分類彙整:2019數感盃

這不科學!——魔戒中的數學思辯|2019|高中職專題報導|佳作

作者 王治鈞、呂建霆、洪林竹/國立科學工業區實驗高級中學

序章

            在世界級奇幻名著《魔戒》改編的電影《魔戒首部曲:魔戒現身》之中,反派角色「炎魔」和全書靈魂角色「甘道夫 」在摩瑞亞礦山中的武打場面非常精彩,並因此常常為魔戒粉絲們津津樂道。

讓我們先把目光放回中土大陸的摩瑞亞礦山。在一場驚心動魄的激戰之中,住在礦山中的怪獸——炎魔因腳下的橋樑突然崩落而墜入底下的深淵。就在甘道夫鬆了一口氣的時候,陰魂不散的炎魔在墜落過程中甩出火鞭纏繞住甘道夫的膝蓋,使得甘道夫跌了一跤,並跟炎魔一樣摔了下去。

在電影中,從炎魔開始墜落的那一刻起到甘道夫墜落,整個過程共約32秒。但是,最後甘道夫和炎魔卻「同時」墜入一個地底湖中,並且繼續激戰。

相信不少人在看到這一幕的時候都會被電影逼真的特效和磅礡的畫面所震懾,我們也不例外。而在此同時,我們更聯想到一個問題:

…….是不是有哪裡怪怪的?

讓我們先再次整理條件:

  1. 伽利略告訴我們,在同個高度下,不同物體掉到地上的時間皆應相同
  2. 炎魔比甘道夫更早開始下墜
  3. 更精確地說,炎魔早了32秒

從上述條件我們似乎可以得到一個結論——炎魔應該要比甘道夫早32秒掉到地底湖中才對。電影情節終究只是虛構,是不可能發生的。

但是,這真的完全不可能嗎?
難道《魔戒》不是真的?
難道約翰·托爾金(《魔戒》原著作者)騙了我?
難道我這輩子最愛的小說其實盡是謊話連篇的荒唐之論?

            先暫且不論「《魔戒》本來就是歸類在『奇幻作品』中,所以一切皆有可能」,在數理上,電影中的情節究竟有沒有可能呢?

剛才的推導是建立在十分簡單的假設上,所以結果可能和真實的情況不太一樣。接下來,我們將利用一些詳細的資訊分析當他們墜落深淵時到底會發生什麼事,更定量地討論「同時到達底部」這個結果的合理性。

加入「空氣阻力」的條件

        在這個段落裡面,我們將會逐一進行下列步驟:

                1. 寫出甘道夫和炎魔墜落時所必須遵守的運動方程式
2. 根據電影本身和其他資料估計一些參數(像是質量、空氣密度等)
3. 解微分方程
4. 把之前估計的參數代回式子中解完方程
5. 回答我們提出來的問題 — 甘道夫和炎魔到底會不會同時墜地?        

首先,翻閱課本便可以知道空氣阻力的公式和運動方程式是

下面這個表格分別列出甘道夫和炎魔的參數:

 甘道夫炎魔
(質量)60kg800kg
(阻力係數)1.21.2
(截面積)0.68m26m2

讓我們解釋一下這些估計是怎麼來的。

首先,根據Tolkien Gateway1 (類似魔戒專屬的維基百科)的資料,甘道夫的身高約1.67公尺,體重則並未提及。 如果甘道夫是一個健康的巫師,我們可以預期他的BMI是21,並進一步推得體重大約是60kg。

炎魔的話比較麻煩些,維基百科上寫炎魔站起來約人類的3倍高。假設炎魔的肌肉能承受的壓力和人類的一樣強,那麼肌肉截面積可估計為32=9倍,能承受的重量也是人類平均重量的32=9倍。不過我們可以合理地推測炎魔應該比人類強壯一些,所以實際上的重量應該大於60∙9=540(kg),在這邊估計800kg。

至於阻力係數,則是和身體的形狀有關。根據這篇論文2,人的阻力係數大約是1.2,因為炎魔大致上也是人形,在這邊就假設阻力係數一樣。另外,根據這篇皇家氣象學會的論文3,人體的截面積約0.68m2,而從電影畫面估計,炎魔的截面積大約是6m2

結論

在上面的文章中,我們用數學與理性的角度分析了電影《魔戒》中經典的一幕——甘道夫大戰炎魔之後,兩者雙雙墜入深淵。

首先,我們對電影中的情況進行辨析,並發現甘道夫與炎魔同時到達底部似乎不符合科學。

接著我們將空氣阻力納入考量並進行運算,但是仍得到相同的結果。換而言之,比較早掉下去的炎魔必定會比甘道夫更早掉到底部。而這結論和電影的畫面並不相符。

但是,這就代表電影都在亂演一通?其實倒也未必。或許是因為我們納入考量的條件不足,抑或是因為參數假設有誤,導致我們的推理出了差錯。

不過這些並不是大問題,因為透過上面這些分析,相信各位看官已經和我們一起體會到了數學的美妙和實用。它不只是一門死板的學科,更是可以應用在生活中、實際地解決問題的有力工具;透過將問題轉化成數學,再把數學答案轉化回問題的解答,很多令人摸不著頭腦的問題都能迎刃而解。

最後,《魔戒》本來就屬於奇幻小說,在看完我們的分析之後,千萬別因為糾結於內容合理性而失去了閱讀這部史詩級巨作的趣味呀!

參考資料

1http://www.tolkiengateway.net       Tolkien Gateway:魔戒維基百科

2Mun Hon Koo, Abdulkareem Sh. Mahdi Al-Oba idi (2013), Calculation of Aerodynamic Drag of Human Being in Various Positions

3J.F.R.McIlveen (2002), The everyday effects of wind drag on people

捷運可以這樣ㄗㄨㄛˋ |2019|高中職專題報導|佳作

作者 王姿蘋/景美女中

最近校園裡出現了一個最新的遲到理由:捷運太多人而擠不上。故事是這樣發生的……

教官:「王小明同學,你怎麼老是遲到呢?罰你放學留下來刷廁所!」
小明:「教官,我真的不是故意的,我遲到是有原因的。我已經早十分鐘到捷運站了,卻遲遲上不了車,大家都急著上班上學,每個人看到車門開的瞬間都像猛虎出閘般蜂湧上車,而我又特別瘦弱,根本擠不上車!不如我來分析一篇關於『捷運可以這樣ㄗㄨㄛˋ』的報導給教官聽。」


「嗶嗶嗶!車門即將關閉,請遠離車門。」這樣的台詞在北市的通勤族耳裡再熟悉不過了。在尖峰的上下班時間,常常因為擠不上列車而必須等待下一班。以學生上下學的狀況為例,上學時在捷運車廂最常聽到的是:「不好意思,我快遲到了,可以再往裡面走一點嗎?」不過,當列車開走時,卻發現大部分的乘客都集中在中間車廂,而頭尾車廂的乘客寥寥無幾,如此貼切的生活經驗,在你我的生活中已習以為常,這樣的情況是否有改變的可能呢?在不考慮中間車廂距離捷運出口較近的因素,且先考慮初發車的車內無乘客的狀態下(即首站),則每節車廂的乘客密度是否能夠趨近平均值呢?以下分為兩點討論:唯一出入口以及為二出入口的情形。

以列車車廂相互不連接的文湖線系統來做討論。文湖線的每班列車共四節車廂,而每節車廂同一側各有兩扇車門,如示意圖所示:

(討論一)出入口唯一,且位於列車正中間
假設出口到車門的距離皆可用直線分割,且每位乘客走到同側各個車門的機率相等,試算首站有 128 位(註一)乘客在同班列車的各節車廂乘客分配,如圖所示:

(討論二)出入口唯二,且兩個出入口分別在列車 A、B 車廂中間與 C、D 車廂中間
假設出口到車門的距離皆可用直線分割,且每位乘客走到同側各個車門的機率相等,試算首站同樣有 128 位乘客在同班列車的各節車廂乘客分配,如圖所示:

真的假不了,假的真不了──數據造假前請考慮「機率」|2019|高中職專題報導|佳作

作者 陳宥諼、林昱佑/國立科學工業區實驗高級中學

最近在網路上看到了一則去年的新聞:一名在學術期刊等公共平台發表了高達200多篇論文的日本麻醉醫師──藤井善隆,被抓到長期偽造數據,並有高達183篇論文遭到撤稿,且數量仍持續增加。引起學界注意的投訴信中說道:「藤井的研究數據完美到難以置信。」

 最早開始懷疑藤井數據造假的人之一,英國麻醉師John Carlisle觀察了藤井一百多批藥物實驗的數據,並計算了那些數據的隨機分佈,結果發現藤井的數據在統計分析下其實「發生機率極低」。也就是說,藤井的數據雖然看起來漂亮,但實際上卻是「不自然的」。

這使我們產生了興趣:我們所認定「正常」、「隨機」的數據,會不會只是我們主觀直覺思考時所產生的假象?然而事實上卻不符合真實機率?讓我們看一個簡單的例子:

假設老師出了一項作業,請學生每人投擲一枚公正硬幣1000次,並記下每一次的結果;但是,這項作業實在是太繁瑣了,學生們都想直接自己編數據交差了事──「反正,本來得到的結果就是『隨機』的啊!我只要在記錄表上隨便填上「正」或「反」就好了!」於是,大部分的人會編出類似這樣的數據:

「正反反正反正正反正反反反正……」

看起來真的「很隨機」呢!
可是,收作業當天,老師卻一眼就找出了所有偷懶的同學(絕對不是因為有內鬼!)──「你們還太嫩了!實際去丟銅板要丟出這種結果,機率還真的不是一般的低啊……」老師一臉不屑的說。

「機率」?!終於有同學抓到關鍵字了。

其實,如果真的自己丟銅板的話,會發現可能出現這樣的結果:

「……正反正正正正正正正正正正反正正正正……」

怎麼連續這麼多的「正」啊!
不過,如果反過來想,要是丟很多很多次,卻沒出現連續好幾個相同面朝上才奇怪呢!

什麼意思呢?以機率的角度來看──
假設丟一個公正銅板n次,求至少出現1組連續y個以上正面朝上的機率。則機率f(n)=(令擲出結果正面朝上為「+」、背面朝上為「-」;連續y個以上「+」為串列S)

1. 若0<=n<y
因為擲的次數不滿y次,所以就算全部擲出正面,也無法滿足條件。
故,

f(n) = 0

2. 若n=y
必須保證每一次都擲出正面,而每一次擲出正面的機率都是1/2 ,所以:

f(n) = (1/2)^y

3. 若 y<n<(2y+1)
最多只可能出現1組S,且要擲出S只有兩種方法:

(1) 在前n-1次就已經擲出S (令機率=g(n))
如果前n-1次已經擲出S,不管最後一次(第n次)擲出「+」或「-」,都不會影響結果。故

g(n) = f(n-1)

(2) 前n-1項未出現S,擲出最後一項為「+」,和前面的「+」合併後恰形成一個S (令機率=h(n))

此即保證最後的至少y項皆擲出「+」(即  (i)第n-y+1項到第n項一定為「+」)。然而,若S的長度>y (即第n-y, n-y-1, …項也為正),那麼在前n-1項時,就已經形成S了,機率就又回到g(n)。所以,可以保證  (ii)此種方式的第n-y項絕對不為「+」。另外,還須確保前n-y-1項未出現S:由於n< (2y+1),已經確定第n-y項為「-」的情況下,第1項到第n-y-1項最多只有2y(全部)-y(最後湊出的S)-1(為「-」的第n-y項)= (y-1) 項,就算全部擲出「+」也無法湊出S (即  (iii)欲使該區間內未出現S的機率為100%)。

考慮(i)、(ii)與(iii),可求出機率為:

h(n) = (1/2)^(y+1)*100%

由 (1) 和 (2) 兩種方法可得出,y< n< (2y+1)時:

f(n) = g(n)+h(n) = f(n-1)+(1/2)^(y+1)

4. 若n>= (2y+1)

想要達成條件同樣有2種方法,且要注意可能出現2組以上的S:

(1) 在前n-1項就已經出現S (令機率為g(n))
同3.(1):如果在前n-1項就已經符合條件(即至少有一個S),那麼不管最後一項擲出「+」或「-」都不影響,故得:

g(n) = f(n-1)

(2) 前n-1項未出現S,擲出最後一項為「+」,和前面的「+」合併後恰形成一個S (令機率=h(n))

加上最後一次(第n次)的「+」恰形成一個S,即第 (n-y+1)項到第n項都必須保證為「+」,且第n-y項為「-」,  (i)此機率為(1/2)^(y+1)。同時,還要考慮第1項到第n-y-1項中不能出現S:由於n>= (2y+1),該區間是有可能存在另一個S的,因此要避免其的機率為  (ii) 1-f(n-y-1)。

綜合與(i)與(ii),得出:

                                 h(n) = [1-f(n-y-1)] / [2^(y+1)]

故,若n>=(2y+1),則機率等於:

f(n) = g(n)+h(n) = f(n-1)+ [1-f(n-y-1)] / [2^(y+1)]

所以,由上述討論,可推出其遞迴關係式為:

回到銅板問題:若取y=10,以程式執行計算後:
當擲銅板次數n=1421時,

f(1421)=7, 255, 778, 711, 927, 407, 617, 380, 544, 769, 173, 867, 806, 169, 361, 486, 522, 866, 802, 980, 651, 539, 660, 838, 223, 377, 066, 752, 145, 420, 755, 231, 929, 187, 093, 761, 722, 303, 645, 267, 912, 580, 455, 689, 572, 071, 800, 452, 693, 464, 700, 240, 325, 620, 941, 411, 943, 308, 843, 940, 722, 468, 017, 918, 536, 598, 081, 098, 266, 744, 747, 888, 440, 887, 321, 884, 634, 359, 498, 815, 523, 739, 396, 906, 549, 246, 415, 109, 283, 793, 846, 209, 720, 465, 402, 081, 202, 745, 609, 492, 452, 509, 025, 795, 069, 716, 361, 505, 310, 397, 746, 161, 836, 302, 227, 941, 580, 885, 870, 210, 044, 773, 666, 072, 022, 038, 700, 421, 605, 273, 419, 973, 038, 879, 144, 857, 154, 157, 912, 879, 478, 392, 261  14, 5 06, 540, 244, 799, 649, 295, 363, 967, 385, 272, 259, 250, 661, 462, 164, 996, 145, 242, 670, 971, 396, 368, 427, 928, 550, 752, 333, 318, 302, 269, 391, 954, 931, 996, 110, 373, 344, 247, 437, 783, 405, 976, 812, 508, 208, 014, 387, 645, 084, 573, 461, 084, 331, 611, 962, 071, 030, 245, 089, 177, 219, 397, 347, 545, 783, 897, 084, 779, 561, 785, 928, 834, 057, 620, 352, 012, 602, 971, 900, 896, 382, 103, 058, 767, 619, 551, 583, 898, 875, 428, 087, 721, 830, 150, 897, 600, 890, 899, 165, 970, 697, 060, 836, 381, 274, 022, 825, 694, 219, 432, 474, 834, 063, 680, 015, 967, 772, 773, 093, 077, 100, 779, 252, 371, 658, 190, 278, 159, 625, 450, 473, 401, 620, 223, 010, 779, 161, 044, 426, 883, 596, 288

(這是一個分數,並且是精確數字,由此可見計算的繁雜度!)

總之,f(1421)≒0.5001729281748267≒50%
也就是說,當擲1421次銅板時,出現至少一組連續10個以上正面的機率就已經略超過1/2。

另外,當擲3288次時,機率會再近一步提升至80%;甚至擲9391次,機率已經達到99%。換句話說,假設擲1萬次,幾乎可以保證一定會看到至少一組連續10個以上的正面。

然而,一般人在編造數據時,很少會連續寫下很多個正面(或反面),因為直覺上要連續擲出那麼多次相同的結果機率應該很低。正是利用這點,所以,光憑「是否出現連續多次相同結果」這個事件,就足以初步判斷數據的真實性,更遑論除此之外,還有更多事件的真實發生機率也有待計算。

想要得出符合真實機率的「完美」數據,與其絞盡腦汁、分析各種事件的機率(而且不太可能分析的完),倒不如穩扎穩打的完成,或許還快些。

再者,在學校偽造作業數據頂多受到老師的批評或輕微的懲罰;但出社會後,要面對的可能是正式的論文、一份財報、甚至是一份關乎人命的實驗報告!造假的後果除了損失聲譽、失去工作,更有可能因此遭受牢獄之災。與其耗費大量精力試圖求出「毫無破綻」的造假方法,卻還要冒著被拆穿的風險苟且偷生,還不如腳踏實地,安分地完成任務,才是正道!

轉蛋機背後的秘辛──怎樣抽卡才有利|2019|高中職專題報導|佳作

作者 李瑞祥、陳泓恩/建國中學

前言

  「抽卡」是時下手機遊戲裡最常見的要素之一,透過消耗遊戲內的虛擬幣來從轉蛋機抽取不同稀有度的卡片。在許多玩家眼裡,「運氣」成為能否抽到好卡的唯一依據,甚至有「歐洲人」這樣的流行語出現來借代運氣極好的玩家。抽卡的結果雖然是機率下的產物,但是其實各個遊戲的抽卡機制不盡相同,我們想探討究竟哪些機制是對玩家有利,又有哪些是對遊戲公司有利。

假設

  然而實際上,「抽卡」的複雜性遠超乎單純的「機率」,因此為了簡化討論,我們做出幾個前提假設:

(1)遊戲的平衡性非常完整,也就是同一稀有度的不同卡片,強度是一致的,玩家對於取得
同一稀有度卡片的慾望也是一樣的。
(2)遊戲公司必須兼顧玩家的遊戲體驗以及收入,好卡的機率不會無限上綱,但也不能刻薄
到讓玩家失去信心。
(3)卡片無法透過進化提升稀有度,所以玩家抽卡的目的僅在於取得最高稀有度的卡片。
(4)我們參考各個遊戲,並假設出四種稀有度,以及相應的機率。

(5)我們參考各個遊戲,並假設出轉蛋機的虛擬幣消耗量:每一抽需要5虛擬幣,十連抽則消耗50虛擬幣。而玩家平均為一次抽卡活動所準備的虛擬幣為150單位,我們將利用此數據進行討論。

基於以上假設,我們將針對「4星張數期望值」和「最差組合機率」兩項指標來比較幾個常見的抽卡機制。

  在開始引入抽卡機制之前,我們必須先介紹兩種指標個別代表的意義。

(1)4星張數期望值:抽到最高稀有度卡片的期望張數。是玩家對於抽卡機制中最關心的一點,因為抽中4星卡是玩家抽卡的最主要目標。

(2)最差組合機率:抽卡結果為當前機制下最差之組合的機率。作為玩家抽卡體驗的負向指標,玩家對遊戲的耐心常常因為最差組合而磨損。

機制

機制一:隨機制度(按照機率直接分配)

總抽數:150÷5=30張
4★張數期望值:3%×30=0.9張
最差組合機率:(70%)30≒0.022‰

機制二:保底制度(十連抽必中一張3★以上,即第10張的機率變為3★97%、4★3%)

總抽數:150÷5=30張
4★張數期望值:3%×30=0.9張
最差組合機率:[(70%)9(97%)]3 ≒0.059‰

機制三:水位制度(若是十連抽沒有抽中4★,下次十連抽的4★機率提升2%,1★機率降低2%;如果抽中4★,則重置機率)

總抽數:150÷5=30張
4★張數期望值(參見附錄一)≒1.26張
最差組合機率(參見附錄二)≒0.013‰

機制四:特殊轉蛋機制度(十連抽消耗75虛擬幣,但不會抽到1★,其他星數依等比例放大,即2★60%、3★30%、4★10%)

總抽數150÷75×10=20張
4★張數期望值:10%×20=2張
最差組合機率:(60%)20≒0.036‰

結論

  觀察以上四種常見的機制在各項指標下的數據,我們得出了以下幾個結論:

(1)隨機制度和保底制度的4★張數期望值皆偏低,玩家甚至在30抽之下,都無法預見抽中一張4★。此兩機制對遊戲公司較有利,為了提升4★張數期望值到1張,部分玩家選擇儲值。以1虛擬幣約為30元台幣來計算,花費450元(增加3抽)後便有非常高的機會在此次轉蛋機抽中4★。

(2)隨機制度的最差組合機率為0.022‰,有多小呢?根據調查,被雷打到的機率約為五十萬分之一,也就是0.002‰,30連抽為最差組合的機率也不過是遭到雷擊的11倍,基本上每5萬次30連抽才會發生一次。然而,如果玩家只打算以10連抽試試手氣,最差組合機率卻高達2.8%,平均每100人就會有3人遇到呢!

(3)水位制度對運氣不好的玩家來說,無疑是縮短與歐洲人之間「貧富差距」的好制度。不只4★張數期望值大幅提升,最差組合機率也是四個機制中最低的。更重要的是,這個制度所顯現出的「公平正義」。有五成四的人在前20連抽是沒有4★的,但他們因此得到了機率提升的機會,在第30連抽,4★機率已提高至7%。就算真的十分不走運,第40連抽也能以9%的4★機率來抽卡,已經等於原先的3★機率了!

(4)特殊轉蛋機制度帶給玩家更高的4★機率,最差組合機率也不太高,對於吸引玩家抽卡有很大幫助。然而因為設立了75虛擬幣的門檻,使得部分休閒玩家可能難以享受到這項福利。另外,對遊戲公司來說,這樣的高機率勢必會讓玩家的4★張數大幅增加,遑論玩家把握機會儲值,一次獲取多張好卡。雖然會刺激消費,但也有可能造成4★氾濫,價值下降。故通常特殊轉蛋機須搭配每人限制次數來管制。若是認為特殊轉蛋機制度在同樣150虛擬幣的花費下,卻只能取得原先三分之二的卡片張數十分得不償失,那就大錯特錯了呢!

結語

  綜合上述,四種機制各有優缺點,也分別適合不同類型的玩家。關鍵在於,遊戲公司希望吸引哪些類型的玩家,進而決定採用何種抽卡制度,而玩家在遊玩時,也該在謹慎評估過後,再決定是否儲值。

「抽卡」畢竟只是遊戲的一部份,無論運氣好壞,遊戲內肯定還有很多亮眼的地方值得玩家去一一體驗。

附錄

附錄一

討論[1]第一次十連抽中4★且第二次十連抽中4★
3%×30=0.9張

討論[2]第一次十連抽中4★且第二次十連抽沒中4★
3%×10+3%×10+5%×10=1.1張

討論[3]第一次十連抽沒中4★且第二次十連抽中4★
3%×10+5%×10+3%×10=1.1張

討論[4]第一次十連抽沒中4★且第二次十連抽沒中4★
3%×10+5%×10+7%×10=1.5張
4★張數期望值=(1-(97%)10)2 ×0.9+(1-(97%)10)(97%)10×1.1+(97%)10(1-(95%)10)×1.1+(97%)10(95%)10×1.5≒1.26張

附錄二

討論[1]第一次十連抽中4★且第二次十連抽中4★
(70%)30≒0.022‰

討論[2]第一次十連抽中4★且第二次十連抽沒中4★
(70%)10×(70%)10×(68%)10≒0.016‰

討論[3]第一次十連抽沒中4★且第二次十連抽中4★
(70%)10×(68%)10×(70%)10≒0.016‰

討論[4]第一次十連抽沒中4★且第二次十連抽沒中4★
(70%)10×(68%)10×(66%)10≒0.009‰

最差組合機率=(1-(97%)10)2 ×(0.022‰)+(1-(97%)10)(97%)10×(0.016‰)+(97%)10(1-(95%)10)×(0.016‰)+(97%)10(95%)10×(0.009‰)≒0.013‰

參考資料

機率分配及抽卡制度參考自以下遊戲:BanG Dream少女樂團派對、魔法使與黑貓維茲、死亡愛麗絲、Crash Fever、Sdorica萬象物語……等。

抽卡制度參考自:https://www.sfoxstudio.com/10493/gacha-design-rule-part-1/

「客」隨「主」變—探討韓愈貶謫詩中空間與時 間的真實性|2019|高中職專題報導|佳作

作者 李元萌、施宥旭/國立台南二中

一、研究動機
古代詩人常因主觀心情的劇變,使得客觀時間或空間的描述產生放大或縮小的意象,用以類比其喜怒哀樂的轉折。「朝辭白帝彩雲間,千里江陵一日還」,即因李白獲赦後喜悅至極,而感覺時間變短;「劉郎已恨蓬山遠,更隔蓬山一萬重」,乃因詩人在送別友人時,對其日後的旅途而感覺距離的拉長;「似將海水添宮漏,共滴長門一夜長」則描寫女子因思念之情而對夜晚感覺格外漫長。

在高中國文〈師說〉一課中認識韓愈,藉由欣賞詩詞更讓我們了解他人生中的挫折與難難關,在〈瀧吏〉、〈食曲河驛〉、〈武關西逢配流吐蕃〉、〈過始興江口感懷〉……等詩中,皆描繪其貶謫途中之感,尤在〈左遷至藍關示侄孫湘〉中,刻劃其剛被貶謫的抑鬱之情,我們也對詩中空間與時間的真實度感到好奇,遂以其生平與貶謫途中的地理位置,深入探討並進行研究。

我們將從幾首詩中提及關鍵的數字,進行研究並分析其空間、時間的真實性:

  1. 韓愈的貶謫路途十分遙遠,〈左遷至藍關示侄孫湘〉中「一封朝奏九重天,夕貶潮州路八千」一句,不禁讓人想一探是否真如詩中所寫從長安城到潮州長達八千里呢?韓愈是否真能在一日之間到達這潮濕蒸鬱,暗無天日的潮州呢?
  2. 「我今罪重無歸望,直去長安路八千。」韓愈在〈武關西逢配流吐蕃〉中亦提及「路八千」,這樣的關聯是與上首詩巧合嗎?
  3. 〈瀧吏〉一詩中「下此三千里,有州始名潮。」究竟是否自昌樂瀧至潮州真要三千里呢?

二、故事背景
貶謫文化讓中國文學史更添色彩,作家余秋雨在《文化苦旅》一書中認為:「詩人被貶到外頭,失了寵,摔了跤,只好與山水親熱,這樣一來,文章有了,詩詞也有了,而且往往寫的不錯。」也因為貶謫路途的遙遠,跋山涉水,所到之處無不是蠻荒之地,生活極其困頓,憂憤之下才能寫出流傳千古的作品。而名列唐宋古文八大家的韓愈亦是如此,元和十四年,唐憲宗派使者往鳳翔迎佛骨進宮中,供奉三日後送寺。韓愈毅然決然上呈〈諫迎佛骨表〉,內容提及歷代信佛的帝王大都「運祚不長」,要求將佛骨「投諸水火,永絕根本,斷天下之疑,絕後代之惑」遂引起皇帝震怒;但在崔群及國戚貴人為他說情之下,改貶潮州刺史。潮州位於廣東沿海,唐朝時尚未開發,韓愈長途跋涉,奔走任所,值藍關(今陝西省一帶)時逢大雪,人與馬早已疲倦,心中感到痛苦和絕望。還好其姪韓湘的勸慰,心情才稍為好轉,寫下〈左遷至藍關示侄孫湘〉這首流傳千古的詩。

三、研究內容
路程的巨大數字,雖有可能使用誇飾筆法,但仍令人好奇,其實際的空間距離有多少?需花費的時程多少?是否為刻意放大?

(一)距離的演算
首先,我們以距離來探討韓愈這短艱苦的貶謫歲月。韓愈因〈諫迎佛骨表〉被貶,自唐代政治中心長安出發,依下列詩詞分析,陸續經過藍田關、武關西、曲河驛、楚昭王廟、昌樂瀧、始興江及潮州市。

唐代以唐太宗李世民的雙步(左右腳各跨一步)為距離單位的標準,叫作「步」,並規定三百步為一里,一里為 454.2 公尺。一「步」的五分之一為一尺。唐代一尺相對於現在約0.303 米,一里換算約 454.2 公尺。

依照唐代古地圖所示,比例尺為 1:21,000,000,試計算各段路程的直線距離。(如表一)【公式:地圖上的距離(公分)×比例尺(1:21,000,000)÷100,000=實際上的距離(公里)】

1.〈左遷至藍關示姪孫湘〉
一封朝奏九重天,夕貶潮州路八千。欲為聖明除弊事,肯將衰朽惜殘年。
雲橫秦嶺家何在?雪擁藍關馬不前。知汝遠來應有意,好收吾骨瘴江邊。

本詩是在韓愈貶潮州時,自潮州出藍關時之作,可見其剛被貶謫時憂憤怨恨之心。由上述資料得知,這段路程的總距離約為 3534.3 公里(=3534300 公尺),即 3534300÷454.2=7781.37里,故韓愈在詩中所提及的八千里與實際距離相去不遠。

2.〈武關西逢配流吐蕃〉
嗟爾戎人莫慘然,湖南地近保生全。我今罪重無歸望,直去長安路八千。

此詩為韓愈謫潮州,途經武關西而作之。依唐朝古制,西邊所擒之蕃囚,皆會發配至南方且不會被殺戮。而韓愈在南貶途中,自藍田入商洛於武關西時,遇到一群發配湖南的蕃囚,感懷自己因言論不敬、冒犯帝王,被遠貶至瘴癘之鄉,覺得不如「蕃囚」,心情沉痛抑鬱,有感而作〈武關西逢配流吐蕃〉,也因為受到如此大的打擊,詩中才會用八千里一詞來說明自身的境遇。由上述資料可知,自武關西至潮州距離約 3315.9 公里(=3315900 公尺),即3315900÷454.2=7300.53 里,與詩中「直去長安路八千」相去不遠。

3.〈瀧吏〉(節錄)
南行逾六旬,始下昌樂瀧。險惡不可狀,船石相舂撞。
下此三千里,有州始名潮。惡溪瘴毒聚,雷電常洶洶。
鱷魚大於船,牙眼怖殺儂。州南數十里,有海無天地。
潮州雖云遠,雖惡不可過。於身實已多,敢不持自賀。

韓愈赴潮州途中所作,聞潮州瘴癘之地,此種痛苦抑鬱的心情清楚呈現在此詩。
韓愈自昌樂瀧至潮州仍有約 1963.5 公里(=1963500 公尺),即 1963500÷454.2=4322.98 里,與其三千里之敘述有落差,推究原因可能是因連續六十天的「南行」,離長安愈來愈遠,驚怖之情愈增,故感覺離潮州十分接近。

(二)時間的計算
接著,我們利用幾項唐代的主要交通工具(馬車、牛車)計算其速率與時間,並檢驗合理性;再綜合現代的交通工具,討論如何才可使這八千里在半天內迅速抵達。

我們分析古代的交通工具,並計算出其速率與所需時間(如表二),由此得知,韓愈自長安城至潮州的這段路程至少需 3.5 天,故「一封朝奏九重天,夕貶潮州路八千」所描寫的時間是不合理的。再比較現代各種交通工具,並計算出其速率與所需時間(如表三),由此得知,韓愈若身處現代,應搭乘飛機或高鐵,才能如詩中所寫的在半天的時間內抵達潮州。

四、結論
韓愈在〈左遷至藍關示侄孫湘〉詩中,藉由「路八千」營造距離之遙以及「朝奏」、「夕貶」的用詞,刻劃出時間壓迫的侷促感;在〈武關西逢配流吐蕃〉詩中,韓愈以八千里之遙凸顯自身遭遇不如蕃囚,再加上是貶謫途中的第二站,故距離尚無誇大之詞;在〈瀧吏〉詩中因貶謫之途越來越接近潮州,憂憤之情油然而生,故恐懼感愈增,感覺離貶謫地潮州十分接近,距離因而縮短,感到迫促。正如「朝為青雲士,暮作白首囚」(韓愈〈赴江陵途中寄贈王二十補闕李十一拾遺李二十六員外翰林三學士〉)所寫,韓愈真切敘述貶謫後的痛苦之情,字裡行間流露出憤恨之情,令人印象深刻。再根據我們分析、驗算後,發現詩中對於空間(距離)的描寫並無誇大其詞,但在時間的描述明顯不符古代交通工具之性能。這也證明對客觀時間或空間的感受,常因作者當下主觀的生活際遇與心情,產生放大或縮小的情形,而這種變化也加深了文學的趣味性。

周幽王的烽火台──探討烽火台平均距離的期望值|2019|高中職專題報導|佳作

作者 張原嘉、劉羿賢/新竹高中

前情提要
歷史上曾有一位絕世美人褒姒,她不愛笑,但她的美貌卻讓當時的天子周幽王神魂顛倒。周幽王為了取悅褒姒,在天下太平時三番五次點燃危急時召集諸侯的烽火,當諸侯們匆忙趕來首都保衛天子時卻沒看到敵人,只見褒姒的訕笑。西元前 771 年,犬戎入侵,失信於諸侯的周幽王,在真正危難時雖點燃烽火,卻不得諸侯信任,最終為犬戎所擄,只能含淚與褒姒生死相別。

歷史總是有無限的可能性,倘若那時有一位諸侯查覺到異狀,聯合全部諸侯及時抵擋犬戎入侵,西周將延續國祚,而周幽王的名聲在後代終將大大改變。

「各位臣子們,寡人對大家感激不盡,這是寡人的不對,寡人不應該隨便戲弄你們。」

此時權位最大的諸侯講話了,「王啊,所謂紅顏禍水,我們聯合要求您必須將褒姒賜死,否則何以面對被戲弄而失去軍心的軍隊呢?」

「這…寡人實在為難…」

「王,若您不將這妖女賜死,我們將另立新王,而褒姒將陪您在黃泉相見。」

周幽王噙著淚水,一條白綾,結束了絕世美人多舛的一生。

「吾王英明。」周幽王聽著眾臣高聲地朝拜,逐漸對褒姒之死釋懷,他想成為一位賢君,在歷史長河上留名,首要之務即是鞏固國防。正所謂「從何處跌倒,就要從何處爬起」,周幽王認為國家的烽火台制度亟需改善,因此,他徵求天下數學第一高手前來設計一套完善的烽火台制度,一次劃時代的改革將在數學中開展。

正文
周幽王向臣子展現強國的決心,貼出告示徵求烽火台的排列方式,只要設計被認可即賞金千兩並加官奉爵。所謂重賞下必有勇夫,不到一天時間,全周國數學最好的大臣便前來獻策。

「微臣對烽火排列略有涉獵,向王獻醜,請王指教。」

「愛卿別這樣說,寡人對您的建議十分有興趣,請說。」

「微臣稍加統計,周朝不含沿海地帶的邊界長度大約13000公里(註一),若照以往以10里(等同於18公里)(註二)設置一個烽火台,那麼共約需 13000÷ 18 ≅722座烽火台,便可占滿整個邊界。而周朝可派駐至邊界的軍隊共有45000人(註三),因此微臣建議在邊界每一烽火台配置60位士兵,當有蠻夷入侵時便點燃烽火,使士兵集合到作戰地點,如此一來便可形成一道有效的防線,王您意下如何?」

周幽王聽大臣如此說明,臉上露出猶疑的神情,似乎對大臣的敘述不以為然,說道:「好是好,那我怎麼知道這種防禦可以集結多少士兵,畢竟蠻夷行軍的速度可達一天70公里(註四),而我國首都鎬京(今西安)距離邊界最短700公里,代表蠻夷入侵至首都最快只要10天。我必須知道直線型排列烽火台間的平均距離,進一步推算出傳遞時間,才能知道有多少士兵會及時趕來。」

周幽王的問題:大臣設計的烽火台平均從一座烽火台傳遞至另一座烽火台平均傳遞時間?這是否能及時通報軍隊抵擋蠻夷?

「臣對此稍加研究,烽火一時約行百里(註五),代表每座烽火台之間的傳遞只要6分鐘。為了討論722個烽火台之間從一座烽火台傳至另一座烽火台所需時間,我們定義總路徑長度𝐿𝑛為 n 個烽火台中任兩個烽火台之間傳遞次數的總和,舉最簡單的例子,𝐿2 = 1,𝐿3 = 4,𝐿4 = 10 (見圖二)。」

「愛卿實在為朝廷之棟樑,國家之人才,能設計出有效的烽火台制度,並用遞迴原理佐證烽火台的傳遞速度足夠抵擋蠻夷入侵,你要什麼,美人、封地、還是爵位,朕通通給你。」

「報告王,這乃是微臣應當做的事,微臣只希望領取微薄俸祿,潛心研究數學,如此而已。」

「愛卿太過客氣,既然你教會我遞迴原理,我封你為遞迴大學士,並每天教導國人數學,讓數學應用在生活中,讓周朝再次因數學而富強!」

結語
「哈哈!那蠻夷一定不知我大周國有如此優秀的數理人才!」

「吾王萬歲!」在接受眾臣朝拜後,周幽王臉上盡是風光滿面的神氣。一階階爬上烽火台的高台,此時的周幽王卻歛起笑容,若有所思地望著遠方,心中升起一股淡淡的哀傷,「倘若褒姒還在,我可以教她有趣的數學,那她將以崇拜的眼神投向我,那我會是多麼幸福!唉!我用最艱深的遞迴方程式也計算不了褒姒一抹淺淺的微笑,最複雜的通式解也比不上我對褒姒無盡的思念。」

地平線上連著一座又一座的烽火台,一片祥和的風景中,周幽王看見褒姒翩翩的身影如烽火一般冉冉上昇,一抹淺淺的微笑從遙遠的烽火台上,傳至,更遙遠的烽火台。

相關連結
高中數學第二冊第一章──數列與級數
高中歷史第二冊第一章──商至西周的文明發展

參考資料
註一 每日頭條:周朝疆域範圍:「分封制」西周分封諸侯圖 https://kknews.cc/zhtw/history/2aox2zy.html (Jan. 12, 2017)
註二 中文百科在線:烽火台 http://www.zwbk.org/MyLemmaShow.aspx?zh=zhtw&lid=131907 (May. 24, 2012)
註三 百度百科:西周 https://baike.baidu.com/item/%E8%A5%BF%E5%91%A8/510056
註四 每日頭條:古代騎兵行軍速度到底有多快?讓你想不到堪比現代裝甲部隊
https://kknews.cc/history/xp99go.html (Aug. 24,2016)
註五 良工的博客:古代烽燧,軍情的傳遞速度有多快?
http://blog.sina.com.cn/s/blog_613527a10100hfrh.html (Jan. 29, 2010)

《柯南 零的執行人》 足球真能解決任何事?|2019|高中職專題報導|佳作

作者 鍾依庭/明倫高中

一、研究動機

    去年紅遍全台的柯南電影版-零的執行人,不但壓倒性強勢攻上日本全國票房榜首,創下觀影人數達1,289,000人,票房突破16.7億円(約新台幣4.67億元),創下系列作品首週票房最高紀錄!我們就來一探柯南拯救世界背後的數字究竟隱藏了多驚人的秘密吧!

二、前情提要

    一開始,無人探測機-天鵝號,結束火星上採樣本的任務,即將返回地球,透過遠端操控程式修正衛星軌道,讓其脫離等速率圓周運動的軌跡,使其墜落地球,且墜落過程中,探測機本體會在大氣層中燃燒,僅讓直徑約4m的太空艙重返大氣層,之後本體的隔熱罩分離,降落傘會展開,預定將在日本近海的的太平洋上降落。

    殊不知,兇嫌利用網路技術,駭入遠端操控無人機的程式,更改其墜落軌道,企圖讓太空艙墜落於警視廳。警方為了避免傷亡,將居民疏散並暫時安置在新興建造,位於東京填海地區的博弈塔中。另一方面,為了防止無人機墜落於警視廳,柯南與公安警察安適透利用阿笠博士發明的遙控型無人機,承載炸藥,飛向墜落中太空艙,於離地30000m的高空將炸藥引爆,藉由爆炸的能量改變無人探測機落下的軌道,希望讓其落入太平洋上,沒想到改變軌道後的太空艙,居然不偏不倚的朝向充滿避難居民的博弈塔方向飛去 !

    此時,柯南乘坐安室的車,為了再次解決危機,朝向博弈塔的方向駛去,並開上了一棟20層樓高的興建中大樓,從頂樓以180km/hr的速度衝向空中,接著就是大家熟悉的場景,柯南利用一記射門,將足球踢向墜落中的太空艙,並成功讓其些微偏移原本的軌道,只有擦撞到博弈塔邊緣,對整體結構沒有很大的影響,成功化解了危機。

     接著,就來探討這令人吸睛的過程,究竟有無可能發生?

三、禍從天降

    根據每日頭條報導,以色列一無人太空飛行器高1.5米,直徑2米,重600公斤,若將所有太空艙視為一圓柱體且密度皆相同,接著由圓柱體積公式及密度公式 :


將無人探測機從宇宙失重落下的位置視為警視廳的正上方,離地30km處(也就是引爆炸藥的高度)的順時速度為10km/s,不計空氣阻力,重力加速度為10m/,炸藥爆炸時會改變太空艙墜落的方向。

    將炸藥產生的能量視為水平衝擊,不影響鉛質落下的速度,爆炸釋放的能量會使太空艙進行水平拋射運動。

    接著由下圖可知,警視廳本部到博弈塔(東京填海地區)的直線距離為11.63km(約12km)。


四、禍不單行

    爆炸後太空艙會因為炸藥衝擊而得到一水平方向的力,也就是說爆炸造成的平拋運動,不影響鉛質速度,爆炸前後落地時間不會改變。已知改變軌道的太空艙會撞上博弈塔,又太空艙在爆炸後第3秒末時(落地瞬間),要擊中相距警視廳(原落下位置) 12km處的博弈塔,可以推算出爆炸後太空艙的水平速度為(km/s)。 


安室與柯南將車駛至高20層樓的廢棄大樓,高度約為3=60(m),柯南由離地60m高處將足球踢向墜落中的太空艙,假設柯南踢球的力道為鉛直向上,一顆普通足球的平均重量為440g,使球做一鉛直上拋運動,且足球與太空艙碰撞時,要讓太空艙產生1m的軌道偏離,也就是說球向上的鉛直速度要大到足夠讓太空艙鉛直下降的速度降低,使其落地的距離延後1m。若柯南所踢的足球接觸到太空艙的瞬間為落地前一秒,碰撞前,太空艙最後一秒的水平位移原為4km=4000m,碰撞後,要延後1m落地,也就是說,最後一秒內要行走的距離變成4000+1m。


如果想讓太空艙偏離原本落下的軌道,柯南至少要讓一顆440g的足球產生將近10000m/s。

那麼究竟需要多大的力道才能讓球產生比音速還快的速度呢 ? 這個速度就連M16突擊步槍(子彈射出的速度為1450m/s)也無法超越。

 
五、大危機背後的數字

那麼,41604.42N的力量又有多大呢?如果對牛頓這個單位沒有概念的話,可以用1kgw=10N來換算,大約是4160.442kgw的重量,就連武林中的風雲人物李小龍,一也只能踢出700kgw的力量,再者以一個小學生的外表與肌肉量,想踢出超過4160kgw的力道,根本違反了人體工學,想做到幾乎不可能,但從成功的結果來看,應該要將一切歸功青山岡昌老師(名偵探柯南的作者)過人的想像力。

六、有朝一日

    或許在未來科技的進步之下,宇宙並非遙不可及,但探索其奧秘的同時,勢必會有些負面的影響,例如大量的探測機要從宇宙帶回遙遠星球甚至星系的樣本,又或是突然有巨大太空垃圾撞擊地球時,一定會對地球造成傷害,但若科學家們能製做一台機器,讓某物體(例如足球)在極短的時間內獲得極大的加速度,藉此改變其落下的軌道,將能減少對地球的傷害。

參考資料
東京都港灣局https://www.kouwan.metro.tokyo.jp/zh-tw/information/reclamation/index.html每日頭條-以色列將發射登月無人探測器https://kknews.cc/zh-tw/science/op89vj6.html

「謊」如昨日|2019|高中職專題報導|佳作

作者 吳思羽、張語宸、陳祐緯/立志中學

在一個黑乎乎的長夜,北風把森林颳得沙沙響,整座森林漫滿黑暗氣息。但,森林的中央,一間亮著黃光的小木屋、一盞不滅的油燈、一張搖晃的木椅、一盒老舊的工具箱、一位佇立窗前的老爺爺、一塊直立的木頭,把黑暗的氣息悄悄的散開,為黑森林帶來一絲暖意。

「叩、叩、叩」「叩、叩、叩」,在老爺爺的巧手下,一隻栩栩如生、活靈活現的小木偶現於窗前。來自仙界的小仙女為了獎勵老爺爺替許多木頭注入新面向,及其在生活方面的節儉,便賦予小木偶健康的五歲生命,使他能像一般孩子一樣快樂生活。但為了使小木偶具有端正的品行,便與小木偶約法三章,一旦小木偶說謊成性,他便會受到處罰,沒辦法變成真正的小男孩;反之,只要他保持良好的品格,等到六歲生日一過,小仙女大手一揮,他便能成為一位天真爛漫的小男孩,像其他童話故事的主角一樣從此過著幸福快樂的日子。

老爺爺感激小仙女的相助,激動地將小木偶命名為「皮諾丘」,皮諾丘就此誕生。

小仙女和皮諾丘之間的約定是這樣的:

  1. 皮諾丘在正常且沒有外力干擾的情況下,鼻子會以0.5公分/天的速率生長(畢竟那是根樹枝),倘若皮諾丘說謊則鼻子當時的長度將被乘上1.5倍。
  2. 要是皮諾丘的鼻子長超過老爺爺面積五坪大(大約是16.528925平方公尺,為方便計算以下取整數16平方公尺)的屋子,那麼便會被小仙女打回原形,變成木頭。也就是說在這一年內(5歲到6歲)他的鼻子最長不能超過房子的對角線(4√2公尺,大約等於560公分)。

由於皮諾丘誕生的當天已經夜幕低垂,所以他沒有機會說謊,因此以他(5+0.5)公分短小的鼻子安然度過他降臨後的第一夜。故事說到這裡暫時打住,我們必須先替皮諾丘做好這一年的打算: 假設皮諾丘一天只說一個謊,那麼想要成為一位貨真價實的男孩,他在這一年內能說幾次謊呢?

為了求得說謊次數的最大值,我們取皮諾丘鼻子還不長(底數還不大)的日子來計算,藉此我們得到以下算式:
(5+0.5)*1.5n≦560
→1.5 n≦560/5.5
→nlog1.5≦log102
→n0.1761≦2.0085
故n小餘等於11.4,換句話說皮諾丘理論上最多可以說11次謊。

但,人生就是這個但。注意到了嗎,我們說的是理論,實際上皮諾丘最多只能說10個謊言,因為根據我們更進一步的計算和演繹,發現5.5*1.511+0.5*[365-(11+1)]=652.24>560,說11次謊之後在接下來的353天裡皮諾丘的鼻子仍會超過預先設定的最大長度(560公分)。

至於說謊次數的最小值呢?我們從365天往回推算,得出了皮諾丘在倒數三天連續說謊便會遭到小仙女懲罰的結論:[5+0.5*(365-3)]*1.53=627.75>560 經過一連串的計算,我們可以知道皮諾丘若想要在6歲生日當天蛻變成為活蹦亂跳的男孩,那他這一年能說的謊言次數介在3次到10次之間,且越接近生日,就越需要謹言慎行。

無論如何,理論終歸是理論,有時候人的言行心性是無法被量化的。或許在小仙女的心中誠實的孩子才是最符合社會期待的,但事實並非如此。

這個故事的結局,很遺憾的必須告訴你,皮諾丘的鼻子最終還是長超過了爺爺家最長的距離,但請先別急著批評皮諾丘是個謊話連篇的社會敗類,事實上皮諾丘這一年來只在自己生日前夕說過這麼一次謊,不幸的是,他一次說了三個。

生日前夕,年邁的爺爺病得嚴重,他把皮諾丘叫到床邊,對他說:「爺爺時日不多了,你以後可要好好保重自己……」皮諾丘看著爺爺消瘦且佈滿皺褶的臉龐哽咽的說:「不會的爺爺,您還很健壯,千萬不要說這種話……」

這是第一個謊。

明明人都看得出來,爺爺確實時日不多,皮諾丘握著爺爺枯槁的手捨不得面對現實。「皮諾丘,爺爺有你這個孫子是最我一生中最幸福的事了!要是以後爺爺不在了,也要每天快快樂樂好嗎?」爺爺氣若游絲的說,「我會的爺爺!」皮諾丘壓抑自己的悲傷,咧著嘴,露出最燦爛的笑容說。

這是第二個謊。

皮諾丘心裡知道,爺爺離開後他一定會很傷心,很傷心……

爺爺的身體逐漸僵硬,皮諾丘緊張的抱緊爺爺弱不禁風的身子,好似稍一鬆手,爺爺的身軀便會隨風吹散。他大聲的說:「爺爺!不要丟下皮諾丘,我們永遠在一起!」好不好?

這是第三個謊。

「永遠」二字是世上最大的謊。

永遠年輕、永遠愛你、永遠的朋友、永遠在一起……都是不可能的,「永遠」總是被時間無情的捉弄。

就在皮諾丘以為自己將要和老爺爺一同僵硬歸為一堆隨風而逝的塵土時,仙界的小仙女透過神奇透視眼,望見了這令人感傷的一幕。小仙女翻開寫滿算式的計算紙,次數已全部用盡,但皮諾丘並非每次說謊都出於惡意,而是在謊言的背後藏有溫暖的故事,這點使得小仙女對端正品行有了全新的體悟,於是決定下凡,改變一年前訂下的規則。小仙女捲捲衣袖、手一揚、口中喃喃唸著咒語,皮諾丘成了一位會哭會笑、有血有肉的小男孩――一位成長了許多的男孩。

嫦娥遊「ME」的距離───來一趟奔月之旅吧!|2019|高中職專題報導|佳作

作者 張綺殷、陳采菁/龍津高中

一、神話傳說
各地廣為流傳的一個神話故事───《嫦娥奔月》。天空曾同時出現十個太陽,嫦娥的丈夫后羿,因為同情受苦百姓而射下九個太陽(即為西王母之子),故前去請罪。西王母非但沒有生氣,還給了后羿一顆長生不老的丹藥,實則是想看嫦娥和后羿是否會為了丹藥而爭吵。天真的后羿將此事告訴友人,嫦娥為了不讓丹藥落入友人手中,逕自服下丹藥,就此成仙奔往月球,與吳剛和玉兔一同生活。

嫦娥奔月的故事眾說紛紜,按照中國自古流傳的思想,有罪之人須下地獄受罪,若嫦娥是為己成仙之利,哪麼她又怎會上天呢?因此我們取上述說法論之。

這份美麗傳說在詩人筆下化作淒美文字,「雲母屏風燭影深,長河漸落曉星沉。嫦娥應悔偷靈藥,碧海青天夜夜心。」李商隱娓娓道來嫦娥無限寂寞之感,為這淒美的愛情故事又添一分憂愁。

二、神話背後的實話
神話故事總有科幻奇妙之處,但嫦娥究竟是如何順利抵達月球的呢?
嫦娥即使是神話故事的角色,但同是人族的一份子,生而為人(我很抱歉),要有氧氣才得以生存。但我們在此假設嫦娥可以不吃不喝、不需睡眠、不受地心引力影響,只需供給氧氣維持生理機能,那麼嫦娥抵達月球需要多少時間以及多少氧氣呢?

(一)天上人間的距離
在探討旅行到月球需要多少時間前,要先得知地球到月球有多少距離。月球是以橢圓的軌跡繞行地球,月球繞地球的半徑時時刻刻在改變,故取其最長半徑和最短半徑的平均值推估,過程如下:


以一個普通成年人行走的速度而論,有四種走法:飯後的速度大約是 1.5~1.8 公里/小時,正常的速度大約是 4.5~6 公里/小時,快走的速度大約是 6~7.5 公里/小時,急行軍速(小跑)大約是 7.5 公里/小時以上。由於神話故事中,嫦娥是以飄行的方式前往月球,在此假設嫦娥的平均速度為普通人的急行軍速(7.5 公里/小時)之快,嫦娥抵達月球的時間為地球到月球平均距離38.45 萬(公里)÷飄行速度 7.5(公里/小時) = 51266.666667 ≒ 51267(小時),相當於51267(小時) ÷24(小時) = 2136.125 ≒ 2136(天)。月球公轉 1 次,地球自轉大約 27 天,嫦娥到月球的天數,相當於月球公轉 2136(天) ÷ 27(天) = 79.11(次)。月球以 1.02 公里/秒的速度繞地球公轉,用時27.323 天完整繞地球一圈,為 27.323(天) x 24(小時) x 60(分鐘)x60(秒)=2360707.2(秒)。根據 S(距離) =T(時間) x V(速率)的公式,可知繞行一次的距離為 2360707.2(秒)x1.02(公里/秒) =2407921.344(公里)。因為多了 0.11 次的距離,故為 2407921(公里) x 0.11(次) = 264871.34784 公里,所以嫦娥的目的地從月亮原本出發地往前推264871.34784 公里的距離(如下圖所示)。

(二)O2:all to the moon
了解地球到月球的距離以及時間後,緊接著要考量這趟旅途需要多少氧氣量。根據此文章(參考資料 1)所述,以人每次呼吸空氣約 0.5 公升,每分鐘呼吸 16 次計算,可得知:1 分鐘的呼吸空氣量為 0.5(公升) x 16(次) = 8(公升),而一天的呼吸空氣量為 8(公升) x 60(分鐘)x24(小時)=11520(公升)(採 11000 公升計算)。接著再求出一天會吸入的氧氣量,空氣中氧氣佔約 20%,故11000(公升) x 20% = 2200 公升;而人體並非使用全數吸入的氧氣,大約有15%的氧氣會被排出體外,可得呼出的氧氣量為 11000(公升) x 15% = 1650(公升)。因此,人一天的純氧消耗量為2200 – 1650 = 550 公升。求出嫦娥一天所需的氧氣量後,就可推知嫦娥抵達月球所需的氧氣量為 550(公升 )x 2136(天) = 1174800(公升)。

(三)呼吸的沉重代價
此時,已得知嫦娥這趟旅程所需的氧氣量後,就該替嫦娥分析思考如何持續供應氧氣讓她順利抵達月球?我們決定試以最廣為使用的氧氣瓶供應嫦娥這趟旅程所需的氧氣量,可用以下公式:PSI(壓力表數據) ÷ 14.2 x 瓶身的水容量(L) = 氧氣容量(L)(詳見參考資料 4)。我們以某廠牌氧氣瓶 1700(SPI),瓶身水容量 0.52(L)作計算:1700(SPI) ÷ 14.2 x 0.52 = 62.25(L)得氣體容量約 62.3(L)一瓶。氧氣瓶內的氧氣經壓縮成為液態氧,液態氧是一種淡藍色的液體,需儲存在-181°F(-118.33°C)的溫度之下,通常藉由一個雙層的真空球形瓶儲存,其中瓶內夾層真空主要來隔絕空氣的熱傳導,使熱氣不致傳導至液態氧而使其蒸發,所以人無法直接使用液態氧,會變成冰棒。氣態氧的密度為 1.429 公克/公升,可以此公式:密度 = 質量 ÷體積,求出氣態氧的質量為 1.429(公克/公升) = 質量(公克) ÷ 1174800(公升(所需總氧量))=1678789.2 公克。物質的變化裡,狀態的改變並不會造成質量的改變,因此液態氧質量=氣態氧質量 =1678789.2 公克。得到質量後就能求出液態氧的體積,液態氧的密度為1.141(公克/公升),故1.141(公克/公升) = 1678789.2(公升) ÷ 體積 = 1471331.4636 ≒1471331.5(公升)。最後,我們可以知道嫦娥總共需要 1471331.5(公升) ÷ 62.3 = 23616.87801 ≒ 23617 瓶。這樣的行前準備就能讓嫦娥順利奔月了嗎?

(四)大氣層的冰與火之歌
可是這個想法終究只是理想,起初的假設僅有嫦娥得以摒除生理不受地心引力引響,然而嫦娥在抵達月球前還須經過變化多端的大氣層。地球大氣層包括,從地面往上,對流層(包括行星的邊界層或最底層的大氣)、同溫層、中氣層(散逸層)、熱成層(增溫層,包含電離層和外逸層),還有磁層。每一層有不同的氣溫,溫度隨著高度而變化。


對流層是地球大氣層中最靠近地面的一層,氣溫隨高度升高而降低;在對流層,高度每上升1 公里,氣溫會平均下降 6.49℃。這種氣溫遞減是因為絕熱冷卻的出現。當空氣上升時,氣壓會下降而空氣隨之擴張。為了使空氣擴張,需要有一定的功(W)施予四周,故此氣溫會下降。

在中緯度地區氣溫會由海平面的大約+17℃下降至對流層頂的大約-52℃。而在極地(高緯度地區),由於對流層相對地薄,所以氣溫只會下降至-45℃,相反赤道地區(低緯度地區)氣溫可以下降到-75℃;平流層是地球大氣層裡上熱下冷的一層,隨著高度的增加,平流層的氣溫起初約 216K(-57.15°C),升至 20-32km 後氣溫迅速上升,到了其上界達到-3.15°C 至 16.85°C,與地面氣溫相近。中氣層的氣溫隨高度的上升而下降,夏季時層頂的氣溫可以低至−100°C 以下;熱層氣溫主要受太陽活動而決定,這是因為氧原子強烈吸收波長小於 0.175 微米的太陽短波輻射而升溫的緣故。熱層的氣溫會因高度而迅速上升,有時甚至高達 2000℃。但因為分子之間的距離太疏,它不會令人感到任何溫暖,就連一支普通的溫度計也只會量到 0℃以下。

三、理想與現實
人類本質上是熱帶動物,18 世紀英國一個實驗生理學家勃萊登(C·Blagdon)於 1775 年進行的自體試驗表明:如果空氣乾燥,人可以在 120℃室溫下停留 15 分鐘,並無不良反應,體溫仍可保持穩定,但寒冷對於人體卻是一大挑戰。俄羅斯奧伊米亞康的一個小村子曾創造了人類居住地區的最低溫紀錄—— -71.2℃,那裡被稱為名副其實的「地球寒極」。

依據上述資料分析得知氧氣本身具有質量,而如此大量的氧氣有相當可觀的重量,飛往月球要攜帶如此大量的氧氣就需要耗費極大力氣;再者嫦娥即使順利通過對流層和平流層,在經過中氣層層頂時,因劇烈溫差就有被凍死的可能,況且人體內的壓力為一大氣壓,當進入真空狀態時,就會因為壓力的差異而自體炸裂,登月之旅也止步於此。

嫦娥奔月不管在過去還是今時的技術下終究是理想,神話之所以為神話,是因為蘊含人類追求夢想的期盼。在未來的某一天裡,若有時光機的出現,屆時再回到過去邀請嫦娥來趟登月之旅吧!

參考資料
1.每人每天需要多少氧氣?
http://wap.sciencenet.cn/blog-612874-1053569.html?mobile=1&fbclid=IwAR0OtWZHnBKPQdix-u7Han
LG_9PW_ufnjxnAcjJbkTscuTszS1B2iMFYSTA
2.從地球走到月球需要多久?
https://www.youtube.com/watch?v=W5YG-1WYgt0
2.人能承受的極限溫度是多少?
https://kknews.cc/zh-tw/news/qolzbb.html
3.大氣層
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%A4%A7%E6%B0%94%E5%B1%82
4.氧氣瓶中的氣體容量該如何計算?
https://blog.xuite.net/fengcheno2/wretch/178134093-%E6%B0%A7%E6%B0%A3%E7%93%B6%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%B0%A3%E9%AB%94%E5%AE%B9%E9%87%8F%E8%A9%B2%E5%A6%82%E4%BD%95%E8%A8%88%E7%AE%97%3F?fbclid=IwAR3R_C5U1CKfXkYW0st3pxPdL-R7P_9Msk8qLt2JOEq8XyERbLOQuIeySho

「數」醉|2019|高中職新詩|金獎

作者 甘庭昀/市立臺中第一高級中等學校

不必為我哭泣

是我 願意墜入這場迷離

踉蹌爬過三次函數 料峭中

寸 步 難 行

/

矩陣的框架太沉

向括號憤恨地衝撞

換來輕輕轉置 只值漠然的翻身

腦殼清疼 

非 干 病 酒

是嚴峻的牢籠堅硬

/

機率的弦聲太緊

在集合惆悵地彈撥

喚來殷殷期望 卻得相同的事件

頭暈目眩 

不 是 悲 秋

是無情的八股窒息

/

不須將我扶起

朋友啊

淡酒早已代我譜定

人生 匍匐在圓方程式

瞧杜康笑得 咯 咯 作 響

諷我是

飛不出投影的鳥禽