作者 劉姵均／北一女中

青春是個圓
圓心在名為人生的一次函數上平移
每個人有各自的方程式
極力計算著圓心與圓心間的距離
是外離、外切、或者相交
妄想著凍結時間與空間
卻阻止不了時間的軌跡揚長而去
感謝在這段日子裡
成為了彼此最難忘的記憶

作者 薛芳米／延平中學

一艘貨船從美國的港口出航
向西非沿海駛去
要是西非的人們知道 船裡面裝了些什麼
——槍械
他們一定希望 那船的速率 被除以二、除以四、除以一個無限大的數字

某些人為了權勢地位
總是挑起種族紛爭
來達到自己的利益

貪財的軍火商和昏君的手一握
註定了一群人的死
因為他們不是族人
死亡人數：一、二、三…
後來 他們也懶得一個人、一個人地數了
單位換成了戶
甚至村落…
犯罪率的分母—每十萬人
它背上的孩子 似乎長大了
越來越重了

而輸出國本土呢
大概是五十步與百步之差吧
——槍械
死亡人數：一、二、三、四、五…
令人慶幸
那裡有執法者
來細數這些數字
來維護「正義 」
這裡的人命
可是要錢的呢！

史達林說
「殺一個人
是謀犯殺罪
但殺一群人
就只是數據統計了」

看來
生命的價值
不是一比一
而是與國家的發展程度
成正比

唉…真是不等值的「一」！

作者 張淯翔／華盛頓高中

在這渾沌的現代
我不奢求改變世界
我只求不被世界改變

有一個數能代表我
誰乘以我，值不會變
誰除以我，商不會變
當做誰的指數，它仍然不會變

有一個數能代表我
幾次方都能保有自我
倒過來仍然是我
開根號也還是我
階乘自己不會改變我

我希望，一就是我
一能代表
在機率裡全部的我

作者 林子惟／明道中學

飛越天際
橫跨二四象限
嬌小的你
幾步之遙外消逝
伸長了手  也換不來你的回眸

天地兩端
永不相交的線
無情的你
靠近我便離去
用盡了力  才從挫敗中爬起

雪白的身影
從眼前略去
你
是我無解的題
得耗盡多少力氣
才能演算出你的軌跡

作者 周予婕／博愛國中

步步而高升
漸進式遞增數列
是我日漸成熟的心智
及這一副持續茁壯的軀體
么妹對我依賴漸深使二人宛若母女
娘三番向我吐露內心憂愁有如忘年之交
師長們將我的目標不斷移向地平線的另一端
讓我乘著這規律的浪、載著被賦予責任與期望
披著理想、手握能力四大利器趕往天海之界追捕未來
這眾人眼中的「一個人的成長」 是一連串的增加 是不斷的豐富

然而

當午夜夢迴獨自一人時 我才察覺「自己的成長」亦是許多的失去
不能再化身為小貓 將自己圓滾的身子沐浴在四月暖陽下
不能再提只小音響 在花草間尋找仲夏夜之夢的劇場
並將整個下午的愜意完整收錄在典雅的三角亭中
從前的夜晚 當身旁的巨人用鼻子打出暗號
我會以那鼾聲為節奏 填起詞來哼上歌
這一切 卻為生活的庸庸碌碌吞噬
除了我這熱愛胡思亂想的人
再無第二人能深刻領悟
那一連串的遞減數列
正是無法止住的
成長的嘆息

作者 劉至軒／金華國中

是甜是苦
是蜜是毒
抑揚頓挫的⾳符

淨化⼼靈
進入推理與邏輯的世界
陶醉其中的千變萬化
多麼驚艷
⼀次比⼀次絢麗璀璨
窺探萬物內的齒輪

誰的詩詞
作得出此般純粹的美
不加雕飾
凝練的符號中蘊藏無限可能

誰的筆刷
捉得著那頓悟的瞬間
背後所有的⾟勞
確實
沒有比迷失⽅向更令⼈絕望的
也沒有比⼀番奮⾾後
柳暗花明⽽令⼈⼼花怒放的

奮⾾吧！
真理是給勇者的瓌寶
原本燙熱不堪觸碰的
已化為五光⼗⾊的⽟鐲

作者 凃凱翔／桃園市立文昌國中

作者 林昕妤／基隆市二信高級中學國中部

你說  我像函數

像缺乏安全感的自變數

翹首盼望  一個了解我的知音

你說  我像函數

像太自我中心的應變數

殷切盼望  一群圍繞我的行星

我說  我像函數

像癡情得過分的自變數

默默等待  一個屬於我的笑容

我說  你像座標系

像缺乏自信心的原點O

朝夕守著  那個只有你的角落

我說  你像座標系

像太兢兢業業的座標軸

仔細描繪  那種壓抑你的格局

你說  你像座標系

像遼闊得誇張的四象限

細細品味  那些屬於你的表情

你能包容  愛嬉鬧  愛撒嬌的我 讓所有的我  遇到你  都有解

作者 楊子毅、吳冠宏

一、 研究緣起

「瀧、瀧」

聲音彷彿快要哭出來般急切，宛若遠處閃爍的星星般寂寞而顫抖。

──《你的名字》，小說，第 12 頁

從夢境中醒來，幽闃裡彷彿迴盪著一個孱弱的女聲，一次次呼喊著「瀧」，隨著簾後的暮 光漸次逸散。今天下午第八次重看新海誠導演 2016 年所推出的動畫電影《你的名字》，簡直 以為自己也和其中角色靈魂互換了……「黃昏之時啊，分身之時」。

難以忘懷那一幕:宮水三葉手持油性筆，正欲在立花瀧手心寫下名字時，夜晚降臨，「喀 噠」一聲，筆掉落在地，三葉消失了;瀧腦海中關於三葉的記憶亦被不知名的力量一把抹去。 神秘的黃昏之時，在影片中不到短短的三分鐘，不禁令我們陷入長考:黃昏之時究竟有多長 呢?能否以數學運算出其時間長短，讓相差三年時空的瀧和三葉，得以把握每一分秒，敘舊、 談心、想未來?如果可以再多個一分鐘，讓三葉寫完名字……

  「……本來想告訴妳……」

 「不論妳在世界上的哪一個角落，我一定會再去見妳。」

──《你的名字》，小說，第 202 頁

二、 文本回顧

於本章節，筆者先說明電影中的相關設定，諸如宮水一家的巫女體質、組扭編織、口嚼 酒等，期以彰顯「黃昏之時」的重要性。

(一)宮水一家的巫女體質

在糸守小鎮的宮水一家，其巫女血統讓她們得以和另一個時空的人互換靈魂。此事來得 突然，居住在東京的男高中生─瀧，一日驚醒，赫然發現自己變成名為三葉的女高中生!乍 看又是一則時空穿越的窠臼，新海誠卻能賦予深意於這段奇異歷程:糸守小鎮即將被彗星摧 毀，三葉和瀧必須及時通知居民避難，方能保全大家性命。

(二)組扭編織、口嚼酒

過去的一場大火導致古代文書付之一炬，故糸守的傳統文化組扭編織、口嚼酒等，均徒 具形式，後人並不知悉其中真義。所謂「組扭編織」是把多種繽紛的細線纏繞成一條繩子， 完成後呈現各種圖案。而此條費時費工編織成的「組扭」，三葉先以其為髮帶，爾後轉贈瀧， 瀧則將其綁於手腕作為幸運繩;此繩可謂兩人相遇相知的憑證與羈絆。外婆如此說道，把線 連結在一起是「結」，把人連在一起也是「結」，時間的流動亦同，此為神明的名字和力量; 組扭編織亦是神明的技術，展現出時間的流動。此不僅深化組扭的意涵，亦優美詮釋出抽象 的時間觀念。

而口嚼酒是三葉與瀧得以相見的關鍵之一。何也?外婆說道:「不論水、米或酒，只要是 把食物放入身體的行為，也叫做『結』。因為進入身體的食物會和靈魂連在一起。」(p.88)瀧 亦被告知此口嚼酒為三葉之「半身」，意即靈魂的一部份;因此，儘管三葉已死亡三年，當瀧 飲下三葉的口嚼酒，即能與三葉再次進行暌違已久的靈魂互換。

(三)黃昏之時

文本中提及「黃昏之時」又稱「分身之時」，言簡意賅地埋下絕佳伏筆。日語中「彼何 人(tasokare)」為「黃昏(tasogare)時分」的語源;由於傍晚非屬晝夜，兼以人的輪廓變得 模糊、無從辨識，於此時可能遇到妖魔或死者，故亦可稱「逢魔時刻」。此外，文本中亦說 明，於糸守小鎮，當提及「傍晚」，「分身之時」是最常聽聞的說法。由此可以推測，新海誠意圖結合「逢魔時刻」和「分身之時」二說，讓三葉與瀧終得相會於黃昏之時。

三、探究分析

根據民用黃昏的定義(註一)，黃昏時間由太陽落到地平線以下(太陽仰角0°)開始計算，結束於太陽位在地平線下方6°時(即太陽仰角-6°)，然而，當人們位於地球表面不同位置太陽的仰角要如何計算呢?

由於地球自轉之緣故，人在地球表面觀測太陽，可得太陽沿著赤道或緯圈面做相對運動， 亦即，假設以地球為中心(圖一中深藍小球)，以人的視角看太陽每日的運動軌跡，可視為 太陽每日環繞地球一圈，以圖一中大球上的橘色圓圈為太陽某日期環繞地球的軌道，太陽在 一年內的不同季節(日期)直射地球的不同緯度，最北為夏至時太陽直射北回歸線，最南則 為冬至時直射南回歸線，如圖一。

假設太陽環繞地球的軌道為圓形(不考慮遠日點和近日點之影響)，日地距離為 1AU，θ₁為太陽一年內某日期直射之緯度(本文定義北緯緯度為正角，南緯緯度為負角)，太陽軌道位於平面z=sinθ₁上，軌道半徑為cosθ₁，因此太陽軌道方程式為

再假設單日內太陽與軌道圓心連線掃過的角度為太陽的方位角θ₂(如圖二)，

而方位角360°對應 24 小時，亦即方位角每轉動15°，意味著時間經過一小時。由以上條 件可得太陽的位置為

考慮觀測者所在之地平面，如圖三

假設觀測者所在緯度為θ₃ ，無論觀測者所在之經度為何，其同日太陽軌道皆相同，為方 便討論，不妨假設觀測者 x 座標為 0，則觀測者位置坐標為

因此地平面之法向量可為

而地平面方程式為

利用地平面法向量與太陽的位置向量求得太陽仰角之餘角(註二)，即可得仰角，如圖四所示:

電影場景中，兩人見面日期為 10 月 4 日，當日太陽直射緯度θ₁=-5.3°，見面地點是日本岐阜縣飛驒市，所在緯度θ₃約為36.23°令方程式(1)中，繪製函數圖形如圖五

觀察太陽仰角與時間的關係，取出圖五中代表太陽仰角為0°的方位角θ₂=176.103，代表太陽的仰角為-6°的方位角θ₂=183.564，因此太陽在軌道平面上轉動方位角

轉換成時間就是

在當日當時當地，黃昏之時只有短短的 29 分鐘，以致於三葉無法及時寫完名字，令人然，可不可以再延長一分鐘呢?

在文本中，三葉曾經抱怨糸守當地日照時間短，那麼，如果能移動到其他日照時間長之處，黃昏之時是否就能增加?運用相同方法計算同日期(10 月 4 日)各緯度黃昏時長，得表一如下。

觀察表一，我們發現日照短的高緯度地區，黃昏之時反而較久!為什麼呢?

由圖六圖七可知，高緯度地區黃昏起迄點的割線斜率絕對值較低緯度小

由於仰角變化量相同，所以與方位角變化量Δθ₂成反比，因高緯度之較低緯度小，故高緯度的Δθ₂較低緯度大，以致黃昏時距較長，所以瀧跟三葉如欲增加一分鐘的見面時間，必須移至北緯 39 度之處(如岩手縣)，然而兩地相距 268 公里，即使搭乘時速 200 公里的民用直升機也需費時 78 分鐘!真是令人遺憾，「多一分鐘」礙於現實而無法達成。

四、結論與建議

「黃昏之時」有 29 分鐘，應足夠讓兩人寫完名字;但接下來會出現一個問題:瀧寫的不 是名字，而是「我喜歡妳」。那麼，即使黃昏之時再久，三葉依舊無法得知瀧的名字。為什麼瀧要這麼做呢?

這是因為，三葉不知道自己比瀧的時空早了三年，當她特地前往東京尋找瀧時，瀧冷淡 的反應讓她心碎不已。爾後，瀧透過三葉的身體記憶，明白其心路歷程，因此他決定，這一 次，換他不論天涯海角地尋覓三葉;就算她忘記他也無妨，只要她活下來、記得他的心意即 可。所以，瀧想單方面獲得三葉的名字，這是一種守護的心情;其中關鍵，在於一定要算好 「黃昏之時」的長短，太早寫，情境不對味且有被發現之虞。對瀧而言，最完美的設想是， 三葉寫完名字之後剛好消失;所以算出這 29 分鐘，著實意義非凡。瀧要拯救的不只是系守， 他真正最想做的是守護三葉，包含生命和心。

因此我們建議，瀧可以用前 26 分鐘，敘舊、談心、想未來，留 3 分鐘提議寫名字:1 分鐘偷寫告白，1 分鐘讓三葉寫名字，1 分鐘當作緩衝;如果沒事做，就執起三葉之手、淚眼相 對(她不要偷看手心即可)，以上。

註一 本文採用民用黃昏定義(civil twilight)

http://aa.usno.navy.mil/faq/docs/RST_defs.php

註二 由內積的定義，(兩向量的夾角)

移項之後可得 cos(兩向量的夾角) 

作者 謝亞彤、林芳緯

「賽局」這個名詞已頻繁的出現在我們生活中，學者們將人類的互動科學化後，成為了 有趣的賽局理論，廣泛的運用在日常生活中。但早在 1944 年數學家馮·諾伊曼與奧斯卡·摩根 斯特恩合作著述《賽局理論與經濟行為》前，西元前四世紀的中國，著名的軍事家孫臏就已 運用賽局理論讓自己在紛亂的戰國時期嶄露頭角了!

話說可憐的孫臏被同窗龐涓陷害，龐涓仗著自己是魏國大將軍砍斷了孫臏的雙腳又在他 臉上刺字，如此侮辱人又不乾脆的痛下殺手，日後對方必定會加倍奉還的。果然天無絕人之 路，一日齊國使者出使魏國首都大梁，孫臏以刑徒的身分秘密拜見使者，以自己三寸不爛之 舌的功力讓使者偷偷把自己運回齊國，並得到齊國將軍田忌的賞識，待孫臏如上賓。不久《史 記孫子吳起列傳》中所記載家喻戶曉的「田忌賽馬」正式展開:

忌數與齊諸公子馳逐重射。孫子見其馬足不甚相遠，馬有上、中、下輩。

齊國的大將軍田忌很喜歡賽馬，並時常與齊國眾多公子賽馬。有一次，他決定挑戰齊威 王的馬匹。他們商量好，將各自的馬分成上，中，下三等。比賽的時候，雙方以上馬對上馬， 中馬對中馬，下馬對下馬。

在這裡我們不用任何公式就能百分之百證明田忌會輸，齊威王與諸公子每一個等級的馬都要比田忌的還強，因為他們是貴族諸侯，區區一個將軍如何與他們匹敵?(當然，如果兩 方實力不分軒輊也不用賽馬了，田忌大概早因功高震主被做掉了。)

如表(一)所示，田忌不出讀者所料的屢戰屢敗。正當他覺得掃興時，他的幕僚孫臏向他走來(等等，他的腳不是斷了嗎?)。孫臏在經過前一場比賽的觀察後胸有成竹的向田忌打 包票:「大人您儘管下注，臣必讓您取得最終的勝利!」

田忌縱使疑惑但為了面子為了錢依舊加碼他的賭金，而齊威王屢戰屢勝，正在興頭，看 到田忌不服輸的舉動，也霸氣的命令部下把前幾次贏得的銀錢全部抬來，還額外押了一千兩 黃金。齊威王輕蔑地說:「那就開始吧!」一聲鑼響，比賽開始了!

孫子曰:「今以君之下駟與彼上駟，取君上駟與彼中駟，取君中駟與彼下駟。」既馳三輩 畢，而田忌一不勝而再勝，卒得王千金。

鑼聲鏜鏜響，田忌的心蹦蹦跳。第一局孫臏先以下等馬對齊威王的上等馬，結果田忌又 輸了。齊威王站起來嘲諷的說:「經過前幾次的慘敗，將軍你還學不到教訓嗎?」田忌沒有答 應。(實在不是因為要故作姿態，而是他的心現在正為了賠輸的錢淌血阿!)接著進行的第二 場比賽，孫臏拿上馬對齊威王的中馬，終於獲勝了一局，這時齊威王開始面露緊張了。最後 一局比賽，孫臏拿中馬對齊威王的下馬，又戰勝了一局。這下，齊威王簡直不可置信，田忌 竟然以同樣的馬匹，三戰兩勝贏了齊威王!如表(二)所示，比賽結果大挫齊威王的傲氣。

田忌與齊威王的賽馬屬於賽局論(Game Theory)中的非合作賽局(Non-cooperative Game)，即人們在利益相互影響的局勢中會如何制定策略使自己的收益最大。在表格中，賭金轉換成 一分，因為在嚴格公平的競爭下，一方的損失也就是對方的得利，這種賽局往往是有輸有贏 拚得你死我活，所以雙方玩家不可能存在合作的可能，而他們的收益與損失的總和永遠為 「零」。

因此我們將孫臏幫助田忌的比賽結果轉換為下表(三):

表格中的(x,y)，x表示田忌的勝負，y表示齊威王的勝負。-1與1則分別代表敗與勝的報酬。田忌獲勝的情形有三種，分別是上對中、上對下、中對下，但同一局(三場)比 賽中不能派出兩次上馬，因此本賽局對田忌的最佳策略，就為下對上、上對中、中對下。

孫臏能選擇正確的出賽馬匹順序為 1/3×1/2×1/1=1/6 但又因為齊威王是按原先規定以上中 下的次序派馬匹，因此獲勝機率就變成1了。(所以故事中田忌能輕鬆取勝，都要歸功於齊威 王是遵守規定的乖寶寶真君子!?)

這場賽馬又可稱為靜態賽局(Static Game)，也就是齊威王與田忌同時採取行動，或者說，雖然不同時但後行動的人不能改變原有的出場順序，即使知道對方的出場序也不能改變自己 的。)

假如今天除了孫臏知己知彼，而齊威王也知道田忌的幕僚中有孫臏這麼厲害的角色，那 齊威王也可以與孫臏一樣顛覆規則，摒棄原本上中下的出場次序。這種賽局即稱為動態賽局 (Dynamic Game)，也就是兩人都能在對方行動後立即應變。如表(四)所示。(1,-1)、(-1,1) 的含意與表(三)相同，而(-3,3)為田忌三場連敗之意。

在更複雜的完全訊息動態賽局中，田忌的勝率為 6/36=1/6

如果有一天，齊威王與田忌雙雙來到現代，上演一場跨時代的穿越戀愛劇(喂!你們拿 錯劇本了!)進行一場 Bromance 的賽馬，按照現今盛行賽馬的香港賽馬會規則，馬匹分成五 等，意思是要比五場。假設五場出賽馬匹次序如故事一樣能隨意替換，那田忌獲勝的機率會 是多少?

首先依據馬匹由強到弱以 1~5 表示，若號碼相同則齊威王勝，會有 5!× 5!=14400 種的 出賽馬匹組合順序。若已知齊威王派出順序為(1,2,3,4,5)的馬匹出賽，則田忌可派(1,5,2,3,4)、(2,1,5,3,4)……等 27 組順序的馬匹出賽以贏得勝利。依此推類，在 14400 種馬 匹出賽組合中，田忌總共有27 5!=3240種組合可贏得勝利，勝率為3240/14400=9/40

對孫臏來說，算出的勝率 9/40 大於原先賽三匹馬的 1/6，我們或許可以預測如果孫臏穿越 時空來到現代，他也會是賽馬場的常勝軍!

時序來到三國時期，天下奇才諸葛丞相也有與孫臏同樣的見解(真是英雄所見略同)，還 特別指出孫臏的賽馬說實為兵說也。

諸葛亮在《權書·強弱》中接著說:「下下之不足以與其上也，吾既知之矣，吾既棄之矣。 中之不足以與吾上，下之不足以與吾中，吾不既再勝矣乎?」諸葛亮深諳權衡之計，唯有放 棄小利，才能保全大局，贏得最終的勝利。「得之多於棄也，吾斯從之矣。彼其上之有三權也， 三權也者，以一權而致三者也。」所以藉著這一場賽馬，孫臏要告訴齊威王的不只是單純的 賽馬而已，更是領軍致勝之道，齊威王能領略這種高深的寓意也不是泛泛之輩，齊國而後能 稱王於中原，自齊威王始也。

這場歷史性的賽馬，大概是孫臏最為人津津樂道的趣事了(人們總是喜歡看弱勢的一方 運用謀略反敗為勝阿!)，不僅讓他能獲得重用，其後他也才得以名顯天下，世傳其兵法，成 為中國軍事史上耀眼的星子。(也讓現今莘莘學子得到一個研究題材)

在現實生活中，我們也能藉著跳脫慣性思維，嘗試考慮對方各種可能的行動方案，並選 擇對自己最有利或最合理的策略(廢話，沒有人喜歡虧損，但正因為沒有人不會虧損，所以 更加凸顯賽局分析的重要性)，如此下回賭博時我們也能親自實踐孫臏的機智贏得更多錢!

參考資料:
· https://kknews.cc/zh-tw/news/3m9vjzg.html 每日頭條田忌賽馬與動態推理

·http://wiki.mbalib.com/zhtw/%E9%9B%B6%E5%92%8C%E8%B5%9B%E5%B1%80 MBA 智庫零和博弈

·https://talkecon.com/sawgame1-5/ 白經濟 賽局奪魂鋸 1.5 ·http://boktakhk4.pixnet.net/blog/category/1456108 田忌賽馬@故事欣賞