只有大概0.3(kg)×9.8 ≈3N。也就是說，僅憑一隻腳，壁虎也可以牢牢的吸附在天花板上。

如果我們再以前文所提到的 Youtuber 為例，體重為 65kg，重力約為 65×9.8 63≈7N，故得，即需要至少接觸面積約28919.8mm²的壁虎手套，才足可支撐起一個人的重量。若四肢都穿上壁虎手套，且移動時必須抬起一隻手/腳，則每一隻手/腳的壁虎手套與牆壁的接觸面積至少需有 。而一般成年人手掌面積平均約 170cm2，由此可知，壁虎手套是可以支撐人體重量的。

總結以上研究，想要使用一般馬桶吸盤來完成我們的蜘蛛人夢難如登天，但電動吸盤使 得夢想不再局限於動畫與電影中，而壁虎手套(或板子)使人類更接近飛簷走壁的夢想。同 時，壁虎手套的原理還可應用於貨櫃搬運、高樓層救災及傷口敷料黏貼等。由此可見，我們 童年的狂想不只是天真的白日夢，而是真的可能實現並做出具有極高實用性的成品!因此， 我們不應限制自己的想像力，如同許多科學上的重大突破都誕生於無意間，讓我們跳脫現實 的侷限，也許有朝一日便能開創屬於自己的一片天!

參考資料

https://m.youtube.com/watch?v=lqJTwODL22s CAN YOU CLIMB A WALL WITH TOILET PLUNGERS? | David Vlas

https://www.pcmarket.com.hk/2017/12/18/小吸盤.大科學/ 小吸盤.大科學

http://terms.naer.edu.tw/detail/1331305/ 真空壓力

https://swallow1203.pixnet.net/blog/post/63669885 絕對壓力和相對壓力

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9C%9F%E7%A9%BA 真空-維基百科

http://www.phys.nthu.edu.tw/~thschang/notes/VAC01.pdf 真空的基本觀念

https://www.fullwealth.com.tw/list/cate-10762.htm 壓力單位換算表

https://www.ettoday.net/dalemon/post/17560 不可能任務變可能，背兩台吸塵器竟然就爬上大樓 外牆?!

https://www.wired.com/2016/08/chucklehead-climbed-trump-tower-without-splattering/ How That Chucklehead Climbed Trump Tower Without Splattering

http://iikent.blogspot.com/2012/02/blog-post_09.html 揭秘壁虎能爬牆之謎

https://nano.nstm.gov.tw/NaturalPhenomenon/OtherPhenomonon/UnderstandingOtherEffect.htm

奈米新世界 自然界的奈米現象
https://zhidao.baidu.com/question/513220416.html 物理常識，比如手掌面積和腳掌面積，成年

人體積，人體密度，伸出手來的大氣壓是多少?https://www.ted.com/talks/robert_full_learning_from_the_gecko_s_tail/transcript?language=zh-tw

&hc_location=ufi#t-691746 Robert Full:向壁虎的尾巴學習

作者 黃嬿蓁、林昰瑞、呂銍珅

一、故事背景:

尤金為了躲避士兵的追捕，偶然間看見了一座高塔，便爬了上去，並在塔上與樂佩相 遇，樂佩威脅尤金要帶他去看國王與王后為公主放的天燈，於是他們就踏上了前往王都的旅 程。在一次的驚險逃脫中，當樂佩想要用自己的頭髮將尤金從懸崖邊拉起，她赫然發現她拉 不動尤金，差點使尤金被士兵抓住，情急之下，她突發奇想地將自己的長髮當成了鞭子，耍 得虎虎生風，擊退了士兵，拉著尤金跑走了。在確認已看不見士兵後，樂佩不禁思索起平日 裡她究竟是怎麼把媽媽拉上高塔的，作為一個新世代堅強聰明的女性，她決定運用她在塔上 自學得來的知識，分析她的頭髮應該要有多長及應運用什麼工具才足以將人拉起。正當她邊 走邊想著如何計算時，卻沒意識到自己即將撞上前方的大樹，幸好尤金一把拉住了她，讓她 免於撞樹的危機，而樂佩也因沒有站穩而跌進尤金的懷裡，在尷尬地急忙站起身後，樂佩發 現她心中對尤金起了一絲不知名的悸動……

二、分析與討論

 (一)頭髮的承受重量

根據研究，一根頭髮約可承受 0.5 牛頓的力，而我們估計一平方公分約有 150 根頭髮， 頭髮應占人頭表面積的 50%，假設人的頭為圓球，半徑為 10 公分，用球體表面積公式:4πr² 算出頭髮占人頭表面積為4π10²x0.5 平方公分，所以乘上 150 後人約有 10 萬根頭髮，能承受的拉力為 5 萬牛頓。因為尤金比巫婆重，我們只討論尤金的重量。只要拉得起尤金就一定拉得 起巫婆。我們設尤金為 76 公斤重，而 1 公斤重為 9.8 牛頓，所以用頭髮拉起尤金需承受 744.8 牛頓的力，遠小於算出的 5 萬牛頓，所以樂佩的頭髮足以承受巫婆跟尤金的重量。

(二)塔高:

根據圖(一)可測得，巫婆身高與塔高(地面到窗戶)比例約為 1:12.3，我們用一般成年女 性身高設定巫婆為 160 公分，所以塔高約為 20 公尺。

(三)塔高與髮長:

影片中樂佩單純透過定滑輪將巫婆從塔底拉起，需要施跟巫婆體重等量的力，而根據 人類女性理想體重公式:(身高-70)x0.6 =體重，得巫婆體重約為 54 公斤，所以應施 529.2 牛 頓的力，而一般女性平均拉力為 156.8 牛頓，所以樂佩根本無法像電影中透過定滑輪將巫婆從 塔底拉起。為了讓電影情節更合理，我們為樂佩設置了兩組滑輪組，來幫助樂佩實現將巫婆 拉上高塔的動作。

(1)裝置一:

一開始的設計理念是樂佩拉巫婆上塔的樣子很像在玩盪鞦韆，便設計出這個裝置。我們 假設滑輪的重量和摩擦力影響不大，令樂佩將巫婆拉上塔的施力為 F，頭髮張力為 T，巫婆加 木板(圖二的左邊)的重量為 W，塔高為 h，髮長為 L。假設巫婆站在一個木板上，樂佩施一個 定量且持續的力，透過定滑輪使巫婆跟木板保持等速度運動，且各接觸面摩擦力極小。計算F=T 且 2T=W 推得 F= 1/2W，得施力等於物重的一半，推得髮長應大於兩倍塔高，即應大於 40 公尺，施力至少 264.6 牛頓，遠大於一般成年女性的拉力(156.8)，故我們設計第二組滑輪。

(2)裝置二:

在尋找可行方法時，我們參考電梯的造型，設計出這種更省力滑輪組。我們令樂佩將巫 婆拉上塔的施力為 F，頭髮張力為 T，巫婆站在木箱裡(圖三的左邊)的重量為 W，塔高為 h， 髮長為 L。假設巫婆站在一個木箱裡，樂佩施一個定量且持續的力，計算 F=T 且 3T=W 推得F= 1/3W，得應施物重三分之一的力，此時髮長至少大於三倍塔高，即應大於 60 公尺，施力至少 176.4 牛頓，而樂佩平時常拉巫婆上去，她的拉力(156.8)應會比平均更高一點。所以 176.4 牛頓差不多為樂佩可以施的力。

(四)懸崖與髮長:

電影中有一幕，看到樂佩與尤金跟士兵打鬥的畫面，著實讓我們感到熱血沸騰，但我 們也不禁擔心樂佩拉著頭髮跳下懸崖的那一幕，頭髮會不會斷裂。但由於繩張力要用到速度 與半徑，因而斷裂問題在最後討論。

(1)第一次跳懸崖時的頭髮長度:

影片中樂佩將頭髮纏繞在木頭上而跳下懸崖花了 4 秒鐘，已知樂佩頭髮超過 60 公尺， 我們估計懸崖間的寬度為 10 公尺，由圖(五)知，當頭髮超過 60 公尺，擺動角度將會小於 4.78度，根據小角度擺動公式:，T 為單擺運動週期，l 為頭髮長度，g 為重力加速度，擺動角度要小於 5 度才會符合公式，所以用此公式來算樂佩確切的頭髮長度。因為影片中樂佩 單次跳過懸崖花了 4 秒鐘，而公式中的週期是指一次來回的時間，所以樂佩第一次跳下懸崖的週期是 T=4X2=8秒。由公式得知:，再加上樂佩纏繞在木頭上的頭髮為 1 公尺，可知樂佩頭髮為 64 公尺。

(2)第二次跳下懸崖的頭髮長度:

當樂佩第二次將頭髮纏繞在木頭上而跳下懸崖時，從懸崖頂跳至地面的擺動角度幾乎成 直角，所以我們將用以下算式逐步推導出樂佩頭髮長度。令最大擺角為單位為rad ，h 為懸崖高度(也是樂佩頭髮全長減掉纏繞木頭部分的長度)。在最高點時，動能，因為v=0，所以E_k=0，而位能 ，根據力學能守恆定則:，所以總能即等於位能。根據積分的推導，最後得到。在影片中，樂佩跳下懸崖花了 5 秒鐘，為此次單擺的1/4週期，所以週期 T=5X4=20秒。由公式得知

71.31 公尺，再加上樂佩纏繞在木頭上的頭髮為 1 公尺，可知樂佩頭髮為 72 公尺。

在最高點時，運用力學能守恆，可列出下式:

移項可得最低點時的速度:

週期=時間變化的積分==4 倍平衡點到端點時間變化的積分，可得下式:

將g和h常數提出，可得下式：

(3)跳下懸崖時頭髮會不會斷裂

根據圖(七)，在最低點時會有最大頭髮張力，設 m 為樂佩的質量，又因樂佩差不多與巫婆同高，所以假設體重同為 54 公斤，v 為上式所求出的，h 為(2)求得的 72 公尺，代入牛頓，遠低於頭髮能承受的 50000 牛頓，所以頭髮不會斷掉。

三、總結:

為了貼近故事設定，我們盡可能地還原原作，先用平均身高來求塔高和體重，再針對

不合理處做修正。有了基本的人物設定後，我們計算出頭髮能承受的拉力上限其實非常高， 如果施力平均的話幾乎不可能斷裂，因此我們大膽做出上述實驗。從女性平均拉力來看，要 讓樂佩施與巫婆體重等重的力實在困難，所以我們貼心地為她準備滑輪組，讓她能將巫婆拉上塔。接著我們以單擺運動配合電影中的數據，推估出樂佩的頭髮長度大約落在 72 公尺，與 前面實驗吻合。

每個迪士尼公主都有一個屬於自己的特色，我們的樂佩當然也不例外。長髮雖然很 美，也能順便用來救人、學泰山盪鞦韆，有各式各樣的妙用，但也會為生活帶來許多不便利 性，例如走著走著不小心踩倒跌個狗吃屎之類的。雖然在故事結尾尤金將樂佩的頭髮割斷讓 她脫離魔咒，但若樂佩將來想要留長頭髮的話，72 公尺是最佳長度喔!

在計算中，有許多因素是我們沒考慮到的，像是滑輪的摩擦力、頭髮的摩擦力、滑輪 與頭髮的重量、空氣阻力等，其中有些已超出我們的能力所及。儘管仍有眾多不足，我們期 許自己能隨著年齡的增長、更多知識的累積及運用，在未來能探討得更周全。

參考資料:
1、勞動部，理想體重， https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://laws.ilosh.gov.tw/ioshcustom/Downloa d/Download.ashx%3Ftype%3DYearlyReserachReports%26id%3D6006&ved=2ahUKEwjJ4euOmI3nAhX 1zIsBHf7eBe4QFjADegQIARAB&usg=AOvVaw1WCSHJZJicb4flAQBtM-aF 

2、勞動部，女性平均拉力

3、亞太科學教育論壇，頭髮張力的測量與展現， https://www.eduhk.hk/apfslt/v8_issue1/chencc/chencc9.htm

作者 曾介績、區至宇

總統大選進入倒數，最近在網路上看到了幾則新聞:某政黨總統候選人民調依 舊不見起色，並且多次批評媒體墮落、假民調滿天飛，擔心打擊自己支持者的信心， 甚至有持者擔心接到民調電話不敢表態，擔心被查水表，所以不敢表示太多意見，認 為目前民調準確度，確實是讓人質疑的。並稱此次​2020​年總統大選是「台灣選舉史上 最荒謬的一次」，最後某政黨總統候選人竟呼籲支持者，從拒答到現在開始接到民調 電話通通說「唯一支持蔡英文」。

某研究員表示:做這種比較奇特的民調的話 ，可能會造成幾個影響，第一個當然 是影響到游離票，那更重要的是，會影響到一些組織票，比如說地方派系、商業職業 團體，把他觀察選戰熱度的焦點，擺回到造勢大會的話，他可能覺得這個對他的選戰 ，是會有加分的，還是會給對手很多操作空間，很多的民眾可能會，對這個目前選戰 情勢的判斷印象，會停留在現在這個階段，它可能就會形成一種成見，就會認為是說 ，雙方差距已經蠻大，那你接下來要去克服這種成見，還必須花一番功夫。

這使我們產生了興趣:質疑民調，乾脆不玩了，這樣的選戰策略確實罕見，儘 管數字會說話，民調的消長，在大選的時候，也是很重要觀察指標，我們所認定「民 調」的數據，會不會只是我們主觀直覺思考時所產生的假象?然而事實上卻不符合真 實民調?讓我們看一個簡單的例子:

我們首先比對民調截止日期最後一個禮拜各媒體的總統民調以及實際總統及副總統投 票結果:

而實際開票結果如下: 投票率為74.90%。在從1996年以來台灣進行的7次總統直選中排名第5，除了比4年前總統大選的投票率66.27%高出約8個百分點，也超越2012年的74.38%。最終得票數部分，「蔡」以57.1307%得票率，獲得817萬231票當選;「韓」以 38.6137%得票率，獲得552萬2119票;「宋」則以4.2556%得票率，獲得60萬8590 票。

此為2020總統大選結果(2020/01/11)

由兩張表比對可以發現實際得票與民調是有不少落差的，這使我們感到了興趣，究竟民 調為甚麼會有不同?在上方民意和選舉結果比較後可以發現蔡英文的民調明顯高出許多 ，而韓宋兩人的民調反而低了許多。是和選民在其間的心態變化有關還是幕後的有心人 控制?

在我們的假想世界中:

假設​1​:有三位候選人分別是a、b、c，民意支持度呢分別是​a >b > c​，而​a + b + c =100​%。

假設​2​:假設當其中兩位候選人的民調差距在​5%​以內時，選民就會覺得「夠接近」， 否則就可能會覺得「差太多」，而落後的​b​跟​c​支持者正在考慮要不要策略選擇候選 人。這當然是可以更動的數字，這裡只是假設。

從假設​2​可以接著推出條件​3​、條件​4​、條件​5​: 條件​3​:假設​b+c>a​。

如果​a​比另兩位加起來還多，​a​就會讓​b,c​支持者放棄選邊選擇，所以​a​必須比​b+c​還要小​a​。 條件​4​:假設​b>c+5%​。最後一名的​c​跟第二名的​b​夠接近，​c​就會企圖讓​c​支持者不跑票，所以​b​要比​c+5%​還大​c​才不會。

條件​5​:假設​a>b+5%​。第二名的​b​跟第一名的​a​夠接近，​b就會​企圖讓​c​支持者轉而支持 b​，所以​a​要比​b+5%​還大​b​。

接下來就又是快樂的高中點線面數學時間了。假如我們要在座標平面上找到一塊區域 可以同時符合上面兩個假設跟三個條件，先劃一點線，再加點細節，結果會是下面的圖。

平面:因為​a+b+c=1​，所以只要知道​a​跟​b​就知道​c​，因此我們可以降一個維度，只要畫 a​跟​b​的關係就可以自然推到​c

L1​:因為​a+b+c=1​，​a+b​一定​<1​，因此結果一定在​L1​(​a+b=1​)的左下方

L2​:因為假設一​a>b>c​，所以結果一定在​L2​(​a=b​)的右下方

L3​:因為條件三​b+c>a​，所以​1=a+b+c > a+a​，所以結果一定在​ L3​(​0.5 = a​)的左邊

L4​:因為條件五​a> b+5%​，所以結果一定在​L4​(​a=b+10%​)的右下邊

L5​:因為條件四​ b >c+5%​與條件五​a>b+5%​，​100%=a+b+c>b+5%+b+c>3c+15%​， 28.3%>c​，所以​a+b>71.6%​，所以結果一定在​L5​(​a+b=71.6%​)的右上邊

在這​5​條線同時交集的地方，​ ​就是上面圖形中有顏色的區域。當民調正好落在這個區 域的時候，​a​發現自己領先的不夠多(落在​40%~50%​間)，​c​發現自己還沒真的追上 (落在​10%~30%​間)，​b​發現自己不上不下(落在​30%~40%​間)。

我們將上次的民調採作標示的方式帶入。

接著，我們將圖與上述民意結合得到下圖

這是2016年的總統大選結果(2016/01/06)

圖中紅點H便是大選結果，明顯可看出和民調A、B、C、D較為接近，而為甚麼越接近 選舉，民調和結果相差愈大呢?可能的解釋便是有人在背後偷偷操控民調數據，想藉此 打擊他人信心，並混淆民眾。亦可能是如上述假設和條件造成的民意改變。

我們在探究的過程中，釐清了民眾對於民意調查的真實性混淆，也用數字解答了我們 的疑惑。​透過統計各大媒體的民調，並加以假設方程式當作條件。思考現在民調真實 性，對比我們模擬假設真實民調該呈現出的東西。​得出結果:我們利用象限分析發現 民調的結果與我們假想的假設有所出入，民調可能遭造假或因選民隨時間的心態而改 變，證實現實中的民調只有參考作用。

不管現實社會中的選舉操作是否有影響，但是人民的質疑已經讓我們發現了問題，這 些複雜的問題還是交由給專業人士來回答。我們雖然不是專家，可是這攸關著我們身 為未來主人翁未來的問題，我們運用了我們所學到的數學​，加以評斷這個民調的法。 看到各種不同的説法與解讀，我們感到困惑，也想要運用自己所學得出一個答案。經 過查找相關必要的數據，計算出的結果可能與專業鑑定報告有所差距，但我們仍想讓 學過的數學公式可以得到應用，為我們解答生活中遇到的問題。

參考資料:

[1]​https://zh.wikipedia.org/wiki/2020%E5%B9%B4%E4%B8%AD%E8%8F%AF%E6 %B0%91%E5%9C%8B%E7%B8%BD%E7%B5%B1%E9%81%B8%E8%88%89%E6%B0%91%E6%84%8F%E8%AA%BF%E6%9F%A5​2020年中華民國總統選舉民意調查

[2]​http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee/104/1040928.pdf​民意調查

[3]​https://www.thenewslens.com/article/121213​民進黨初選民調五單位「抽樣分佈」結果一致，是否值得懷疑?

[4]​https://www.thenewslens.com/article/106788?fbclid=IwAR3ih__TIszuXWSVttzbQd ebMln67GUwztPTF-P_BFBxfdTt4NfRCcJi18E​怎麼樣的「棄保效應」，會讓候選人不 想公布民調?

[5]​https://zh.wikipedia.org/wiki/2016%E5%B9%B4%E4%B8%AD%E8%8F%AF%E6 %B0%91%E5%9C%8B%E7%B8%BD%E7%B5%B1%E9%81%B8%E8%88%89​201 6年中華民國總統選舉

作者 蔡丞彥、廖鉑涵、侯奕安

一、研究動機

近日《冰雪奇緣二》上映，締造全球好口碑，片中的特效更是讓人津津樂道。其中第一集的經典畫面，冰雪女王艾沙一邊悠悠哉哉的唱歌，一邊揮舞雙手，就蓋出了一座巨大的冰 城堡，她愉悅的表情讓人狐疑:為什麼看起來這麼輕鬆?於是我們就開始研究:以冰蓋出如 此大的建築物究竟要多大的能量?而艾莎本人在這種情況下又會發生什麼事?

二、背景介紹

在《冰雪奇緣》第一集中，艾莎不小心在舞會上展現了自己的超能力，也讓大家認為他 是怪物並招來士兵要將其抓捕至獄中，不得已的艾莎只能拔腿就跑。在逃跑的過程中，他來 到一座山腳下，在被士兵逼急後為發洩壓抑已久的自卑感和煩躁，艾莎一邊高聲唱出名曲〈Let It Go〉，象徵把自己的過去和煩惱都拋在腦後，一邊用魔法蓋出了一座壯麗的冰宮。

三、過程與結果

一開始，她先造出了一個雪花形的底座，如圖一:

根據官方角色設定，艾莎身高五呎四吋，約為 1.6 公尺。
我們測量班上身高 1.6 公尺的同學張腳(與肩同寬)的平均值約為 40 公分。圖中底座的半徑為艾莎張開腳的 37.5 倍，由比例運算得底面半徑約 15 公尺。

接著艾莎將底座向上抬升。而根據圖二，知道冰的厚度約為艾莎身高的 1.8 倍，故 可估計冰的厚度約 2.9 公尺。

最後，她建好了整座城堡。在圖三中，中央窗口站的(超 級小的)人即是艾莎，城堡高度為人形的 262.5 倍，可估計城 堡高度約為 420 公尺高。為方便計算，我們可以假設城堡為 一圓錐，其各處的冰層厚度都相同。其體積為整體(大圓錐 體積) 內部空心(小圓錐體積)。(如圖四)

外部半徑為 15 公尺，高度為 420 公尺;內部的半徑即外部半徑減去冰層厚度=15-2.9=2.1公尺。同理，內部的高度即外部高度減去冰層厚度(上下皆有)=420-2.9×2=414.2公尺

而城堡的體積

以π =3.14159265358979323846264338327950288419716939937510

代入計算後約等於 35456 ，又冰的密度為 0.92g/ ，城堡質量為

水的汽化熱為 540cal/g、水的熔化熱為 80cal/g，冰的比熱為 0.55cal/ °C。根據官方設定，艾莎所處之艾倫戴亞王國(Arendelle Kingdom)的藍圖是根據一挪威城邦所建立，挪威冬日的日均溫約為-3.5°C。由於在該場景已有積雪出現，假設當時空氣中水滴的溫度為0°C。將一克0°C的水降溫成-3.5°C的冰大約需要

故形成一城堡所放出的熱量:

假設這些全部的熱能皆為艾莎吸收(畢竟他是施術者)

又(假設艾莎體重 50kg，人的比熱約為0.8cal/g°C)

因此我們得知，原來艾莎為了蓋一座冰宮，會使自己上升到五億七百萬攝氏溫度! 這絕對不只是身體會變成電漿態這麼簡單。要知道，太陽的核心溫度也才 1360 萬度，艾 莎足足是它的 37 倍有餘。燃燒自己的身軀，在懸崖間建立一座座華麗的橋樑，堆起一幢 雄偉的塔樓，只為了給被逼入絕地的自己增添一點點生活的樂趣。一片潔白的雪地中， 矗立著晶瑩剔透的冰宮，一位冰冷高艷(同時也「熱情如火」)的女王居高臨下的鳥瞰整片平原和眼前冉冉升起的夕陽，如此富有詩意的場景與人物，果然是童話故事裡才有的情節。

等等我們是不是忘了什麼?

喔對，艾莎吸收的，20 億 2870 萬卡的熱量。要是你覺得這些能量不怎麼誇張的話， 我們再舉一些例子吧!

四、延伸討論與想像

上面的結論得出艾莎共吸收了焦耳的能量。現在，假如艾莎從他的好朋友精靈(圖五)那邊得到了一個魔法機器，能夠把這些能量完全吸 收並儲存，再看看他要用在什麼地方。艾莎高興極了!馬上拿起他隨身攜帶的紙筆跟普 通物理課本來發揮他的想像力。

艾莎一開始想到的就是報復把他視為怪物的艾倫戴爾王國，想把它清除的一滴不 剩。首先，一公斤的 TNT 炸藥爆炸所釋放的能量約為 460 萬焦耳。魔法機器中的能量約等於:

也就是說，艾莎吸收的能量足以媲美 20166 公噸的黃色炸藥同時爆炸所放出的能量，其爆炸威力可以將 441 萬輛汽車炸毀;同時也等於 8820 枚戰斧飛彈或半顆廣島原子彈的威 力。所以幸好艾莎的能力是製造冰雪，而不是製造軍火之類的，不然艾倫戴爾應該不會 在世界地圖上待太久。

接著艾莎轉念一想，腦中浮現了他子民純樸的模樣:在仲夏節晚會上一同跳舞的碼 頭工人、每天幫他煮三餐的親切廚子、禮拜二早晨固定經過城堡旁的送報女孩，以及他 最親愛的妹妹安娜。他覺得還是把這些能量用在更有意義的地方好了，像是發電之類的。 他動筆計算一下，那些能量可以轉換成

而台灣每戶每月平均用電量約為 303 度，則這些能量可供台灣住戶使用

差不多是 70 個世紀這麼久，環保人士一定會非常開心。

台灣在四座核能電廠運作下，每年可以產生 215.6 億度電，每分鐘可產出

在影片中艾莎只花了一分半的時間來造出該棟城堡，所以艾莎的發電量大概是等於2.5768×10⁷÷1.5÷10000=1718

1718 座核電廠同時運轉的發電量，而全球也僅有 450 間商轉核電廠而已。 目前全球總發電量有 10%來自於核能發電，所以如果艾莎能夠持續施放他的魔法，那麼 把他吸收的熱持續不斷的轉換成電力，她的發電量將占全球的1718÷450×10%=38.1%，非常逼近燃煤發電所佔的比例(39.3%)，若將「艾莎發電廠」 完全取代燃煤發電廠的話，那全世界每年的碳排量將大幅下降 100 億公噸，這代表著什 麼?代表全球碳排量的 28%!若全部換成由艾莎來發電的話，就能夠大幅抑制現今全球暖化的幅度了，環保主義者就要來膜拜偉大的艾莎了。

想到人民不愁沒電用也不用再付電費，國家經濟狀況勢必上升，艾莎欣慰的笑了。 但他的腦子又浮現了欺騙他妹妹的渣男兼惡棍漢斯王子，心中的復仇心也漸漸燃起。一 向善良的他決定幫漢斯準備世界上最舒服的三溫暖，加熱到他的能量用完為止。「好心」 的艾莎幫漢斯準備了一個10x10x3(公尺)的舒服墳墓……呃我是說浴室，裡面依照標準芬蘭浴的規格填滿了濕度 15%的空氣(圖六)，接下來就可以開始加熱了。

首先，空氣的比熱公式為 C=1.005+1.88H(單位為焦耳/克)，H 為絕對溼度。

濕度 15%的空氣比熱＝1.005+1.88×0.15=1.287J/g

(由於溫度上升空氣的飽和溼度也會上升，對比熱不會有任何影響。)

空氣密度為 1.293×10^-3g/cm3，這浴室有1000x1000x300x1.293×10^-3/cm³=387900g

假設漢斯的體重為 80kg，人的比熱約為0.8cal/g°C=3.36J/g°C ，要使浴室中的空氣及邪惡的漢斯上升一度需要3.36X80000+387900X1.287=768027J

複習一下，艾莎現在有9.2765×10¹³J 的能量。所以這舒服的三溫暖可以加熱到:

嗯，一億兩千萬度。雖然跟尊貴的艾莎女王五億七百萬度比不算什麼，但三溫暖結束後漢斯也差不多全熟了，真是大快人心啊!

五、結語

從這篇文章的運算及推理，我們歸納出了艾莎用來蓋冰宮的 的能量 可以做到什麼驚人的事情:

(一)讓艾莎上升到五億七百萬度
(二)轉化為 8840 枚戰斧飛彈好好「款待」艾倫戴爾王國

(三)供應 7087 年的電力 (四)取代全球的燃煤發電廠
(五)每年減少 100 億公噸的二氧化碳排放量 (六)讓漢斯享受舒服的一億兩千萬度的三溫暖

或許這篇文章的空想與演算並沒有實際意義，但在思考的過程中我們都充分的運用 了許多物理知識，也對最後的結果嘖嘖稱奇，同時放聲大笑。科學就是如此的有趣，過 多的理性和僵化不一定有正面的影響，而能夠為生活帶來歡笑並豐富我們一生的，才是 科普的樂趣所在。

作者 何昊宸、顏甄、林淯茹

在家喻戶曉的伊斯蘭名著《一千零一夜》中，波斯國王因懷疑王后與他人私通，每日皆從世界各地蒐羅一名女子，娶其為妾，卻又在隔日雞鳴之時將其殺害。而聰慧美麗的宰相之女—雪拉莎德（Sheherazad）在得知父親的煩憂後，主動請纓嫁入皇宮，並以源源不絕的精彩故事，在第一千零一個夜晚感動國王冰冷且殘酷的心，免除殺身之禍，活了下來。要能想出並講述如此龐大數量的故事填滿一千零一個夜晚，委實是一個相當講求恆心毅力和過人智慧的難題。

「一千零一」在文學中近乎是誇飾修辭的同義詞，此一大數引起了我們的興趣。在如此漫長的時間下誕生出的故事，一定有其迷人之處，否則何以擄獲國王夜夜不安分的心。在文學性不容質疑的情況下，我們開始猜想雪拉莎德具備何種魅力，才能使國王如此傾心。經由研究文本後的推敲，我們揣測是因為雪拉莎德具備某種說書人的特質，才能讓國王聽得如癡如醉並拋棄殺欲。說書人的靈魂——口條，必然是雪拉莎德成功的重要元素。口條包括了語調、語速和抑揚頓挫等等，因為對阿拉伯文的不熟悉，使我們從中文翻譯的角度切入，發覺其中最能以數據統計為研究方法的即為語速。

於是我們將經由文本資料，推估出雪拉莎德的敘事速度，並比較其於現實中的可能性。於是我們選擇最長及最短的兩則故事，分別求出雪拉莎德最快及最慢的語速。且已知語速=字數（個）/ 時間（min），故以下我們將從字數及時間兩方面個別分析。

書中的故事有長有短，篇幅長的可持續數夜，短則一夜數則。其獨特的「分夜體」形式（近似於中國章回小說的體制），使其計算故事長短的方式不能以「頁」數，而是以「夜」數。依據華文譯本權威李唯中教授的說法^[1]，最長的故事為〈努阿曼國王及其兒子的故事〉，長達四十五萬餘字，我們取四十五萬五千字做計算。最短的故事為〈臣子們的禮物〉，只有不到三百字，我們則取兩百五十字。

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^[1] https://www.ylib.com/hotsale/1001/info.htm

再來，根據《一千零一夜》的內容，〈努阿曼國王及其兒子的故事〉耗費一百零一個夜晚才講述完。而〈臣子們的禮物〉只有半個夜晚。那麼，一個夜晚究竟多長呢？故事發生地點位於巴格達，依照資料^[2]，我們以每月的平均夜長(如圖一所示)，求出此地的平均夜長為：

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故〈努阿曼國王及其兒子的故事〉總共歷經約11.8×101=129.8（hr）=7788（min）才講述完，而〈臣子們的禮物〉則是只用了約11.8×0.5=5.9（hr）=354（min）便說完。

依據前面的演算，我們得知雪拉莎德在敘說〈努阿曼國王及其兒子的故事〉時，語速為：

^[2]https://zh.weatherspark.com/y/103217/%E4%BC%8A%E6%8B%89%E5%85%8B%E3%80%81Baghdad%E7%9A%84%E5%85%A8%E5%B9%B4%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%A4%A9%E6%B0%94

講述〈臣子們的禮物〉時，語速為：

在《說出影響力》^[3]一書中，作者謝文憲提到：「我們說話的速度至少每分鐘要有兩百個字。如果你說話的速度低於每分鐘兩百個字，那你就說得太～慢～了，除非你是老人家，或是口語表達有障礙。」而在敘說〈努阿曼國王及其兒子的故事〉時，雪拉莎德一分鐘僅說了五十八個字，在現實裡看來有些不太合理。我們姑且推測此種現象的發生是因為雪拉莎德在這些夜晚之中，不是只有單純的述說故事，也有休息或與國王互動交流的過程。但是當我們再繼續看到另一則故事，雪拉莎德一分鐘竟說不到一個字！由此我們可以對此文本的合理性抱持懷疑的態度。對於這些悖於現實的結果，是否有其他因素隱身其後，我們也不得而知。

再來，我們將條件倒轉，若是雪拉莎德用正常的語速述說故事，如此也能填滿整整一千零一個夜晚嗎？根據前一段《說出影響力》一書所引述的文字，正常人的平均語速大約為200（字/分）。而在本次的研究中，筆者全數採用李唯中教授的翻譯本作為字數的統計依據。台灣學術書知識庫^[4]的資料顯示，李唯中教授所翻譯全十冊的阿拉伯文直譯中文之譯本，通篇約為四百多萬字，在此我們取四百萬字進行計算。在這樣的假設底下，我們又可分為兩個情況進行討論。其一，雪拉莎德整晚只說故事，排除任何與國王互動和故事之外的對話所做的停頓。但從現實層面而言，雪拉莎德不可能整晚滔滔不絕，因此其二，筆者假設200（字/分）的語速已經包含正常停頓，並額外假設雪拉莎德整晚總共有一個小時的停頓時間，而此時間可能用來如廁、飲水或進行其餘互動。我們可以得出，雪拉莎德若以200（字/分）的速度說故事讓國王欣賞，並且排除與國王的互動及中間穿差跳脫故事內容的任何對話，雪拉莎德的故事需要的夜數為：

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^[3] https://books.google.com.tw/books?id=na-zAAAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=%E8%AA%AA%E5%87%BA%E5%BD%B1%E9%9F%BF%E5%8A%9B&hl=zh-TW&sa=X&ved=0ahUKEwiYr4eX6JDnAhWay4sBHchIBmoQ6wEILDAA#v=snippet&q=%E6%88%91%E5%80%91%E8%AA%AA%E8%A9%B1%E7%9A%84%E9%80%9F%E5%BA%A6&f=false

^[4] http://tea.wordpedia.com/culture/content.aspx?category=0&book=323

第二種狀況，200（字/分）的語速已經包含正常停頓，並額外假設雪拉莎德整晚總共有一個小時的停頓時間，而此時間可能用來如廁、飲水或進行其餘互動，得出的夜數為：

三十與一千零一，主觀或客觀而言，都並非微小的差距。事實上，雪拉沙德若是能夠堅持三十個夜晚，相較於其他一夜即被殺和的女子，這樣的成績也足以使讀者信服，然而作者為何又要堅持使用一千零一這個數字呢？背後又是否有其不可退讓的因素？

《一千零一夜》又名《天方夜譚》，「天方夜譚」這四個字，在現今已然衍伸為荒誕、誇飾的言論——就如同本次研究的結果，結局固然浪漫正向，卻是趨於虛幻不實。這本在阿拉伯文化薰陶下所誕生的故事集和許多耳熟能詳的故事集類似，它們意在傳達先人的智慧及人生觀，而非逐一考究寫出來的內容是否符合現實。但並不因如此，此文本便失去其閱讀價值；無可否認的是，其文學性和每一文字勾勒出的巴格達，仍是填補了無數個人的夜晚。只是以數字那樣富邏輯性的符號切入，我們能夠領略的，是除卻生動情節外的意外發現。

作者 彭士瑋、王郁豪

研究動機：

一般人看待一件新奇事物，最先關注的莫過於是其擁有的獨特優勢，俗話說「外來的

和尚會念經」，「不常見」在人們心中彷彿變成了「天下無敵」，舉凡灰姑娘的南瓜馬車、 哆啦 A 夢的任意門、哈利波特的掃帚……等，這些神奇的事物，在我們心中，早已產生了 無限的渴望與憧憬，但事實上，它們真如我們所想那樣十全十美嗎?

藉由討論「傑克與魔豆」這個家喻戶曉的主題，讓我們深入地去了解，美好事物背後可 能隱藏的重重危機。

壹、巨人不是住在雲上?

觀看故事本身，這樣的情節真是再好不過了:傑克用老乳牛換得了神奇的魔豆，藉由豆子的藤蔓爬上高空，不但拿回了一大袋金幣、一隻會生金蛋的母雞，和一把會唱歌的金豎 琴，最後還利用砍斷藤蔓摔死了壞巨人，真是可喜可賀啊!光是用乳牛換得財富這部分投資 報酬率就已高到破表，更何況還解決了惡勢力，成為天下大眾的英雄!多麼偉大的一顆豆子 啊!

不過，這麼大的一株豆苗，真不會為生活帶來什麼麻煩嗎?

我們先暫且不討論爬豆子容易摔落、大葉子掉下會砸傷人、遇颱風地震可能整株傾倒等 意外災害發生，假設一切皆順順利利，單就故事裡提到的那些情節，又會使傑克家埋藏著什 麼樣的隱憂呢?

我們可先從豆高開始下手探討。說到豆高，故事中僅描述魔豆「長到雲端」，這固然 是個懾人心扉的情景，但若運用到證明推導上，便顯得十分不明確。為了能有個精確的結 果，我們還是趕緊來算算豆子的實際高度吧!

一、假設

1.路程
先假設傑克以不受傷為前提可跳下之最大高度為 j，巨人可跳下之最大高度為 J，路程為X，故事內為傑克先下魔豆，因此假設傑克先行之距離為 K。此時傑克需走的路程為 X-K-j， 巨人需走的路程為 X-J。

2.時間
(1)下豆莖所需的時間

下豆莖所需的時間為須走之距離除以速度，假設傑克的速度為v，巨人的速度為 V，因此傑克下豆莖所需的時間為，巨人為。

(2)砍莖所需之時間

假設砍一下之深度為l，砍的頻率為f，莖的直徑為L，因此砍莖所需之時間為(假設斧頭夠大)。

3.路程與最低高度及底角之關係

假設底角為θ(rad)，莖所需之最低高度為 h，莖對地面正射影之圓半徑為R，莖一共繞N圈，可得 h = 𝑋𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑁𝐿 ， 以 及 2𝜋𝑅𝑁 = 𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃 ， 可 推 得 𝑋 =。

4.總結方程式，可得傑克所需的時間，而巨人至著地所需之時間。為了順利摔死巨人，因此 t 必須小於 T，可推得方程式

故最大高度 H 為可發現最大高度與 R 無關

二、代入理想中之數值

1.現實中，人類在不受傷之前提下能跳下之最大高度約為 2m，我們假設傑克可跳下之最大高 度j = 2(m)。我們假設巨人之身材為傑克的 n 倍(意即體積、質量為傑克的𝑛3倍)，因為能跳 下之最大高度和關節、骨骼能承受之最大壓力有關，因此單位面積能受到的最大壓力應為定值，假設傑克某一處所受到最大的壓力為 P，根據位移=，可得此時傑克在空中停留之時間為，其中 g 為重力加速度，速度 v 為gt = 2√𝑔，此時該處受的壓力，其中 M 為某處上方之質量，m 為某處下方之質量，A 為某處之截面積。而巨人能跳之最大高度為 J，速度為𝑣 ₂，此時空中停留之時間為，此時巨人膝蓋受的壓力為(質量為𝑛³倍，截面積為𝑛²倍)，因此n𝑣₂= 𝑣 ⇒ 2𝑛²𝐽𝑔 =4𝑔，因此得 ，而理想中巨人為傑克之兩倍(n=2)，所以。

1.假設傑克先行之距離 K 為 50m，傑克速 v 為 1m/s，巨人速 V 為 0.9 m/s，砍莖一下之深度為0.05m，砍莖之頻率 f 為次/秒，莖的直徑 L 為 2m，底角 θ 為，而因為莖對地面之正射影之圓半徑不影響，所以不假設 R，可求得最大高度

根據以上計算，我們可以發現魔豆實際只長了 1 公里左右，而對流層的平均頂高(也就 是雲頂)大約是 10 公里，因此除非那天烏雲濃厚，不然魔豆是絕不可能長上雲端的。

那麼，這就表示故事的情節塑造有所錯誤，而顛覆大家童年的想像，巨人就不是住在雲 端囉!那他會住在哪裡啊?由於這實在太離奇了，難以直接利用科學證明，我們就姑且當他 住在如同天空之城般懸浮於空中的小島吧!

貳、不見天日的恐懼

我們現在來想像一下，當你家上空 1 公里處漂浮著一座巨型島嶼，上面住著巨人(可能不只一個，傑克還沒探索完全島，這說明了島嶼肯定非常巨大)，而在這樣的情況下，小島 下方是否可能會產生出大片陰影呢?又或者是說，小島會吸收或反射掉大部分的陽光，使得傑克家附近變得又冷又暗?

究竟陰影會有多大呢?

假設島東西向的長度為 x km，則陰影長度(東西向)為島長 +( 因為(太陽直徑-島長)與(陰影長度-島長)相似 )

理想中，島的東西長度為 10 km，因此陰影長度== 9.986 (𝑘𝑚)

若島和地球上之物體是以同一個角速度行進的，則該島可遮住其下方一點之平均時間(s)為(假設地球是圓的) ==21.53(s)，的地方假設地球繞著欲求之點轉(距中心點下 x，向右為正，欲使太陽照不到點，則仰角必須，右側仰角須，而因為太陽是以等角速度運行，因此時間為，又因前者未考慮太陽體積，所以應扣除非中心亦可照到欲求之點之情形，而角度為，時間為，即可推得無法被太陽光照到的時間(天)為1 −，其中 H 為島和地表的距離，且假設地表為一平面、太陽繞著所測之點轉(地球半徑在地球與太陽之距離之前微不足道)，舉例來說島的中心的正下方無法被太陽光照到的時間為天。

由上述的推論可知，小島會對傑克家附近的氣候造成極大的影響。

1991 年菲律賓皮納圖博火山噴發，造成地表均溫一年內下降了約 0.5 °C，雖然小島 的面積不至於大到能覆蓋全球，但陸地的光線吸收反射量還是遠比火山灰來得多。因 此，我們可以大膽推測，巨人的小島將會造成其下方產生一低溫區塊。

參、另一個蒙古高原?

地表上的風，是由氣壓梯度力所促成的空氣流動，風由高壓吹向低壓，而長時間的高壓反氣旋便會形成冷高壓氣候區，此處氣候乾冷，風由內向外送出。 以上說明了冷高壓區的形成及特色，那我們再回頭看看傑克家吧!前面提到巨人小島的阻擋 使得該區氣溫較低，而區域外部溫度仍保持高溫，因此在這樣的情況下，傑克家容易形成一 個小範圍的冷高壓區，該區域乾燥少雨，而由於小島本身的阻擋和向外吹出的風，將會使傑 克家的雨量更加稀少，可能趨近於 0;另外，此處也將會有如同蒙古高原般的大量風沙向外 吹出。因此綜合上述，傑克家在不久後將會形成一個「乾燥、低溫 、風沙大的寒漠」!

肆、不斷下降的地平線

除了以上所述的氣候變遷，傑克那株巨大的魔豆更會有個普遍的問題—用水過量、地層下陷!究竟魔豆長到 1 公里高後需要多少水量呢? 由於豆子最初是以極快的速度成長，而細胞分裂的速度並沒有那麼快，因此可以推測豆莖內應全都是水。因此魔豆所吸收的水量約等於豆莖體積=截面積×長度=

結論：

整體而言，地層下陷、乾燥且降雨機率幾乎是 0，傑克如果住在都市也許還有自來水能夠仰賴維生，但可憐的是，他住在鄉下，地下水與雨水是最主要的淡水資源來源。

看來傑克目前最好的選擇，大概就是種下所剩的那兩顆魔豆，全家一起搬進巨人的城堡 居住，這樣不但有豐沛的雨水可用，裏頭更有用不完的金銀珠寶可以爽爽過完餘生!不過， 還是記得多帶點衣服和毛毯吧，傑克!大氣高度每上升 1 公里就會下降 6.5 度，可不要著涼了!

作者 邱珊妮、章繼榳、莊雲安

天外奇蹟是一部老少咸宜的動畫電影，內容圍繞著一位名叫卡爾的寡居爺爺，為了信守對愛妻的承諾，將自家綁上數以萬計的氣球帶著他與艾利胼手胝足打造的房屋飛向南美洲他們年青的夢想之地前進。而在動畫中，最令人驚奇的便是五顏六色的氣球帶著卡爾爺爺的小屋在空中漫遊的經典畫面（圖一）。依照劇情的發展，氣球甚至帶著他們穿越了雷雨，不過只透過氣球，真的有辦法讓一整間小屋飛行數千公里嗎？

一、小屋在空中飛行的可能

1. 房屋的總重量

首先，我們估算卡爾爺爺木屋的總重量。卡爾爺爺的體重以美國成年男子的平均體重計為86kg，而8歲男童超重為 32.57kg，羅素的體重以33kg計。根據材質厚度的不同，氣球的重量為1~3g，我們取平均值為2g。而電影中為了讓兩萬多只氣球同時懸掛在屋頂，必須要用到長而堅韌的繩子，因此繩子的重量也很難忽略，粗略估計平均繩長約10m，則每根氣球下的繩子重量約2g。木屋的淨重約為2800kg。透過下圖二及其他室內畫面，我們分析家具有：櫥櫃56*5=280kg、冰箱55 kg、電視45kg、椅子3.9*5=19.5kg、沙發19.8*2 =39.6kg、留聲機、電風扇、零錢罐、相框等雜物20kg，總共重459.1kg。綜合上述各數據，卡爾爺爺木屋的總重約為3378.1+4x公斤，其中X為氣球數目（如表一）。

物品名	重量（kg）
卡爾	86
羅素	33
木屋淨重	2800
家具	459.1
氣球	2X
繩子	2X
總重	3378.1+4x

2.氣球的體積膨脹

當氣球往天上飛時，因為空氣壓力變小，所以體積會變大，直到氣球外面的橡皮無支撐的壓力時，氣球就會爆破。我們先計算氣球上升至雲層的體積膨脹率。雲層高度一般在1000公尺以上，且已知積雨底部(氣球漂浮高度)海拔2000公尺。

根據理想氣體方程式：Pv=nRT，其中n及R不變，假設正值夏季，地面溫度為攝氏25度（298k），濕空氣每上升100公尺下降攝氏0.6度，因此在2000公尺高空氣溫為298-2000/100*0.6=286k，得高空狀況除以平地狀況為：

氣球彈性造成的張力為F=kx，即張力正比於氣球剖面的圓周。

又圓周正比於半徑、半徑正比於圓體積的1/3次方，得：

氣球膨脹後，張力與內外壓差達成平衡（如圖三），得P－P_外=F

再除以平地狀況得：

地面約為一大氣壓(760mmHg)，上升12公尺下降一毫米汞柱(mmHg)，因此到達2000公尺高空後氣壓Ｐ_外為760-2000/12⋍593.3mmHg。根據資料，平地時氣球內壓約為1.15atm=874mmHg

將式一、式二及各項資料帶入式三得，解出P≌713.61mmHg，膨脹率為

一只氣球充滿氦氣以後直徑大約有30 cm，那麼升空後體積約為43r3=43×π×1531.18≈16681.843cm3=16.681843L。

3.氣球的浮力

         現實生活中漂浮在空中的氣球有氫氣球和氦氣球兩種，但因為氫氣可能引發爆炸，所以最常用的是氦氣球。因為氦氣密度（ρ1 = 0.1786g/L）小於空氣密度（ρ2 = 1.295g/L），氦氣的重力向下，空氣的浮力向上，結果是合力的方向向上，大小為 F=2-1Vg182.5Nt18.62gw，這裡V為氣球的體積，g為重力加速度，大約是9.8m/s²。因此一顆氦氣球可以承重（即m）約18.62g。 再減去每顆氣球下2g的繩重，每顆氣球可以承受16.62*10^-3kg，若要使整個木屋飄浮在空中，將會需要3378.1/0.01662（無條件進位）=203256顆氣球。

二、小屋穿過雷雨的可能

片中有一個橋段（圖四）：原本晴朗的天氣變得風雨交加，小屋在積雨雲中穿梭著，險象環生。而就算羅素操縱飛屋避開所有落雷，不斷下著的雨也會產生下壓力（重力及衝力）讓飛屋下沉。接下來我們將討論要再加幾顆氣球才能使小屋在雷雨中維持等高飛行。

1.系統受雨的重力（mg）

大豪雨定義為24小時累積雨量達350毫米，則一秒累積約4.05*10^－６公尺高

(一)屋頂受力：

假設雨滴停留一秒，且根據資料，屋頂受雨面積約為2800平方英尺（260.1285m²）所以屋頂上維持著：的水，受雨重力為1.05kgw=10.29Nt。

(二)氣球受力：

已知欲使房屋升空共需203256顆氣球，而一顆氣球在2000公尺高體積約為16681.843cm³，則總體積約為3.39×10⁹cm³。
將氣球視為半徑為r的半球型及半徑r，高h的圓錐體，而由圖片可大略估計h=2r。而列出

得

而知受雨之面積為r×r×π≈3421000cm²=342.1m²。氣球每秒承受的水，因此受雨重力1386gw=13.58Nt。

所以系統受總重力為屋頂受力（10.29Nt）+氣球受力（13.58Nt）=23.87Nt。

1. 系統受雨的衝力

衝力公式為Ft=P=mv，即F=(m/t)v，首先我們計算落到屋頂時雨的速度（雨的終端速度）：已知積雨雲底層約為2000公尺高，一般情況下空氣阻力F_r=kpAV²，（其中 k 為常數，ρ為空氣密度，A為物體截面積，V 為物體的速度）當考慮浮力效應時，因自身質量而在流體中下沉的物體，若其淨力為零，就會達到終端速度（沉降速度）。當達到終端速度時，物體的重量會正好等於向上的浮力與阻力之和。即：

W=F_b+D

（W為物體的重量，F_b為作用於物體上的浮力，D為作用於物體上的阻力）若下沉的物體是球狀的，則三種力的表示式如下：

（R為球體的直徑，ρ_s為球體的密度，ρ為流體的密度，g為重力加速度，C_d為阻力係數，A為球體投影面積=，V為特徵速度，即終端速度V_t。）

得

且已知雨滴直徑約6毫米、重力加速度g=9.8m/s²、球體（雨滴）密度為1g/cm³=1000kg/m³、雨滴在空氣中阻力係數約為0.05。在地表附近（1013.25 hPa）時，空氣的密度約為1.225 kg /m³，海拔每減少80米，密度就增加約1%。在海拔2000公尺的高空空氣密度為1.225/1.01^(2000/80)⋍0.955kg/m³。

由以上數據算出雨滴的終端速度為

又屋頂被氣球遮蔽，不受到衝力，則系統所受衝力(m/t)v=每秒滴在氣球上的雨量每秒氣球受到來自雨的力為

得每秒整個系統會受到向下103.113N的力。

所以加多少顆氣球才不會使小屋下降呢？ 已知一顆氣球能使16.25g的物體抵達海拔2000公尺的高空。但增加一顆氣球會使受到力的面積增大，因此列出下式（假設增加ｘ顆氣球）：

氣球受雨面積(m²每秒雨量(L/m²)（g＋終端速度）＋屋頂受雨重力

＝ｘ顆氣球造成的浮力

         帶入數字：

所以至少再加503顆氣球才能使系統不因為受雨天而下墜。

三、結論

《天外奇蹟》的主創曾說影片裡面的氣球因為藝術需求數目是「20,622」我們的數據差了十倍左右，而且在雷雨時甚至需要更多的氣球才能飛行，可見和影片一樣翱翔天際並征服雷雨是有難度的，所以我們還是讓房子待在地上，征服天空的事也別靠氣球比較好，如果你真的很想很想去天堂瀑布看看，上網買機票！

四、參考資料

[1] 沙發椅https://www.pcstore.com.tw/nicegoods/M28904543.htm

[2] 天外奇蹟的氣球問題http://www.cultuspeak.com/Article/Detail/17527[3] 維基百科終端速度https://zh.m.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%82%E7%AB%AF%E9%80%9F%E5%BA%A6