分類彙整:2020數感盃

韓信真的能靠著「韓信點兵」準確算出士兵人數嗎?|2020|國中專題報導|佳作

作者 宋辰芯

一、研究動機

小時候我曾經看過一本有關數學的書,有一章節就是韓信點兵,就是請士兵三個為一組,五個為一組,七個為一組,再將三個為一組剩餘的人數乘以 70,五個為一組剩餘的人數乘以 21,七個為一組剩餘的人數乘以 15,再將三個數字加起來,除以 105,就可以算出士兵人數。 我們舉個例子:「假如有一些士兵,三個一數餘 2 人,五個一數餘 2 人,七個一數餘 4 人,請 問士兵最少有幾人?」算式如下:

2*70+2*21+4*15=242

242/105=2 餘 32

所以我們可以知道士兵有 32 人,來驗證一下:32 除 3 餘 2,32 除 5 餘 2,32 除 7 餘 4。 果真如同算式的結果士兵有 32 人。如果不相信我們再舉一個例子:「假如有一些士兵,三個 一數剩 1 人,五人一數剩 3 人,七人一數剩 2 人,請問士兵最少有幾人?」算式如下:

1*70+3*21+2*15=163

163/105=1 餘 58

等於士兵有 58 人,同樣也要驗證看看:58 除 3 餘 1,58 除 5 餘 3,58 除 7 餘 2,所以士兵有 58 人。可是上面題目的數字都很小,但是古代的士兵都很龐大,所以我想知道韓信真的 能靠這個方法來算出有多少士兵嗎?

二、探討過程

我們可以發現這個算法很神奇,算的也非常準確,但是我們算出的數字是一個最小值,不是正確的數字,那麼該怎麼辦呢?這時就要看我們對人數知不知道一個大概的數字,如果不 知道的話只能去推測人數大概的區間,也因此人數越大這個方法越不可行。在古代一個部隊 少說也有 1000 人,多則 10 萬、50 萬,甚至 100 萬。根據以上,我將士兵人數分成四種情況: 「士兵人數位於 105 人以內」、「士兵人數大於 105 人,小於 1000 人」、「士兵人數大於 1000 人」、「有 105 位士兵一起逃跑了」。

(一)士兵人數位於 105 人以內
1-1 假如士兵有 65 人,三個一數剩 2 人,五人一數剩 0 人,七人一數剩 2 人,請問士兵有幾 人?

2*70+0*21+2*15=170
170/105=1 餘 65

從 1-1 我們可以發現當士兵小於 105 時,完全不用再做任何動作,就能知道士兵有 65 人。

 (二)士兵人數大於 105 人,小於 1000 人
2-1 假如士兵有 650 人,三個一數剩 2 人,五人一數剩 0 人,七人一數剩 6 人,請問士兵有幾 人?
2*70+0*21+6*15=230
230/105=20
20+105*6=650
2-2 假如士兵有 995 人,三個一數剩 2 人,五人一數剩 0 人,七人一數剩 1 人,請問士兵有幾 人?
2*70+0*21+1*15=155
155/105=1 餘 50
50+105*9=995

從 2-1、2-2 我們可以知道當士兵小於 105 人,小於 1000 人時,算出來的數字必須加上 很多個 105 才能知道士兵有幾人。但是如果有多加一個 105 或少加一個 105,本來是 995 但 是可能算成 890,所以士兵小於 105 人,小於 1000 人時這個方法就不太好。

(三)士兵人數大於 1000 人
3-1 假如士兵有 6500 人,三個一數剩 2 人,五人一數剩 0 人,七人一數剩 4 人,請問士兵有 幾人?
2*70+0*21+4*15=200
200/105=95
95+61*105=6500
3-2 假如士兵有 9950 人,三個一數剩 2 人,五人一數剩 0 人,七人一數剩 3 人,請問士兵有 幾人?
2*70+0*21+3*15=185
185/105=80
80+94*105=9950

從 3-1 和 3-2 我們可以發現當士兵人數大於 1000 人時,要加的 105 更多,所以這個方法 在士兵人數大於 1000 人時,可行性是很低的。

(四)有 105 位士兵一起逃跑了

4-1.假如士兵有 1294 人,三個一數餘 1,五個一數餘 4,七個一數餘 6,請問士兵有幾人?

 1*70+4*21+6*15=244

244/105=34

4-2.呈上題,如果 105 位士兵一起逃走了,那麼韓信會不會發現呢? 

1294-105=1189

士兵有 1189 人,三個一數餘 1,五個一數餘 4,七個一數餘 6,請問士兵有幾人?

 1*70+4*21+6*15=244

244/105=34

從 4-2 我們可以看出如果 105 人一起逃走,結果是一樣的(都是三個一數餘 1,五個一數餘4,七個一數餘 6),也就是說韓信無法知道有沒有人逃走。

從上述我們可以知道韓信點兵雖然準確,但是在人數多就無法知道。也就是說我們必須知道一個確切的範圍,而且就算知道,範圍必須是小於 105,否則就會出現 1 個以上的答案。 再者士兵的人數之多,韓信在點兵時必須確定每個人都有被算到,所以我覺得韓信點兵在古 代是不可行的。

三、原因

除以 3 的餘數要乘以 70,除以 5 的餘數要乘以 21,除以 7 的餘數要乘以 15,最後加起 來要除以 105。神奇的是:

70 是 5 和 7 的公倍數
21 是 3 和 7 的最小公倍數
15 是 3 和 5 的最小公倍數
105 是 3、5、7 的最小公倍數
可是只有 70 不是 5 和 7 的最小公倍數,但是我們可以斷定與公倍數有關。

四、結論 

從上述可以看出韓信點兵的方法適用於較小的數字,而且算的又快速又準確,不過如果是在算較為龐大的數字,可能會很辛苦。

這種算法是我從沒接觸的,也比較不常見,我覺得又新奇又有趣。我一直思考這種點兵 的方法真的是韓信發明的嗎?如果是的話,韓信未免也太聰明了吧!難怪能成為大將軍。

吹夢巨人的身高與速度是否符合|2020|國中專題報導|佳作

作者 廖辰星、羅少澤、鍾承翰

一、研究動機

羅德.達爾寫了一本十分有名的書—吹夢巨人,而迪士尼公司也於 2016 年,將這本膾炙人口的小說翻拍成電影。其中有一個片段,是吹夢巨人把小女孩從孤兒院帶到巨人國時,跑過一排樹。而後又有一個片段,拍出吹夢巨人在英國白宮與女王談論如何處理掉會吃人的巨人。看完這部電影後,我們對吹夢巨人實際的高度與跑步的速度是否相符感到好奇,會不會這部電影同樣一個人物前後所拍攝的高度不同?

二、研究背景

先來談談樹,根據維基百科資料3顯示,世界上最寬的樹,其底部最大直徑達 11.1 公尺,但是場景中的樹並非世界上最寬的樹,因此我們假設場景中的樹,寬度加上間距為 11.1 公尺。從吹夢巨人的影片中,有一個片段,是吹夢巨人把小女孩從孤兒院帶到巨人國時,跑過一排樹,我們數出在該場景中一共有 50 棵樹,巨人花了 3 秒鐘就跑完。其中。而後又有一個片段,拍出他在英國白宮與女王談論如何利用軍隊趕走會吃人的巨人。看完這部電影後,我們對吹

夢巨人實際的高度與跑步的速度是否相符感到好奇,會不會這部電影中,同樣一個人物於不同場景中所呈現的高度不同?

 再來談談速度,經過維基百科4查詢,得知以下關係圖表(圖 3、表 1),便可知道身高越高的人在跑 100 公尺時,所需時間較短。

圖 1 身高與跑 100 公尺所需時間對照圖
表 1 身高與跑 100 公尺所需時間對照表

最後,說明白金漢宮的高度,從影片的影像中,我們發現迪士尼公司所拍攝的位置是在英國的白金漢宮,白金漢宮的高度為 24 公尺,且一共 5 層樓高,所以一層樓為 24/5=4.8(公尺),假設此樓挑高了一公尺,一樓的高度便是 5.8 公尺。

三、解題歷程

依照「維基百科資料顯示,世界上最寬的樹,其底部最大直徑達 11.1 公尺,但是場景中 的樹並非世界上最寬的樹,因此我們假設場景中的樹,寬度加上間距為 11.1 公尺。從影片中, 我們數出在該場景中一共有 50 棵樹,而吹夢巨人花了 3 秒鐘才跑完。」這段話,可算出吹夢巨人最多跑了 11.1×50=555 公尺。

依表 1 及圖 1 的數字(身高/以跑 100M 所花時間)取平均數為 18.4,也就是說吹夢巨人的身高應為555:100=5.55:1,而吹夢巨人的身高/他跑 555M 所花的時間就是 18.4×5.55=102.12,所以吹夢巨人的身高就是102.12×5.55=566.766(公分),也就是 5.66766(公尺)。不過在影片中,吹夢巨人站在窗台前的高度約為白金漢宮的二層樓高,可見此場景時,他的高度約為 9.6 公尺, 所以我們可以推論,吹夢巨人在這部電影中於不同場景所呈現的高度(5.66766 公尺與 9.6)是不相符的,吹夢巨人變矮了!

四、結論與發現

最後我們發現,巨人的身高與跑步速率是不相符的,但還有很多細節值得我們討論,例如體重的問題,體重也會影響跑步的速度,但電影裡並沒有體重的線索,所以沒有明確的依據。還有年齡的問題,因為吹夢巨人看起來也是位上了年紀的人了,因此用不太合理,但是我們考量了,電影也沒有提到吹夢巨人的年齡,雖然看起來是個老先生,可能巨人的年齡跟人類不一樣,但是他的腿很長,所以跟年輕的選手比較其實也不為過。再度經過查詢,世界上跑步最快的老人為 100 公尺/42.2 秒(2016 年時 105 歲),大約慢了 4.41 倍,而他的身高為1.51 公尺,吹夢巨人的身高就是 1.51/42.2×185=6.62(公尺)。或許跟阻力也有一點關係,巨人的表面積是我們人類的好幾倍,風阻也會以好幾倍上漲,因為以上等等原因,數據沒有辦法百之百正確,但 3 個數據(32.4 公尺、9.6 公尺與6.62 公尺)相差太多,就算把種種可行的做法運算,也是不相符。因此,我們覺得在電影中吹夢巨人實際的高度與跑步的速度是不相符的,但巨人的相關身體構造與常人不同,也增加了許多戲劇性。

1 圖片來源出處: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%B9%E5%A4%A2%E5%B7%A8%E4%BA%BA_(2016%E5%B9%B4%E9%9B%BB%E 5%BD%B1)#/media/File:The_BFG_2016_Poster.jpg

2 圖片來源出處:https://www.youtube.com/watch?v=OCnUunk5snU

3 https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%9B%AA%E6%9B%BC%E5%B0%87%E8%BB%8D%E6%A8%B9

4 https://zh.wikipedia.org/wiki/100%E7%B1%B3%E8%B3%BD%E8%B7%91

露意絲高空墜落,超人飛到瞬間一把抱起真的是英雄救美嗎?|2020|國中專題報導|佳作

作者 劉新昱

超人系列電影中, 每每出現女主角露意絲因被迫或是不慎自摩天高樓中墜下的驚險畫面,就在眾人驚呼之際, 只見超人英雄克拉克迅速變裝後騰空飛起, 在半空中及時接住露意絲, 兩人相視而笑後緩緩上升將美麗的女主角輕輕地放回陽台, 旋即引起不論是在電影中佇立地面的群眾或是看電影入戲的觀眾們一片鼓掌叫好. 在這學期進入國中自然第五冊的學習後, 認識了“牛頓的三大運動定律”, 更在“功與能”的單元中學到了自由落體, 重力位能, 動能及功與能的轉換. 就在與這些知識搏鬥之際, 一個念頭突然劃過腦際, 動能K=1/2 mV, 自由落體的末速度V2=2gS (註: m為物體的質量,單位公斤, kg ; V為末速度, 單位公尺/秒, m / s ; g為重力加速度=9.8, 單位公尺/秒平方, m / s2 ; S為沿運動方向的位移, 單位公尺, m), 當露意絲下降十層樓高時, 超人接住她瞬間停止繼續墜落, 就好比人從十層樓高跳下直接落地, 無緩衝情況下速度幾乎瞬間為零, 所承受的力量對一般正常人類來說應該是非死即傷. 而對接住露意絲的那雙手臂, 也應該只有超人才能完好如初吧!

論證一: 假設露意絲的體重為50公斤, 下墜10公尺(約當三層樓高)時被超人瞬間接住, 她的身體究竟需要承受多大的力量?

在不計空氣阻力的情況下, 末速度V2=2gS=2 x 9.8 x 10=196, V=14 m/s,    

                        動能 K=1/2 mV2=1/2 x 50 x 196=4900 J(焦耳)

假設接住瞬間的減速時間為0.1秒, 即末速度由每秒14公尺在0.1秒內降為0

此時的減加速度(a)為 0=14 + a x 0.1, 即 a=-140 m / s2    

緩衝距離(高度)S1=Vt + 1/2at2=14 x 0.1 + 1/2 x (-140) x (0.1)2=0.7 (m)

則露意絲身體所需要承受的力(F)為 動能K=FxS1 即 4700=F x 0.7, F=6714 N(牛頓)約當將685公斤重的物體砸在身上, 雖不一定致命, 但可以肯定的是露意絲應該無法毫髮無傷地看著超人微笑。

論證二: 假設露意絲的體重為50公斤, 下墜100公尺(約當三十層樓高)時被超人瞬間接住, 此時她的身體又需要承受多大的力量?

在不計空氣阻力的情況下, 末速度V2=2gS=2 x 9.8 x 100=1960, V ≌44 m/s,    

                        動能 K=1/2 mV2 ≌1/2 x 50 x 1936 ≌48,400 J(焦耳)

假設接住瞬間的減速時間為0.1秒, 即末速度由每秒44公尺在0.1秒內降為0

此時的減加速度(a)為 0 ≌44 + a x 0.1, 即 a ≌-440 m / s2    

緩衝距離(高度)S1=Vt + 1/2at2 ≌44 x 0.1 + 1/2 x (-440) x (0.1)2 ≌2.2 (m)

則露意絲身體所需要承受的力(F)為 動能K=FxS1 即 48400 ≌F x 2.2, F ≌22000 N(牛頓)約當將2,245公斤重的物體(相當於1.5~2台車的重量)砸在身上, 對嬌弱的露意絲來說, 最大的可能應該是立即香消玉殞了。

論證三:假設露意絲的體重為50公斤, 下墜100公尺(約當三十層樓高)時, 超人在接住她之後需要多少的緩衝高度才能確保露意絲毫髮無傷地對他微笑?

經查詢相關資料得知, 一般說來, 人類對於G力的承受度在於-3G到+9G之間, 

若以最大值-3G來進行討論, 即 a=-3 x 9.80=-29.4 m / s2

減速時間t為0 ≌44 + (-29.4) x t , 則t 約當1.5秒

緩衝距離(高度)S1=Vt + 1/2at2 ≌44 x 1.5 + 1/2 x (-29.4) x (1.5)2 ≌32.925 (m)

/

若以-2G來進行討論, 即 a=-2 x 9.80=-19.6 m / s2

減速時間t為0 ≌44 + (-19.6) x t , 則t 約當2.25秒

緩衝距離(高度)S1=Vt + 1/2at2 ≌44 x 2.25 + 1/2 x (-19.6) x (2.25)2 ≌49.3875 (m)

/

若以-1.5G來進行討論, 即 a=-1.5 x 9.80=-14.7 m / s2

減速時間t為0 ≌44 + (-14.7) x t , 則t 約當2.99秒

緩衝距離(高度)S1=Vt + 1/2at2 ≌44 x 2.99 + 1/2 x (-14.7) x (2.99)2 ≌65.85 (m)

結論:

    由上數計算可推導出, 以一個G的重力來減速時, 幾乎需要對等於下墜高度的緩衝距離才能讓女主角露意絲面露微笑地看著超人脫離危機. 所以合理的劇情應該是當露意絲由六十層高的高樓上落下時, 超人必須在4.5秒(下墜100公尺所需的時間)內接住她, 並以一個G的重力來減速, 露意絲深情地跟他對望再下降100公尺後安全落地. 然而實際上空氣是會有阻力的, 跟下墜時的姿勢(受阻面積)與不同溫濕度, 不同距地面高度下空氣的摩擦係數都會有關, 國中自然科尚未觸及此部分的計算, 需要在往後更深入的學習中再做探討。

蟻人─縮小的極限|2020|國中專題報導|佳作

作者 劉慶軒、涂文愷

余憶童稚時,不能張目對日,也不能明察秋毫,但我們能看《哆啦 A 夢》卡通。卡通裡 的哆啦 A 夢有個縮小隧道,穿過個前高後窄的隧道後,人就變小了;國中國文課兒時記趣, 作者透過巨視便神遊於花臺小草叢雜處。縮小,或許可以說是人的夢想之一吧!

不久前熱愛數理的我們,在一部《蟻人》的電影中,發現了有趣的橋段:「什麼!蟻人不停 縮小,縮小到原子的大小,並且還能放大還原身軀」,我們不禁產生好奇與討論的興趣:「如 果在符合物理的情況下,人真的可以縮小到這種程度嗎?」

首先,分析電影經典畫面,蟻人因為裝備失靈,所以不停縮小進入物體,在縮小的過程依 序進入了物質、分子和分子的原子內,其中電影畫面出現了原子的畫面,電影畫面也呈現出 原子的樣貌。

原子是由原子核和核外電子構成的,而原子核是由帶正電的質子及不帶電的中子所組成, 故原子核整體帶正電,其體積極小,位置在原子的中心部分,其中帶負電的電子受原子核正 電的吸引,環繞著原子核作快速地運動,因電子在原子核內的一定範圍中運轉,其軌跡散布 如「殼」,亦即電子殼層。電子殼層由第一層向外依序增加,可分為七層,每層又有不同的結 構,如下:

由上表可以知道目前已知位於元素週期表第一周期的氫原子,只有一層電子殼層,原子半 徑比其他周期的任何原子都小。原子半徑在同一族內從上到下遞増,在同一元素周期內從左 到右遞減,造成這種現在的部分原因是電子的分布不是完全自由的,原子內部的電子按照電 子層排列,每個電子層只能容納固定數量的電子,元素周期表的每個一新的周期和一個新的 電子層對應,離原子核也越來越遠。

所以,只有一層電子殼層的氫原子是原子半徑最小的原子,其結構也是最簡單的,氫原子 是由一個做為原子核的質子和一個以圓周軌道繞行原子核的電子所組成的結構(如上圖),而人 類身上也帶有氫原子,蟻人在縮小的過程中,勢必身上的原子也會隨之有所變化,所以我們 便以原子半徑最小的氫原子作為本次討論的對象。

根據庫倫定律,任意兩帶電體間存在一種作用力,作用力的方向在它們的連線上,同號電 荷相斥,異號電荷相吸。其中,兩帶電體間電力 F 的大小,和兩物體的電荷q、q’的乘積成正比,和兩點電荷間距離r的平方成反比,即 ,ke是個常數,其值約為

當帶負電的電子以帶正電的原子核為圓心做等速率圓周運動,因為受到向心力與自身慣性 影響,使得電子的運動軌跡能維持在一個圓形的軌道。這就猶如我們拉著水桶,給它一定的 向心力,讓它快速旋轉,此時它會在穩定的圓周軌道上運動,一旦我們放手,它會因此失去 向心力,水桶會因自身慣性作用,而直直的飛出去。氫原子中帶負電的電子就像上述的水桶, 拉住它的就是帶正電的原子核,原子核和電子間的那隻「手」就是他們之間的電力 F。

目前已知等速率圓周運動之向心力。假設氫原子的電子質量為𝑚𝑒 ,原子核和電子間的軌道半徑為𝑟,電子運動速率為𝑣,由此(2)式得知氫原子的電子等速繞行原子核的向心力大小為;再者(1)質子與電子間的電力為(𝑘𝑒是庫侖常數,𝑒是基本電荷,質子與電子的帶電量皆為一個基本電荷)。

因此由上一段水桶的比喻可以得知此向心力來源即為質子與電子間的電力,所以,經整理得:,又為了使質子與電子間距離 r 值為最小,因此要讓分母變大,所以我們代入速率的極限──光速𝑐,光速在真空中精確值為299792458 m/s,約為每秒3億公尺,代入上式得:,而這算式的結果就是氫原子的縮小極限。

所以將各常數代入上式,

因為氫原子的半徑約為50pm,經由我們以上式計算得知氫原子的縮小極限約為20000倍

假設電影中蟻人是以等比例縮放,則蟻人的縮放極限也和他身上的氫原子一樣,約為20000 倍,雖然蟻人身上的其他原子或許還能繼續縮小,倘若蟻人繼續縮小,身上的氫原子將無法 承受這麼大的縮小倍數,所以蟻人不可能縮到跟原子一樣小,甚至是縮到比原子還小,也就 是電影中蟻人不停縮小進入原子內的情況是不符核物理計算結果的。

以上是我們對電影《蟻人》縮小的古典物理分析,由結果可以知道以現代科技是無法實 現,但我們期待有朝一日,新的量子理論可以推翻我們的分析,實現人類縮小的願望,甚至 像電影《縮小人生》一樣,人類因為縮小所以製造出的垃圾量變小、變少,甚至是原本因生 活所需產生的碳排放也隨之減少,進而縮小這件事不但能使人們受益,也使地球資源得以有 機會永續發展。

參考資料:

1.高三物理 6-2 庫侖定律課本.pdf

http://moodle.fg.tp.edu.tw/~tfgcoocs/blog/wp-content/uploads/2015/12/%E9%AB%98%E4%B8%89%E7page3image20458368%89%A9%E7%90%866-2%E5%BA%AB%E4%BE%96%E5%AE%9A%E5%BE%8B%E8%AA%B2% E6%9C%AC.pdf


2. 原子軌域
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%AD%90%E8%BD%A8%E9%81%93

3. 圓周運動有「向心力」和「離心力」,它們分別是什麼? https://ngsir.netfirms.com/Q/ME/MQ9.pdf


4. 光速
https://kknews.cc/zh-tw/science/gre2pyy.html

真的有可能人山人海嗎?|2020|國中專題報導|佳作

作者 姚玓璜、謝佾熙、黃靖凱

一、研究動機

《初刻拍案驚奇.卷六》:「二月十九日觀音菩薩生辰,街上迎會,看的人,人山人海」,而人山人海後用來比喻人聚集的非常多。相信每個人都曾經去看過一場刺激的球賽;一場美 妙的音樂會;甚至是一場熱情的造勢活動。不管是看到照片也好,或是自己蒞臨現場,都會 忍不住驚嘆:「哇!真的是人山人海呀!」。但是因為每場活動舉辦的地點不盡相同,如果把情境 轉換為不同的可能,總人數是否真的能叠得跟山一樣高,跟海一樣深呢?

二、研究背景

先來說說山和海吧!台灣對山的定義就是海拔高度大於 1,000 公尺且坡度陡峭的地形。但世界上對海並沒有一項具體的解釋,但是可以得知全世界海洋的平均深度為 3,682 公尺;因 此,海的面積會以苗栗、臺中海域(通霄至大安)的海域為基準,約 206 平方公里。再來談談人數聚集的部分,我透過 Google 查詢,世界上參與人數最多的節日是印度的大 壺節,人數將近 7,000 萬。世界上參與人數最多的演唱會是舉辦在里約熱內盧的科帕卡瓦納 海灘的跨年演唱會,人數將近 350 萬人。最大的反戰抗議 2003 年 2 月 15 日至 16 日,全國 約有 1,000 萬人參加了伊拉克戰爭的協調抗議活動,這被認為是羅馬歷史上最大規模的反戰 集會。最大的集體罷工 2016 年 9 月,印度的 1.8 億來自各個崗位的工人參加了這次罷工,他 們聚集在一起抗議總理莫迪推動私有化和其他右翼經濟政策。根據「中華職棒 30 年最多觀眾 人數排行榜前二十名」的資料顯示,舉辦在洲際棒球場彭政閔引退賽人數可達 20,223 人。而 討論人山人海,最重要的就是人、山、海的體積,如下所述:

(一)成年人體積
設一個成年人的身高是 1.7m,體重是 60 公斤,肩膀寬約 0.52m,身體約 0.2m 厚 , 站立所需的最小空間為 1.7*0.52*0.2=0.1768m3

(二)山的體積

設一座山為一個圓錐,底圓的半徑為 1500m,垂直高度為 1000m。透過圓錐體積計算公 式,可以得到山的體積為 1/3*3.14*1500*2*1000=3,140,000m3

(三)海的體積

設一塊海域為立方體,206公里=206000公尺 206000*3682=758492000m3

因此,接下來我們會從這幾個例子來討論人山人海的完成度,並搭配上面所討論的人、 山、海的體積,來探討人山人海的可能性。

三、探究過程

透過上面的不同數據來解釋不同情境的情況是否可以達成「人山人海」。

(一)彭政閔引退賽
總人數體積:20,223*0.1768=3,575

1.如堆成山:3,140,000-3575=3,136,425 還會剩下 3,136,425m3

還需堆 17,739,960 個人才可堆成

2.如堆成海: 758,492,000-3,575= 758,488,425 還會剩下 758,488,425m3

還需堆 4,290,092,901 個人才可堆成

(二)科帕卡瓦納海灘的跨年演唱會

總人數的體積:350 萬*0.1768=6,188

1.如堆成山:3,140,000-6,188=3,133,812 還會剩下 3,133,812m3

還須堆 17,725,180 個人才可堆成

2.如堆成海:758,492,000-6,188= 758485812  還會剩下 758,485,812 m3

還需堆 4,290,078,122 個人才可堆成

(三)伊拉克戰爭的協調抗議活動

總人數的體積:1,000 萬*0.1768=1,768,000

1.如堆成山:3,140,000-1,768,000=1,372,000  還會剩下 1,372,000 m3

還需堆 7,760,180 個人才可堆成

2.如堆成海:758,492,000-1,768,000= 756,724,000  還會剩下 746,116,000 m3

還需堆 4,280,113,122 個人才可堆成

(四)印度大壺節

總人數的體積:7,000 萬*0.1768=12,376,000

1.如堆成山:3,140,000-12,376,000=-9,236,000

可以堆成 

2.如堆成海:758,492,000-12,376,000= 746,116,000

還需堆 4,220,113,122 個人才可堆成

(五)印度最大集體罷工

總人數體積;1.8 億*0.1768=31,824,000

1.如堆成山:3,140,000-31,824,000=-28,684,000

可以堆成

 2.如堆成海:758,492,000-31,824,000=726,668,000

還需堆 4,110,113,122 個人才可堆成

四、結論

將上面的各種情境整理成下表:

我們利用計算體積的方式求出了人,山和海,再找幾個例子來計算人山人海的完成度。最後得到的結果為:如果以我們一般看的演唱會或球賽,人數大約只有 20~30 萬人左右,根本沒辦法堆成一座山或海,若真的要堆成一座山或海,起碼要上億人以上,顯然這是一件非常困難的事,事實證明,人山人海是一個跨飾法的成語。

這也在你的計劃中嗎?JOJO! ——論火山爆發的能量|2020|高中組專題報導|佳作

作者 黃俊程、黃亮嘉/彰化高中 

壹、前言

一、故事簡介

(一) 漫畫簡介
JOJO的奇妙冒險是漫畫家荒木飛呂彥於1987年開始連載的故事,連載至今已有八個章節,每一章節均為獨立的故事。這部作品各個篇章的主角都被稱作JOJO,且相互為血緣所連結。漫畫所要傳達的,即是這由血脈代代相傳,高貴的「黃金精神」。

(二) 故事內容
JOJO第二章節的故事敘述主角喬瑟夫‧喬斯達為了打敗想支配地球上一切事物的遠古生物「柱之男」,修練「波紋」呼吸法,透過波紋呼吸與陽光頻率相似的特性,藉此與弱點為陽光的「柱之男」戰鬥的故事。後來柱之男的首領卡茲轉化成究極生命體,凌駕於世界萬物之上,再也不懼陽光與波紋,並且能夠施展出比喬瑟夫強大數百倍的波紋能量。在此種難以抗衡且強大的勢力面前,喬瑟夫利用他的智慧,以及一個名為「恩嘉紅寶石」的能量增幅器,觸發火山爆發,將卡茲推出地球,放逐到宇宙,拯救地球免於遭到卡茲的支配,而卡茲也在因為脫離地球引力範圍,又沒有任何作用力得以返回地球,亦求死不能的情況下放棄了思考。

二、研究動機

作者在畫這段故事時引用了Walter Cronkite在”Exploring Our Living Planet”一書中所寫的序文”Compared to the huge energy emitted by the earth, humans are nothing but insignificant beings. They couldn’t in any way produce an atomic bomb rivalling with the colossal explosion of Mount St. Helens…”這讓我們好奇:現實世界的情況會不會發生和漫畫結局相似的現象?對此我們展開深入研究與探討。

三、研究目的

(一)火山爆發蘊含的能量有多大
(二)將卡茲送往外太空需要多少能量
(三)火山在爆發時向上的能量是否足以將卡茲推出地球

貳、正文

一、探討方式

首先須得出一座火山爆發的能量,再探討將卡茲推出地球所需的能量,以達到研究目的。

二、火山能量

(一)火山內部能量
根據原作裡的地圖,得知將卡茲送上宇宙的火山是位於義大利外海的武爾卡諾島(Vulcano),由資料可以發現,武爾卡諾紀錄中的火山爆發指數(VEI)最高為4,由爆發指數VEI與火山噴發能量E(erg)的關係式

(二)火山提供的向上動能
原作中,卡茲除了火山最一開始噴發的衝擊外,在半空中還被向上噴發的火山彈給擊中並飛得更高。首先先計算出擊中卡茲的火山彈的體積,由原作畫面發現火山彈的直徑接近卡茲頭部的一半,我們假設卡茲的頭身比例符合達文西的黃金比例,由卡茲身高195公分可以計算出火山彈直徑接近,我們假定火山彈直徑為,並假定火山彈為正球體,計算出火山彈的體積為

由熔岩密度3.1 g/cm3,可計算出火山彈質量為,由資料得知武爾卡諾型火山所噴發的火山彈的速度為200~400 m/s,取中間值300 m/s,接著便能計算出火山彈的動能為

三、飛出地球所需動能

卡茲要被放逐出地球永遠不能回來,代表卡茲離開地球的速度須達到宇宙第二運動速度11.2 km/s。

(一)卡茲質量
雖然官方只有顯示卡茲的身高而沒有體重,但是在資料本中有卡茲的同伴——瓦姆烏的身高體重,由於卡茲與瓦姆烏的體格十分相似,我們假設卡茲與瓦姆烏的身高體重指數(BMI值)相同,由卡茲的身高1.95公尺,瓦姆烏的身高1.97公尺、體重115公斤重代入身高體重指數公式,得出卡茲的體重約為112.67公斤重,即質量為112.67公斤。

(二)計算動能
得到卡茲的速度與質量後,將其帶入動能公式: 。約等於7.06X109(J)
由前述計算,我們可以明確得知:正常情形下,武爾卡諾火山噴發無法將卡茲送上宇宙。

四、漫畫與現實的火山能量

(一)在漫畫中
假設每次噴發火山的總能量與給予物體的能量比值相同,由前文得到的火山總能量1.78X1017(J),與火山給與物體的能量888750(J)可以算出,要讓卡茲上太空的火山總能量強度為:

(二)在現實中
雖然真實世界的火山無法把卡茲拋出地球,但如果真的有一個火山可以辦到這件事,將會發生甚麼? 把將卡茲拋飛的能量強度再代回爆發指數VEI與火山噴發能量E(erg)的關係式:

這是一個驚人的結果,因為VEI值為9的爆發在已知的紀錄中從未有過,這類火山會噴發超過10000km3的噴發物,接近於世上蓄水量最大的湖泊——貝加爾湖一半水體的體積。如此巨大的噴發量,也具體呈現出這場火山爆發的破壞力,甚至可能讓地球進入冰河期。所以在現實世界中若喬瑟夫用火山擊敗卡茲,雖然卡茲沒有征服世界,但地球仍會遭遇大災難。

五、小結

綜上所述,現實世界的火山無法辦到和漫畫當中一樣的事,就算可以,還是會對地球上的生物造成巨大傷害。

參、延伸思考

現實世界無法實現漫畫中的情節,而漫畫中還有恩嘉紅寶石這樣虛構的能量增幅器,那麼紅寶石的能量增幅倍數是多少呢?應用到現實世界又如何?

一、增幅倍數

漫畫中喬瑟夫讓卡茲用波紋能量注入紅寶石,使能量增幅,而卡茲的波紋能量在漫畫中可以瞬間讓喬瑟夫的膝蓋汽化,從這裡可以藉由計算喬瑟夫的膝蓋質量及使人體汽化所需溫度等數據,代入公式,求出卡茲的波紋能量。

(一)質量計算

(二)能量計算

二、應用到現實

恩嘉紅寶石能夠把能量增幅到如此龐大,如果運用在現實世界的發電能有多大的效果?

(一)全年發電

(二)應用在臺灣

三、小結

因此,紅寶石如果存在於現實,那便是一個可以改變世界的材料。

肆、總結

一、現實世界的火山能量為1.78 X 1017(J)。

二、飛離地球所需能量為7.06 X 109(J),所以無法將卡茲驅逐出地球。

三、即使現實中的火山將卡茲驅逐出地球,也會帶來重大災難。

四、恩嘉紅寶石能將能量增幅倍5.6 X 1015倍,足以改變世界。

伍、結語

德國著名哲學家黑格爾曾說:「當人類歡呼對自然的勝利之時,也就是自然對人類懲罰的開始。」縱觀整部作品卡茲的行徑,他所做的一切都是為了克服「柱之男」唯一的弱點太陽,在成為究極生物前,卡茲可以說是敬畏著大自然的。因為人類在卡茲眼中和其他生物同等,他能夠為了救一隻流浪狗而殺死兩個酒駕者,而在卡茲墜崖時,他為了不踐踏到谷底的小花而連撞數次崖壁。當卡茲成為究極生物時,他自認為他戰勝了大自然,開始肆意玩弄生命,結果就被大自然——地球——給放逐到宇宙。從卡茲的經歷,或許荒木老師便是想警示人們:在人類發展如此先進下,面對大自然仍不可遺忘尊敬的心。

資料來源

  • 火山大爆發Google Books
  • Journal of Volcanology and Geothermal Research 176 (2008) 277–290

名偵探柯南:漆黑的追跡者-子彈與身體極限的較量|2020|高中組專題報導|佳作

作者 盧冠蓁、魏鄀畇/台北市立大同高級中學

壹●前言

1、研究動機
在我們的認知裡,人類的反應速度無法躲過子彈根本就是常識,但在《名偵探柯南-漆黑的追跡者》中,小蘭卻非常有信心地躲過愛爾蘭手槍所發射的子彈,極快的反應速度以及強大的爆發力讓我們嘆為觀止,因此我們想用實際的數據探討,小蘭可以躲過子彈究竟符不符合常理?而現實中又需要在什麼樣的情況下,人類才能躲過子彈?

2、研究目的
(1) 研究電影中的小蘭躲過子彈是否符合常理
(2) 在現實中,人究竟有沒有辦法躲過子彈

貳●正文
一、
在《名偵探柯南-漆黑的追跡者》中,黑暗組織的成員—愛爾蘭為了拿回臥底名單,欲殺柯南滅口,小蘭為了保護柯南,擋在柯南面前,並憑藉著她對手槍的了解,成功躲過子彈。那一刻我們被那一幕震撼到了,從此那一幕便刻在腦海裡。如今我們便想藉由這個比賽來思考一下這個問題。

在電影中,新一曾經和小蘭提過步槍的速度為 1000m/s,而手槍的速度約是步槍速度的三分之一,也就是 350m/s。除此之外,並無其他資訊,因此我們在計算有關小蘭的數據時,槍速以 350m/s 為準,此外,在計算距離時,我們打算以現實中的數據進行計算。由於這部電影是在 2009 年時上映的,因此我們在網路上查到東京鐵塔的窗戶寬在 2017 年以前為 74 公分(東京鐵塔在近年曾重新整修),而在動畫中,小蘭與愛爾蘭的距離約為 2 扇窗戶,如下圖所示:

我們推算出兩人的距離大約是 74╳2=148 公分,也就是 1.48 公尺。
根據上述資料,我們推論的過程如下:
假設小蘭的臉寬為女性平均臉寬 13.6cm

依照圖片比例可推算出小蘭移動的距離約為 16.4cm,在不計算人體反應時間的條件下,
我們可以從兩步驟推論出小蘭的移動速度。
首先,我們可以算出
1.子彈到達小蘭所在位置所需的時間為:
1.48(m)/350(m/s)≒0.0042(s)

2.再利用小蘭在電影中移動的距離以及我們所計算出的時間得出速度:
16.4(cm)/0.0042(s)≒39.04761(m/s)

3.若我們將秒速轉換成時速可得出:
39.04761(m/s)=140.571396(km/hr)

那 140.571396(Km/hr)究竟是多快呢?由於光是看著數字很難讓我們體會,於是我們將這個結果和一般交通工具比較:

根據維基百科提供的資料,台北捷運最高時速為 80km/hr。由此可知,小蘭的移動速度為捷運的 1.75 倍,因此小蘭躲過子彈是不合理的。

得出這個結果後,我們又好奇,大家常說,藝術的靈感來自於生活,那麼在現實生活中,人究竟有沒有可能躲過子彈呢?於是,我們設想了一個情境,來探討此問題。在日常生活中最有機會面對這個情況的便是警察與歹徒了,我們便以台灣警察普遍持有的手槍速度來做計算。根據內政部警政署警察機械修理廠的資料,在 2015 年更換型號後,台灣警察的手槍型號是 9mm 手槍 S&W 5904,子彈速度為 344 公尺/秒

在此情境中,我們將控制變因設定如下:
先假設在躲過子彈時,人類都是以水平方向(最短距離)移動,因此設定歹徒的移動距離皆是以臉寬除以二來計算

(一)我們先以兩人的距離作為操作變因:
以距離 1.48 公尺、男性為例:
首先,我們先將男性平均臉寬單位換算成公尺
14.5(cm)/100(cm)=0.145(m)
男性的平均臉寬除以二=他需要躲過的距離
0.145(m)/2=0.0725(m)
再將距離除以子彈速度,得出子彈到達男生所在所需時間
1.48(m)/344(m/s)=0.0043(s)
在這段時間男生需要躲過 0.0725(m),所以他的移動速率為
0.0725(m)/0.0043(s)=16.8605(m/s)
換算成時速,即為
16.8605(m/s)=60.6978(km/h)
此處因為我們在計算時,多次將數值四捨五入,擔心計算數值將會不精確,所以我們將推導出的公式,使用 EXCEL 來進行運算
=((7.25/100)/(距離/344))*3.6

以此類推,我們得出了以下結果並整理成表格

就此表格的結果來看,男/女在距離手槍 1.08 公尺時閃躲的速度都很接近捷運最快時速,而即使在距離 2.48 公尺時,移動速度也接近一般道路的限速。

(二)接著,我們再以兩人的臉寬作為操作變因:
以男 14.5 公分 女 13.6 公分(台灣男女的平均臉寬) 為基準值
並固定距離為 1.48 公尺
將上面的公式,可更改的變因變成臉寬,而距離固定成 1.48 公尺

得出了這些數據之後,我們不禁心想,這樣的速度究竟是人類可做到的嗎?因此我們想將我們目前可知的人類最快可移動的速度,與上表進行比較,看看上面表格中計算出的速度有沒有可能發生。我們以奧運 100 公尺短跑紀錄保持人(男)為例,他只花了 9 秒 58 完成比賽,我們試著計算他的速度:
以距離(100 公尺)/時間(9.58 秒)得出他移動的秒速再換算成時速
100(m)/9.58(s)=10.4384(m/s)=37.5784(km/hr)

再對照到我們上面所計算出的實驗結果,我們發現,若以男女皆為平均臉寬來計算,只要女性站在 2.28 公尺處,男性站在 2.48 公尺處,就有辦法躲過子彈,其實距離沒有很長,就如下圖所示(圖中我們實際以捲尺拉出了 2.48 公尺的距離,僅不到教室內的兩根柱子間的距離)。但是這根本不合理啊!

於是我們回頭檢視自己的各項變因,發現我們沒有將人類的反應速率列入考量!
我們根據台東師範學院所做的研究,發現人類最快的反應速率需要 0.1 秒,這樣一來我們前面所做的距離通通不合格,因為人類根本就還沒有反應過來就被子彈擊中了。所以我們決定先算出在人類的反應時間,也就是 0.1 秒內,子彈可以飛行的距離為344(m/s)╳0.1(s)=34.4m 。因此,我們重新思考了該如何假設變因,最後我們決定將原本設定的 1.48 公尺加上 34.4 公尺,也就是 35.88 公尺作為基準來計算。於是,我們的公式就會變成

算出以上數據後,我們發現這個數據與一開始用 1.48m 和未算反應時間所得出來的數據一致。這是因為我們在計算時,雖然把子彈的飛行時間增加了 0.1 秒,但距離也拉長了34.4m,這樣剛好可以相互抵消,所以當人可以反應時,子彈與人的距離就會和之前的設定一致,人可以反應的時間也會一致,速度當然也就不會改變囉!

最後,我們再以兩人的臉寬作為操作變因:
以男 14.5 公分 女 13.6 公分(台灣男女的平均臉寬) 為基準值
並將固定距離改成 35.88 公尺
將上面的公式,可更改的變因變成臉寬,而距離固定在 35.88 公尺

此表格也與之前計算臉寬時移動速度的表格數據相同。因為雖然距離增加了 34.4m,時間應該會增加 0.1 米,但又因為人需要反應時間而將 0.1 秒扣掉,所以數據不會有所改變。

算出所有數據後,我們再將這些數據與人類的最快移動速度 37.5784(km/hr)做比較,得出下列結論:
女生在距離開槍者 36.68m 時有辦法躲過子彈
男生在距離開槍者 36.88m 時有辦法躲過子彈
無論臉寬大小為何,在距離開槍者 35.88m 時無法躲過子彈

參●結論
在比較了不同變因的結果後,雖然我們找出了在距離為 36.88 公尺時,以人類最快移動速度是有辦法躲過的,但並不是每個人的反應都那麼快啊!而且難道我們真的有辦法在第一時間看到距離我們接近 37 公尺外的小小子彈被發射出來嗎?只能說,動畫裡的情境與現實還是有差異的。

肆●引註資料
六都搶先換「新槍」 三立直擊試槍射擊|三立新聞台
https://www.google.com/url?a=t&source=web&rct=j&url=%23&ved=2ahUKEwjlq52Mhu7mAhV0KqY
KHXYGDKwQwqsBMAB6BAgKEAQ&usg=AOvVaw0VTJzWxrN8ZFOD4xbU2nov&cshid=15782820
86200

反應時間的概念及其在認知歷程研究上的應用(台東師範學院)
http://www1.nttu.edu.tw/hepe/sfm/learning/Lpaper/lp02.ht
東京鐵塔史上最大規模整修完工 視野開闊瞭望美景更輕鬆
https://www.msn.com/zh-tw/news/world/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E9%90%B5%E5%A1%94%E5%8F%B2%E4%B8%8A%E6%9C%80%E5%A4%A7%E8%A6%8F%E6%A8%A1%E6%95%B4%E4%BF%AE%E5%AE%8C%E5%B7%A5-%E8%A6%96%E9%87%8E%E9%96%8B%E9%97%8A%E7%9E%AD%E6%9C%9B%E7%BE%8E%E6%99%AF%E6%9B%B4%E8%BC%95%E9%AC%86/ar-AAI2 CFe
臺北捷運- 维基百科,自由的百科全書
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%87%BA%E5%8C%97%E6%8D%B7%E9%81%8B
警械管理科服務 – 內政部警政署警察機械修理廠
http://www.pa.gov.tw/mode02.asp?m=20150713103947334&t=list
從國字臉到瓜子臉 – 長庚醫療財團法人長庚醫院顱顏中心
https://www1.cgmh.org.tw/intr/intr2/c32540/mission_facial_5.html

超電磁砲真的能行嗎|2020|高中組專題報導|佳作

作者 劉益銘/臺北市立永春高級中學

引註資料:
1.大紀元。2019 年 2 月 17 日,取自
http://www.epochtimes.com.tw/n274067/%E4%B8%AD%E5%85%B1%E6%8E%A8%E7%A3%8
1%E8%BB%8C%E7%82%AE-%E7%BE%8E%E5%B0%88%E5%AE%B6-%E6%AF%AB%E7%84%A1%E5%AF%A6%E6%88%B0%E7%94%A8%E8%99%95.html
2. 巴哈姆特。2011 年 1 月 1 日,取自
https://home.gamer.com.tw/creationDetail.php?sn=1199686
3.黃鼎翔。2011 年 11 月,取自
https://www.shs.edu.tw/works/essay/2011/11/2011110217484365.pdf
4.鐮池和馬(2006)。魔法禁書目錄 8。台北市。台灣國際角川書店股份有限公司。
5. 鐮池和馬(2009)。科學超電磁砲 1。台北市。台灣國際角川書店股份有限公司。

張飛喝斷橋,真假知多少|2020|高中組專題報導|佳作

作者 吳晨寧、高詩涵、游安立/中山女高

有詩讚翼德曰:
長坂橋邊怒氣騰,一聲虎嘯退曹兵。
今朝江上扶危主,青史應傳萬載名。 ——三國演義

許多人皆曾醉心於三國演義之中栩栩如生的畫面,亦敵亦友、鬥智鬥勇的三國鼎立與其中生動的人物刻劃無不令人刻骨銘心。其中劉備的結拜兄弟——張飛可說是個性鮮明,雖然許多人對他的評價是「暴而無恩」,卻也必須承認他「義釋嚴顏,並有國士之風」。其中最為人傳頌的一個故事便是他在長板坡之戰中為劉備斷後,在當陽橋前大喝:「身是張翼德也,可來共決死!」令曹軍前線一員大將肝膽俱裂,更有說法說他「喝斷」了當陽橋。至此,我們不禁出現了一個疑問,究竟要喊得多大聲,才能讓一座橋應聲斷裂呢?

為了解答這個疑惑,我們將這個問題分為兩個部分:測量及估算當陽橋的長度、寬度與
材質及計算多少分貝能夠使當陽橋斷裂。

在第一個部分,我們利用電視劇《新三國》中張飛在當陽橋前與曹操對峙的畫面。我們查詢了關於張飛所騎的馬的品種,並嘗試利用該品種馬匹的實際尺寸來估算電視劇中當陽橋的長度。在得知橋的寬度後,我們利用圖片中比例求出橋的寬度。因為當陽橋的現址已經是一個小城市,與當時必定有極大的落差,所以我們利用電視劇中當陽橋的樣子進行假設。

由上圖一可知,電視劇《新三國》中,若假設張飛身處的當陽橋橋邊木柵與木柵間的距離為一單位,則橋體為二十單位。當時張飛的坐騎為「烏雲踏雪」,也就是烏騅馬,與現今的「河曲馬」品種非常接近,因此我們運用河曲馬找出圖片與實際長度的比例(見二)。將馬的身長當成在圖中當陽橋上的一單位,因此橋長度約為20 ×137cm = 2740cm = 27m ,又可以得出橋的寬度與馬的肩高比例約為 1.5:137 = 5: X ,1.5X = 137 × 5 ,X ≈ 456.7cm = 457cm = 4.57m,並利用以上數據得出橋面積為 27m× 4.57m = 122.39m2 = 1233900cm2

在材質方面,由於東漢三國時期建築材料大多已經不可考,僅提及皆為木製建築。因此,我們找了一些古代常用於建築的木材及其功能,發現杉木常被用於木橋的製作,同時當陽橋現址湖北省當陽市中的玉泉山國家公園中有許多杉木,其中更以台灣杉這個品種為主。因此我們認為當陽橋的主要材質應為台灣杉。雖然在建築過程中,卡榫的部分可能會採用其他更為堅固的木材,但我們在此僅假設這座橋通體皆由台灣杉製成。

接下來便是第二部分,在開始計算多少分貝才能震碎當陽橋前,我們先查詢了一些相關的資料。從橋本身說起,它所能抵抗來自同一軸線壓力的能力稱為「抗壓強度」,當壓力超越該物品的抗壓強度時,會出現諸如碎裂、斷掉等不可逆的形變,還有,施力方向也會影響物品的抗壓強度,以木材為例,施力方向平行於木紋或垂直於木紋抗壓強度不同。下表即為我們整理出常見軟木類木材的抗壓強度:

若張飛站在橋上大喝使橋樑斷裂,則可以假定因聲音產生的壓力與橋面垂直,但我們無法考證當陽橋橋面與其建材台灣杉的木紋是平行還是垂直。因此我們分別運用平行木紋的抗壓強度數值及垂直木紋的抗壓強度數值,計算出每平方公分的木頭需要多少帕斯卡的力才能將其壓斷。已知抗壓強度與壓力的換算公式為 1kgf/cm2(公斤力每平方公分) = 98.1 kpa(千帕斯卡),若橋面與木紋平行,則可算出當陽橋所受壓力約為:
235kgf / cm2 ×1233900cm2 × 98.1= 28445713650kpa

而當橋面與木紋垂直,當陽橋所受的壓力約為:
40kgf / cm2 ×1233900cm2 × 98.1= 4841823600kpa

若要知道分貝與壓力的關係,則不得不提「聲壓」,聲壓與分貝的關係可見下圖三的公式。在計算出需要多少帕斯卡的力後,我們就可以將有效聲壓和參考聲壓比值的平方取以10為底數的 log 值再乘以 10,換算出該壓力等同於多少聲壓級,且其單位為分貝(dB),就能將使當陽橋斷裂所需要受的力改成所需要承受的分貝值。

因此我們將橋面與木紋平行時所計算出的 28445713650kpa 套入公式,得 SPL(力與木紋
平行)

而當橋面與木紋垂直時,將 4841823600kpa 套入公式,得 SPL(力與木紋垂直)

所以當台灣杉木紋與橋面為平行,代表其與張飛的聲音所產生的壓力方向垂直,故需要約 347.679579345 dB 才能喝斷當陽橋,而當台灣杉木紋與橋面為垂直,則表示其與張飛聲音所產生的壓力方向平行,這時張飛就需要約 363.059736764 dB 才能喝斷當陽橋。

三百多分貝究竟是一個甚麼樣的概念呢?令人難以忍受的工地分貝僅 80 至 110 分貝,而可能造成聽力永久性損傷的飛機引擎聲更已經高達 140 分貝(見下圖四)。且根據金氏世界紀錄,目前人類發出的世界上最大聲的聲音為一名英國女子 Jill Drake 在 2000 年時以 129 分貝喊出「安靜」。所以甚至連儀器都難以發出三百分貝的聲音,更遑論是人了。

綜上所述,可以發現就算是雄風千里,時人皆稱為「萬人敵」的張翼德也不可能喊出那麼大的聲音。然而,雖然三國演義將他刻畫成一個有勇無謀的人,但能想出讓士兵拿著樹枝在當陽橋後方樹林中跑動來製造有大量士兵在後方的假象,並在這時面對曹操身後真正的大軍面不改色,便可以知道他可能比我們想像中都要來的足智多謀。如果他在曹軍到來前已經先破壞橋中間的榫卯,那麼或許用力一喝真有機會將當陽橋當場喝斷。

當然,最有可能的原因就是為了渲染讀者感受而使用的誇飾法,很明顯張飛喝斷當陽橋是不可能真正發生在我們日常生活中,然而,「假作真時真亦假」,有些時候真與假的定義只在一線之間,如果願意透過真實與理性證明出的科學碰撞以想像力與感性建構出的書本世界,或許會有意想不到的收穫。雖經過計算,我們與羅貫中建構出的世界彷彿遠了一些,但卻絲毫不減我們對三國演義的喜愛。張飛喝斷當陽橋,真假雖不知,餘韻盪心頭!

參考資料:

  1. 羅貫中《三國演義》
  2. https://kknews.cc/zh-tw/home/xjykpjr.html
  3. https://www.strongpilab.com/db-in-audio-engineering/
  4. http://nova.bime.ntu.edu.tw/~dsfon/FluidMachinery/1999student/lewyinda/noise1.htm
  5. https://www.itsfun.com.tw/%E9%95%B7%E5%9D%82%E6%A9%8B/wiki-2976127
  6. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A3%B0%E5%8E%8B
  7. https://www.epd.gov.hk/epd/noise_education/web/CHI_EPD_HTML/m1/intro_5.html
  8. https://kknews.cc/history/68ogegv.html
  9. https://read01.com/zh-tw/EGMAaG.html#.XiAYScgzY2whttps://kknews.cc/zh-tw/history/j5llzy.html
  10. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B2%B3%E6%9B%B2%E9%A6%A
  11. https://kknews.cc/zh-tw/travel/48kvbz3.html
  12. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%B0%E7%81%A3%E6%9D%89#%E5%88%86%E4%BD%88
  13. https://new.qq.com/omn/20190507/20190507A098UP.html
  14. https://slidesplayer.com/slide/11513671/
  15. https://www.youtube.com/watch?v=oJRfzEjHqxg

用數學分析龜兔賽跑—烏龜獲勝的秘訣|2020|高中組專題報導|佳作

作者 徐藝瑄、邱婷、陳子玄/和平高中

童話故事陪伴我們度過童年,為我們帶來歡笑、快樂,為我們的生活增添了色彩,隨著我們逐漸成長,童話故事成為了我們心中永存而美好的回憶。同時,也在我們成長過程中為帶來了許多啟示,引領我們走上正確的道路。龜兔賽跑是著名的《伊索寓言》中的故事之一,這故事告訴我們:只要有毅力、永不放棄,就能成功。但是隨著我們成長的同時,也讓我們不禁深入思考整個故事的發展,到底為什麼結局會這麼出乎意料呢?烏龜與兔子兩者速度懸殊,兔子明明跑得如此快,為何而輸了比賽,又烏龜到底憑藉什麼本事,能在這場比賽中獲得最終勝利呢?

故事中的兔子嘲笑烏龜跑得比他慢,而烏龜卻有志氣地反駁,認為自己總有一天會超越,於是,兔子提議乾脆來場比賽。但比賽的過程中,驕傲的兔子自以為勝券在握竟中途睡著了,靠著毅力努力爬的烏龜反而獲得了最終勝利。然而,故事中的烏龜,是因為被嘲笑一時氣憤才參賽嗎?還是其實他早已算計好了呢?

烏龜明知道自己跑得慢,卻仍然要反駁兔子,代表他是容易受挑釁的嗎?不,我們認為,烏龜並不是沉不住氣,那他為何要反駁呢?我們推測是因為他做了功課後深知兔子的弱點,也就是說,這場比賽,烏龜是經過精密的數學計算與計畫,才終能獲得了勝利。

兔子跑得的確很快,但他有一個致命弱點──他是白天睡覺,晚上活動的夜行性動物,儘管是「短跑」好手,但跑長距離時,會因體力不支而昏睡。

 烏龜看準這一點,必定不會選擇100m短跑之類的比賽,而會選擇長跑。但是兔子難道不知道自己白天會想睡覺的弱點嗎?聰明的烏龜為了讓兔子答應在白天比賽,於是先滿足兔子的虛榮心,及兔子自負的心態,說服兔子比賽在白天舉行將會有很多動物前來觀看與歡呼,這也讓兔子不疑有他地同意參加這場在白天舉行的長跑賽。

常見的長跑有5公里與10公里兩種,折衷之後這場比賽的距離定為8km,且因白天是兔子的睡覺時間,加上長距離比賽之故,他一睡就得睡滿8.4小時。

我們假設烏龜速度1km/小時(烏龜最快可跑1km/小時)因為兔子很驕傲,所以他會先以最慢的速度60km/小時(野兔速度為60~80km/小時),邊跑邊接受場邊觀眾歡呼。

8 km/1 km=8 (小時)

        8 km/60 km=2/15(小時)

藉由上述推算可知,假使在8km的情況下,烏龜要跑完全程得花8小時左右,而兔子則需花2/15小時(即8分鐘) 左右。但兔子一天至少要睡42/5小時左右,所以他至少需要花42/5+2/15=128/15小時(即8小時又32分鐘)才能跑完全程,看起來烏龜似乎穩贏了。但烏龜並無法一路保持最快的速度衝刺,當他累了時,速度會下降為0.5 km/小時。那問題來了,烏龜必須先用1km/小時的速度跑多遠,再放慢速度,才不會被追上?

已知兔子跑步加上睡覺時間總共需花128/15小時才能到達終點,於是我們先假設兔子在起點時就睡覺。

設烏龜以時速1km的速度所走的距離為X,以時速0.5 km行走的距離即為8-X

又烏龜以最快速行走的時間和減速後行走的時間總和,必須小於免子所需花的時間128/15小時,才能贏得比賽。

於是可得x/1+(8-x)/0.5=2(8-x)=16-x<128/15,解得x>112/15公里(約7.47公里)。至少要過了112/15公里(約7.47公里)處才能放慢速度,因此答案為距離終點8-112/15=8/15公里處(約0.53公里)。

烏龜依據計劃,在前7.47公里時保持時速1(公里/小時),並在過了7.47公里之後,將時速放慢為0.5(公里/小時)。而兔子猛然醒來後(不睡滿42/5小時的情況下),發現烏龜反而領先了,於是他改以最快的速度80(公里/小時)追趕,那麼烏龜必需領先兔子幾公里才不會被反超。

若兔子在起點開始睡覺,醒來後開始加速,則他需花8/80=0.1小時才能抵達終點。而這時烏龜正以0.5(公里/小時)的速度行走,他在這0.1小時內能行走0.05公里,也就是距離起點 8-0.05=7.95公里處。

因此,若兔子在烏龜抵達7.95公里處醒來,並開始追趕,則兩人會同時抵達終點。也就是說兔子醒來時前,烏龜行走的距離必須超過7.95公里,才不會讓兔子反超。

若兔子仍然想睡滿8.4小時,但之後如果將以最快的速度80(公里/小時)追趕,體力可能會不支,所以打算改成一開始先以50km/小時速度跑,之後再以70(公里/小時)追趕,來確保體力贏得勝利,則他必須先跑多遠才開始睡覺,醒來之後才有機會反超呢?

我們設兔子在距離起點X公里處睡覺,也就是兔子先以50(公里/小時)的速度跑了X公里後,睡了8.4小時後醒來,再以70(公里/小時)的速度跑了8-X公里。 

兔子若想反超烏龜,他以50(公里/小時)和70(公里/小時)所花的時間,加上睡覺時間必須小於烏龜所花的時間128/15小時。

於是可得x/50+8.4+(8-x)/70<128/15,解得x<10/3。因此,兔子為求保險、百分之百獲勝,至少要在距離起點10/3公里處之前的地方睡覺,醒來才有機會反敗為勝超越烏龜,因此答案是距離終點14/3公里之前。

龜兔賽跑只是虛擬的故事,我們分析完真實的兔子與烏龜的相關數據之後,也可以利用虛擬的遊戲角色-寶可夢中的壺壺龜和掘掘兔-來作推算。

假設掘掘兔和壺壺龜比的是正式馬拉松(大約為42km)壺壺龜的速度為5km/小時,掘掘兔則為57km/小時,因此可得:

42 /5 =42/5小時

  42/57 =14/19小時

藉由上述推算可知,假使在42km的情況下,壺壺龜要跑完全程要花42/5=8.4小時左右,掘掘兔要花14/19小時左右,而掘掘兔一天至少要睡126/15小時左右,所以126/15+14/19=868/95,也就是掘掘兔至少要花868/95小時才能跑完,所以贏家就是壺壺龜了。但壺壺龜並無法全程以最快速度行走,所以我們假設壺壺龜先以每小時3公里的速度跑,那壺壺龜應該在距離終點多遠時(最低限度)時加快速度,上升為每小時5公里才不會被追上?

已知掘掘兔加上睡覺時間,至少需花868/95小時才能抵達終點,而壺壺龜一開始先以最低速度(3km/hr)起步,之後才加速到最快速度(5km/hr)。

我們設X為壺壺龜以最低速度行走到的距離,則以加速後行走的距離為42-X。

也就是以最低速度行走的時間加上加速後行走的時間至少要小於868/95小時才有可能贏過掘掘兔。

x/3+42-x/5<868/95(公里)

兩邊同乘15得5x+126-3x<2604/19

解得x<105/9

壺壺龜在走到105/19公里之前就必須加速,

因此答案為在距離終點105/19公里之前就必須加快速度。

那假使(在壺壺龜放慢速度的情況下,在距離105/19終點公里前他的速度為3公里/小時,但從105/19公里至42公里將速度增加為5公里/小時)掘掘兔在醒來時,發現壺壺龜比他快,受到刺激,於是進化成了掘地兔,改以最快速度78 km/小時追趕,掘掘兔醒來時和壺壺龜至少要相距幾公里,才能使壺壺龜依然是贏家呢?!

若兔子在起點開始睡覺,醒來後開始加速,則他需花7/13小時才能抵達終點。而這時烏龜正以5(公里/小時)的速度行走,他在這7/13小時內能行走35/13公里,也就是距離起點42-35/13=511/13公里處。

因此,若兔子在烏龜抵達511/13公里處醒來,並開始追趕,則兩人會同時抵達終點。也就是說兔子醒來時前,烏龜行走的距離必須超過511/13公里,才不會讓兔子反超。

經過這次的推測與數學計算,我們認為烏龜勝利的關鍵在於他的毅力以及智慧,堅持固然重要,但想要成功,還需要有顆數學腦與思考能力。數學這門學問不但可以幫助我們看清渾沌不明的情勢、設計出縝密的計畫,也可幫助我們彌補缺點。就像故事中的烏龜,利用數學精心計算,彌補了自己速度慢的不足,化不可能為可能,最終贏得了勝利,並讓我們永遠銘記。