分類彙整:2018高中組

跟孫臏比一場賽馬吧!|2018|高中專題報導|第2名

作者 謝亞彤、林芳緯

「賽局」這個名詞已頻繁的出現在我們生活中,學者們將人類的互動科學化後,成為了 有趣的賽局理論,廣泛的運用在日常生活中。但早在 1944 年數學家馮·諾伊曼與奧斯卡·摩根 斯特恩合作著述《賽局理論與經濟行為》前,西元前四世紀的中國,著名的軍事家孫臏就已 運用賽局理論讓自己在紛亂的戰國時期嶄露頭角了!

話說可憐的孫臏被同窗龐涓陷害,龐涓仗著自己是魏國大將軍砍斷了孫臏的雙腳又在他 臉上刺字,如此侮辱人又不乾脆的痛下殺手,日後對方必定會加倍奉還的。果然天無絕人之 路,一日齊國使者出使魏國首都大梁,孫臏以刑徒的身分秘密拜見使者,以自己三寸不爛之 舌的功力讓使者偷偷把自己運回齊國,並得到齊國將軍田忌的賞識,待孫臏如上賓。不久《史 記孫子吳起列傳》中所記載家喻戶曉的「田忌賽馬」正式展開:

忌數與齊諸公子馳逐重射。孫子見其馬足不甚相遠,馬有上、中、下輩。

齊國的大將軍田忌很喜歡賽馬,並時常與齊國眾多公子賽馬。有一次,他決定挑戰齊威 王的馬匹。他們商量好,將各自的馬分成上,中,下三等。比賽的時候,雙方以上馬對上馬, 中馬對中馬,下馬對下馬。

在這裡我們不用任何公式就能百分之百證明田忌會輸,齊威王與諸公子每一個等級的馬都要比田忌的還強,因為他們是貴族諸侯,區區一個將軍如何與他們匹敵?(當然,如果兩 方實力不分軒輊也不用賽馬了,田忌大概早因功高震主被做掉了。)

表一

如表(一)所示,田忌不出讀者所料的屢戰屢敗。正當他覺得掃興時,他的幕僚孫臏向他走來(等等,他的腳不是斷了嗎?)。孫臏在經過前一場比賽的觀察後胸有成竹的向田忌打 包票:「大人您儘管下注,臣必讓您取得最終的勝利!」

田忌縱使疑惑但為了面子為了錢依舊加碼他的賭金,而齊威王屢戰屢勝,正在興頭,看 到田忌不服輸的舉動,也霸氣的命令部下把前幾次贏得的銀錢全部抬來,還額外押了一千兩 黃金。齊威王輕蔑地說:「那就開始吧!」一聲鑼響,比賽開始了!

孫子曰:「今以君之下駟與彼上駟,取君上駟與彼中駟,取君中駟與彼下駟。」既馳三輩 畢,而田忌一不勝而再勝,卒得王千金。

鑼聲鏜鏜響,田忌的心蹦蹦跳。第一局孫臏先以下等馬對齊威王的上等馬,結果田忌又 輸了。齊威王站起來嘲諷的說:「經過前幾次的慘敗,將軍你還學不到教訓嗎?」田忌沒有答 應。(實在不是因為要故作姿態,而是他的心現在正為了賠輸的錢淌血阿!)接著進行的第二 場比賽,孫臏拿上馬對齊威王的中馬,終於獲勝了一局,這時齊威王開始面露緊張了。最後 一局比賽,孫臏拿中馬對齊威王的下馬,又戰勝了一局。這下,齊威王簡直不可置信,田忌 竟然以同樣的馬匹,三戰兩勝贏了齊威王!如表(二)所示,比賽結果大挫齊威王的傲氣。

表二

田忌與齊威王的賽馬屬於賽局論(Game Theory)中的非合作賽局(Non-cooperative Game),即人們在利益相互影響的局勢中會如何制定策略使自己的收益最大。在表格中,賭金轉換成 一分,因為在嚴格公平的競爭下,一方的損失也就是對方的得利,這種賽局往往是有輸有贏 拚得你死我活,所以雙方玩家不可能存在合作的可能,而他們的收益與損失的總和永遠為 「零」。

因此我們將孫臏幫助田忌的比賽結果轉換為下表(三):

表三

表格中的(x,y),x表示田忌的勝負,y表示齊威王的勝負。-1與1則分別代表敗與勝的報酬。田忌獲勝的情形有三種,分別是上對中、上對下、中對下,但同一局(三場)比 賽中不能派出兩次上馬,因此本賽局對田忌的最佳策略,就為下對上、上對中、中對下。

孫臏能選擇正確的出賽馬匹順序為 1/3×1/2×1/1=1/6 但又因為齊威王是按原先規定以上中 下的次序派馬匹,因此獲勝機率就變成1了。(所以故事中田忌能輕鬆取勝,都要歸功於齊威 王是遵守規定的乖寶寶真君子!?)

這場賽馬又可稱為靜態賽局(Static Game),也就是齊威王與田忌同時採取行動,或者說,雖然不同時但後行動的人不能改變原有的出場順序,即使知道對方的出場序也不能改變自己 的。)

假如今天除了孫臏知己知彼,而齊威王也知道田忌的幕僚中有孫臏這麼厲害的角色,那 齊威王也可以與孫臏一樣顛覆規則,摒棄原本上中下的出場次序。這種賽局即稱為動態賽局 (Dynamic Game),也就是兩人都能在對方行動後立即應變。如表(四)所示。(1,-1)、(-1,1) 的含意與表(三)相同,而(-3,3)為田忌三場連敗之意。

在更複雜的完全訊息動態賽局中,田忌的勝率為 6/36=1/6

表四

如果有一天,齊威王與田忌雙雙來到現代,上演一場跨時代的穿越戀愛劇(喂!你們拿 錯劇本了!)進行一場 Bromance 的賽馬,按照現今盛行賽馬的香港賽馬會規則,馬匹分成五 等,意思是要比五場。假設五場出賽馬匹次序如故事一樣能隨意替換,那田忌獲勝的機率會 是多少?

首先依據馬匹由強到弱以 1~5 表示,若號碼相同則齊威王勝,會有 5!× 5!=14400 種的 出賽馬匹組合順序。若已知齊威王派出順序為(1,2,3,4,5)的馬匹出賽,則田忌可派(1,5,2,3,4)、(2,1,5,3,4)……等 27 組順序的馬匹出賽以贏得勝利。依此推類,在 14400 種馬 匹出賽組合中,田忌總共有27 5!=3240種組合可贏得勝利,勝率為3240/14400=9/40

對孫臏來說,算出的勝率 9/40 大於原先賽三匹馬的 1/6,我們或許可以預測如果孫臏穿越 時空來到現代,他也會是賽馬場的常勝軍!

時序來到三國時期,天下奇才諸葛丞相也有與孫臏同樣的見解(真是英雄所見略同),還 特別指出孫臏的賽馬說實為兵說也。

諸葛亮在《權書·強弱》中接著說:「下下之不足以與其上也,吾既知之矣,吾既棄之矣。 中之不足以與吾上,下之不足以與吾中,吾不既再勝矣乎?」諸葛亮深諳權衡之計,唯有放 棄小利,才能保全大局,贏得最終的勝利。「得之多於棄也,吾斯從之矣。彼其上之有三權也, 三權也者,以一權而致三者也。」所以藉著這一場賽馬,孫臏要告訴齊威王的不只是單純的 賽馬而已,更是領軍致勝之道,齊威王能領略這種高深的寓意也不是泛泛之輩,齊國而後能 稱王於中原,自齊威王始也。

這場歷史性的賽馬,大概是孫臏最為人津津樂道的趣事了(人們總是喜歡看弱勢的一方 運用謀略反敗為勝阿!),不僅讓他能獲得重用,其後他也才得以名顯天下,世傳其兵法,成 為中國軍事史上耀眼的星子。(也讓現今莘莘學子得到一個研究題材)

在現實生活中,我們也能藉著跳脫慣性思維,嘗試考慮對方各種可能的行動方案,並選 擇對自己最有利或最合理的策略(廢話,沒有人喜歡虧損,但正因為沒有人不會虧損,所以 更加凸顯賽局分析的重要性),如此下回賭博時我們也能親自實踐孫臏的機智贏得更多錢!

參考資料:
· https://kknews.cc/zh-tw/news/3m9vjzg.html 每日頭條田忌賽馬與動態推理

·http://wiki.mbalib.com/zhtw/%E9%9B%B6%E5%92%8C%E8%B5%9B%E5%B1%80 MBA 智庫零和博弈

·https://talkecon.com/sawgame1-5/ 白經濟 賽局奪魂鋸 1.5 ·http://boktakhk4.pixnet.net/blog/category/1456108 田忌賽馬@故事欣賞

突破重「圍」一場警察與逃犯的棋盤追逐|2018|高中專題報導|第1名

作者 陳冠伊、柯喻朦、陳品彤

2010 年上映的電影<關鍵救援 72 小時>,由羅素克洛 (Russell Crowe) 飾演的男主角John,為了拯救被無辜關入大牢中的愛妻,從一位文質彬彬、溫和善良的大學教授,想出了 劫獄的計畫,只因為他始終相信自己心愛的妻子是被冤枉的!原本有點懦弱的 John,開始著 手準備計畫逃亡路線,籌措資金,觀察監獄地形。一開始他將自己上網看影片學做來打開監 獄大鎖的陽春鑰匙,因為緊張到發抖而折彎,他跟黑幫混混們打交道,卻被打得渾身是傷, 但後來他漸漸的轉變,他誤殺了幾個人,搶了錢,但他知道這些都是為了自由與愛。看著 John 的轉變,以及善良與使命的矛盾內心戲,更是將電影一次又一次的推到高潮!其中重要 的一個片段,就是 John 第一次開始著手準備劫獄計畫,向由連恩尼遜飾演的有名逃獄專家 請教逃獄時該注意的事項了!

這個片段迷人的不只是連恩尼遜帥氣的低沉嗓音,更是讓我們對封鎖域大開眼界。電影 中敘述只要 15 分鐘警方即可封鎖匹茲堡市中心,35 分鐘內所有洲際收費站都會有警察站 崗,二級公路還會開始進行管制!John 在地圖上以市中心為圓心畫了一圓,此即為警方可封 鎖的範圍,在這個封鎖域的範圍下,誰都難逃警方的法網,只能乖乖束手就擒!

於是這引起我們的好奇,匹茲堡這麼大,警察們到底手腳要多快,才能避免飆車中的 John 在圍好封鎖域前就逃出呢?

首先我們得知道匹茲堡到底有多大,經過查詢資料,匹茲堡所在的都會區約為 10000 平 方公里,以此為圓面積所做出來的圓,半徑為 56.42 公里。( 在此取 56 以方便計算 ) 而封 鎖域的總長度,也就是圓周長,則是351.85 公里。假設以 John 出發的點為圓心,做一個半 徑為 56 公里的圓,這就是警方的封鎖域。John 從圓心到達封鎖域的邊界,最短距離為 56 公 里。他必須在警方封鎖之前的 35 分鐘內逃出去遠走高飛,才不會被警察一槍斃命!因此 John 在不碰到任何建築物及阻礙物還有剛好天助般的都是綠燈,並且有條剛好就是半徑的馬 路可以讓他在市區內盡情飆車的情況下,他的最大速率為 56   (35/60) =96 公里/小時。

接著我們搜尋了匹茲堡的警力狀況,查詢匹茲堡警察局網站顯示目前約有 900 位警力, 以 9 人為一小組,共有 100 組,而他們要在 35 分鐘內就將自己的轄區圍得天衣無縫!如此 一來,一分鐘內總共得圍好 351.85 35=10.05 公里,每一組則須完成 10 公里 100 組=0.1 公 里,也就是 100 公尺,一個人一分鐘則須圍好 11.1 公尺。若是像臺灣的凱達格蘭大道一樣, 每次有重大事件總是用拒馬圍得密不透風,一分鐘把這麼重的拒馬和鐵欄擺好 11.1 公尺,實 在是有點困難啊!

以 John 有最大速度 96 公里/小時,並且不外調人員,總共只有 900 位警力負責封鎖的狀況下,要能及時圍住整個封鎖域的範圍是極具挑戰性的。因此,我們開始思考是否有什麼策 略,能提供警方一個在最短時間內,一定能圍住 John 的方法呢?

查詢了許多資料以後,我們找到了一篇提供我們策略構想的數學論文:The Angel Problem(引注資料[1]), 由John H. Conway (沒錯也是 John,但此 John 非比男主角的 John) 於 1996 年發表。這篇論文主要在研究天使問題,這是一個雙人遊戲,而遊戲規則是:

在一個無限大的棋盤上,有一個惡魔跟一個天使,棋盤一開始是空的。開始遊戲後,天使在 每一輪都可以移動最多 K 步(遊戲開始前先設定好的,稱之為天使的力量),在這 K 步中,橫 的直的斜的都算一步,而且天使可以飛越過惡魔設置的路障,但是最後必須停留在沒有路障 的格子內,而惡魔每一輪只可以選一個格子設置路障,但不能設在天使停留的那個格子。最 後,如果天使無法再移動時,就代表惡魔贏了,相反的,如果天使可以無限的移動的話,則 代表天使贏了。

康威在他的論文中,所假設的情境是:每次只能移動一格的惡魔,是否有機會可以困住 天使的力量為 1000 的天使呢?這看起來是不可行的,但是康威提出了在一些假設的條件 下,惡魔能夠以區區的一步,困住能飛 1000 步的天使!有趣的是,康威甚至在論文的最 後,提出懸賞 1000 美金,給能夠找到證明惡魔可以困住力量為任意數 (但不能為無限大) 的 天使的人!

我們運用了康威假設的其中一個情境的方法來發想,是否一樣能應用在警察和逃亡中的 John 這個情境中呢?

康威假設有個 Fool Angel,他只能不斷的往上飛,增加他的 y 座標,此時惡魔將會有必 勝的方法圍住天使。天使的起始點為 P,由於不浪費步數,因此他的飛行範圍介於通過 P點,兩條斜率為 ± 的邊界內。則惡魔的必勝策略為:圍住一條與起始點足夠大距離(H=1000×2)的邊 AB,並在開始時每 M 格放一路障,在天使達到距 AB 邊 距離的點 Q 時,惡魔已經完成在 以 M 為間隔的路障擺設。當天使在點 Q 時,CD 邊正好是 AB 邊的 一半,而同樣的,惡魔也在 CD 邊上,每 M 格放一路障,當天使抵達了距離 AB 邊  距離的點 R 時,惡魔已完成 CD 線段。如此一來,當天使飛到了距離 AB 邊距離的 點時,惡魔已經在 AB 線段上的每一格放滿了路障。若 H 為 1000×2N,1000 為天使和惡魔 的速度比值,且 N>1000M,則在天使跨越距離AB 線段 1000 單位距離時,惡魔早已在這條 水平線和 AB 線段間的任何天使有可能到達的格子內,放滿了路障!

有了康威的天使遊戲做為參考,在我們所設定的情境裡,H 為警方封鎖域的半徑 56 公 里。我們可以將天使的力量想像為 John 的最大速率 96 公里/小時,惡魔可以走的步數則是警 察每分鐘的封路速度 0.1 公里/小時。代入康威所提供的算式 H=1000×2N中,我們姑且將 56 公里取為 2 的整數次方倍 64 公里較方便計算,John 和警察的速率比為 960 公里/小時,相當 於 16 公里/分鐘,因此計算結果為:

64=16×2N

N=2 且 N>16M,經過計算可知,M 為 1/8 公里,相當於 125 公尺。

也就是說,若匹茲堡的警察們,比照康威所提供的方法,每 125 公尺就設置一個路障, 待 John 到下一點時,再從對應到的水平線距離兩端繼續往內圍,如此一來,John 勢必將被 團團圍住在封鎖域中,無法逃之夭夭!

雖然電影的最後,John 當然是突破重圍歷經難關,帶著妻兒離開了美國展開新生活,但 是若有下一位逃犯,我們想匹茲堡的警察一定能將我們所提供的封鎖域策略派上用場的。

當 John 向連恩尼遜請教逃獄方法時,連恩尼遜最後問 John,在著手準備逃獄前,比所 有方法都還更重要的是,你真的覺得自己做得到嗎?

  看似不可能圍住天使的惡魔,原來也能圍住比自己擁有還要強大許多力量的天使;看似不可能在短短時間內就將 10000 平方公里大的都會區圍得密不透風,經過我們的推理計算,原來也有絕佳的保證策略能夠達成目標;看似不可能做出瘋狂逃獄計畫的溫和大學教授,為了愛為了自由,甚至為了正義,在 John 的轉變中,我們看著他一步步,將不可能轉化為可能。

只要我們相信,我們做得到。

引注資料[1]: John H. Conway (1996). The Angel Problem.

複數平面|2018|高中新詩|第2名

作者 陳泓恩

我們人人都是一個個

沉浮在茫茫樹海的

定位在各自座標的 複數

虛實相隨著

/

我只向世界展現我的虛部

在虛軸上找到了自己的高度

而你並不在乎

你關注

我用加號隱藏在身後的實數

/

果然被你尋著了

我所在的那點標記

我也找到我的共軛

那就是你

/

於是我們藉由「愛」的幫助

翻轉了視界的角度

每個孩子都是一樣|2018|高中新詩|第1名

作者 林沛婕

每個孩子都是一樣

拿著名為教育的鞭子

鞭笞孩子走上最好的道路

最好的學校、最好的工作、最好的家庭

最好的人生

孩子 疼嗎?

請你忍一下

這是為了你好。

/

每個孩子都是一樣

套進萬用的餘弦公式

求出孩子最合適的角度

最合適的學校、最合適的工作、最合適的家庭

最合適的人生

孩子 不是三角形嗎?

請你拋棄夢想的稜角

這是為了你好

/

每個孩子都是一樣

放入算幾不等式

求出孩子最完美的大小

最完美的學校、最完美的工作、最完美的家庭

最完美的人生

孩子 不大於零嗎?

請你用功充實自己

這是為了你好

/

每個孩子都是一樣

蓋上一元二次方程式公式解

求出孩子最理想的答案

最理想的學校、最理想的工作、最理想的家庭

最理想的人生

孩子 無解嗎?

請你扭曲自己的性格觸碰到X軸

這是為了你好

/

每個孩子都是一樣

將每個孩子放入樂透的彩球箱裡

在那之前

拿著名為教育的砂紙磨掉上面獨特的數字

轉啊轉

轉啊轉

直到

取出一個彩球的可能