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你所不知道的椎間盤-椎間盤突出應力分析|2021數感盃|高中專題|銀獎

作者 吳芳瑜、周盈妤 / 永春高中

我從高一就加入熱舞社,認識一位二十多歲的舞蹈老師。某次練習時,他說他因 為一次空翻失誤,造成了椎間盤突出;後來,聽到一位籃球教練,因長期的運動,也 有著椎間盤突出的問題;而身邊也有幾位長輩年輕時經常搬重物,導致了椎間盤突 出。 

我開始好奇,到底甚麼是椎間盤突出?查了資料才發現,許多從事搬重物的工作 者、年輕的運動員,都飽受「腰痛」以及四肢發麻的困擾;而經過檢查發現,這些腰 痛及四肢發麻等問題,都是「椎間盤突出」造成的。 

有些健康網站或新聞建議了蹲下再搬重物的姿勢,避免造成椎間盤突出問題。而 我們試著用簡單的模型,探討這些生活中「不同姿勢對椎間盤所造成的壓力」的問題。 

壹、脊椎結構 

首先,我們先來大致的了解一下脊椎的結構,每 個人身上都有33塊脊椎骨,分別有7塊頸椎、12塊胸 椎、5塊腰椎、5塊薦椎、4塊尾椎。每一節脊椎都會由 椎間盤、小關節及韌帶連接。 

(一)椎間盤 

連接上下兩塊脊椎骨,具有保護、緩衝的功 能,從內到外的結構分別為:髓核、纖維環 、軟骨板(終板),其中髓核是椎間盤最重 要的部分,內部為膠狀物質,可隨外部壓力 改變形狀,負責緩衝的功能。

(二)小關節 

主要負責穩定兩相鄰脊椎,其表面有相對的軟骨 (作為骨頭的緩衝),周圍有關節滑囊(潤滑)。

貳、甚麼是椎間盤突出?  

俗稱為「椎間盤滑脫」是指位於椎間盤中間、成果凍狀的「髓核」受到擠壓,壓 迫到神經、韌帶、脊髓硬膜,或是從外層纖維環的裂縫流出來。大致上可以分成二種情況:

參、椎間盤突出受力分析  

由於我們無法拿實際的骨頭做測量,因此我們詢問生物老師,老師幫我們去保健 室取得腰椎模型,得到腰椎長約3公分,寬2公分,椎間盤間距約為1cm。 所以我們先以長方形的假設對脊椎截面進行討論;脊椎未彎曲時,完整承受正向 力的截面積約為6cm²=0.0006m²

接下來我們考慮一位身高170公分,體重60公斤的人,要抬起重量10公斤=100N的 物體。又假設上半身重量佔全身重量的75%,則此人上半身重量為60×75%=45kg=4500N

因為多數的椎間盤突出發生在尾椎的位置,所以我們用尾椎第三節及第四節進行討論。如右圖所表示,當我們在彎腰的時候,上方的脊椎對下方脊椎的夾角為θ,則下方脊椎的垂直受力面積為2× cos θ × 3(cm2),我們先計算下方接觸面所承受的壓力。

我們會使用正向應力的公式: 

(一)不彎腰 

假設搬重物時,直接下蹲,且脊椎沒有任何彎曲,則此時的彎曲角度為0° 椎間盤單位面積所承受的力為(100+4500)÷0.0006=7666666Pa 

(二)單膝彎腰 

假設搬重物時,單膝彎腳下蹲,且稍微彎腰,考慮此時脊椎彎曲角度約為10°,那麼 椎間盤單位面積所承受的力為(100+4500)÷0.0005908=7786052Pa 

(三)站立彎腰 

假設搬重物時直接彎腰,考慮此時脊椎彎曲角度達到最大限度,約為30°。那麼椎間 盤單位面積所承受了力為 (100+4500)÷0.0005196=8852963Pa 

脊椎不同彎曲角度之受力分析 

接下來我們進一步考慮椎間盤內部,如右方示意圖。其中AB線段從A處開始依序通過了纖維環、髓核,再到達前方B處的纖維環;C、D是線段通過髓核的兩側端點;O是脊髓中點。經剖面圖測量估計,

假設上方正向力的大小是F,在脊椎未彎曲的情形下,也就是 0°時,受力是平均的,所以每一個部分的平均正向應力皆相同。若有彎曲的狀況,考慮從A點到B點的範圍,從0均勻增加到2F的受力分布;在這個狀況下,雖然平均受力仍然是F,但在四個對應範圍的正向應力也會有所不同,受力範圍也個別不同。可推算出各範圍正向力:

以下是各個對應範圍的正向應力分析:

從上面表格中可以發現,用錯誤的姿勢搬重物,對於纖維環的壓力甚至可能達到 正確姿勢的倍以上!

在一開始討論的例子中,F的值是4600N,水深增加1m,壓力大約就增加101.3hPa,所以m = xF ÷ 100 ÷ 101.3hPa,換算出這些壓力對應到在海裡大約是多少深度: 

肆、結論  

由上表得知當脊椎彎曲30°時部分纖維環所承受的壓力是0°時的13倍,且超過了 人體極限的32倍(人類自由潛水最深紀錄為300m),換算成海的深度就接近世界上第六 深的海溝–克馬德克海溝(深度約10047m)的底部,難怪對椎間盤會造成這麼大的傷害! 

所以我們要用正確的姿勢搬重物,對椎間盤造成的傷害也會大幅的降低,透過這 次的數學模型分析,我們才了解到錯誤的動作會對椎間盤承受的壓力有多大,因此希 望大家好好保護自己的脊椎,不要再直接彎腰下去拿重物了! 

伍、引注資料: 

腰痛(原作者:長谷川淳史) 

背部保健學習百科(原作者:John Tanner)

頸/脊椎的結構與功能 

應變 Strain & 應力 Stress, 

http://jamessensor.blogspot.com/2017/12/strain-stress.html 

脊椎生物力學  

http://oldmoodle.jente.edu.tw/file.php/11921/%E6%9C%9F%E6%9C%AB%E8%80%83%E7%AF %84%E5%9C%8D%E8%AC%9B%E7%BE%A9/%E8%84%8A%E6%A4%8E%E7%94%9F%E7 %89%A9%E5%8A%9B%E5%AD%B82018a.pdf 

圖片來源: 

圖(一)~圖(四) 

頸/脊椎的結構與功能  

圖(四)~圖(六) 

背部保健學習百科(原作者:John Tanner)

與Google同樣強大–Chrome代表神獸「小恐龍」之探討|2021數感盃|高中專題|銀獎

作者 洪秉驊、張皓崴、陳澔龍 / 國立新竹科學園區實驗高級中等學校

壹、前言 

 網際網路是現代生活不可缺少的一部分,人們都依賴網路來完成生活中的大小事。若不幸地沒有網路,在科技產品中,我們還能從何找到樂趣呢?相信許多人在網路斷線時, 都會手癢而打開谷歌裡的小恐龍遊戲吧!這個經典的作品是由 google chrome 在 2014 年推 出的,在 chrome 瀏覽器網路斷線情況下(下左圖),點擊圖中的恐龍圖案,恐龍便會開始奔 跑(下右圖)。

 沙漠中,迎著飛奔的小恐龍而來的是仙人掌、翼手龍等阻礙,玩家便需要透過空白鍵 (往上跳)、向下鍵(往下躲),帶著小恐龍在無邊無際的沙漠中奔馳。而若不慎碰到以上障 礙物,使小恐龍受了傷,遊戲便會結束。這個遊戲在早期行動網路缺乏的時代成為了用戶 最喜歡的遊戲之一。甚至,還有人以外掛程式賦予小恐龍辨別阻礙的智慧,讓牠得以憑一 己之力奔向天涯海角! 

然而,隨著我們逐漸熟悉這個遊戲,我們不禁懷疑:遊戲中的設定是否可能真實存 在?為了揭開其謎底,我們便開始探究小恐龍的奔跑歲月!

貳、正文 

主題一、小恐龍的身形與體態  眾所皆知,小恐龍是一隻暴龍。暴龍的學名是 Tyrannosaurus rex,在分類上為暴龍屬 (Tyrannosaurus)目前唯一一個有效物種。以最知名的暴龍化石–「蘇」為例,其身高(站立 時垂直離地高)為 4.5 公尺。然而,考慮到並非每一隻暴龍的體型都相同,且小恐龍的站姿 又與其他暴龍有相當的差異,我們希望能尋求更客觀的標準來測量其身高。搜尋資料後, 我們發現以暴龍之前肢進行比較似乎是理想的選擇。維基百科中提到,每隻暴龍的前肢皆 約 1 公尺長;另外在出土的成年暴龍化石中,其前肢化石長度皆大約為七十公分,加上軟 組織後也將近一公尺長,我們便以此為基準來推測小恐龍的身高。

由上圖可發現,小恐龍的身高約為前肢長度的 9.98 倍,因此其身高為 9.98 公尺。 雖然在前階段得出了身高,但我們並無法從小恐龍的外貌推算出其體重,畢竟粗略地估計 小恐龍有多少軟組織、組織有多厚、骨架有多重……顯然都會造成不可忽略的誤差。據 此,我們決定以公認的暴龍平均體重──9 噸,作為我們對小恐龍體重的假設。

主題二、身手矯健的小恐龍 

 我們疊合了小恐龍在平地奔跑以及起跳至最高點時的高度差,得到上圖,可發現小恐 龍在跳到最高時,若一樣以前肢計算高度,則腳和地面的距離約為 20.8 m。為了以人類為 標準,做出更精準的比對,我們令 K=(跳高高度/身高),則可得到下表。 

由此可見,幼童恐龍圖鑑中的龐然大物,其實擁有驚人爆發力! 此外,如果恐龍要達到 20.8 m 的高度,由位移公式可知 

則小恐龍起跳的初速度約為 0.5*2.06*9.81=10.1 m/s!

綜上,我們已經得知小恐龍起跳後可達到的高度與起跳之初速。小恐龍一躍而起後落地,從遊戲畫面中看不出落地所需要的緩衝時間,假設恐龍落地至靜止之時間為 0.01 s, 若其動能完全轉換為落地時所受的正向力,根據牛頓第二運動定律,可知小恐龍的瞬間受力為

 以此推算,小恐龍優異的身體素質能使其背負約 103 位同伴。將成年人體重以 70kg 進行估算,則小恐龍更能夠承載 13237 名成人的體重!

主題三、小恐龍的移動速度 

 小恐龍遊戲是以遊戲得分作為計算遊戲進程的標準。然而,一分究竟代表幾公尺呢? 為解決單位換算的問題,以手機設定影片幀率 60FPS 並錄影,將影片匯入 tracker 程式,以 先前計算出的恐龍身長作為基準,取遊戲得分 39 分的最後一幀影像與分數 42 分的最後一 幀影像,測量恐龍與仙人掌的距離差。結果可發現,在 39-42 分的過程中,恐龍距仙人掌 的距離變化量為 35.39-7.85= 27.54 m。

由此可知,在小恐龍遊戲中每得一分,相當於使恐龍前進了 (27.54/3)=9.18 m。

接著以遊戲分數 100 分為單位,測量小恐龍每移動 100*9.18=918 m 所需要的時間。最後以 v-t 作圖,可發現小恐龍遊戲在前 120 秒左右不斷加速,至 120 秒後,恐龍的速度趨 為定值 160 m/s = 576 km/hr。這個速度已是高速公路上車輛的 5 倍,甚至達到波音 747 飛行 航速的一半!綜合前一主題所得出的結論,一隻能夠承載上萬名成人,速度又能超越高鐵 的敏捷生物,無疑是作為陸上交通工具的優質選擇。

主題四、仙人掌的巨大阻礙

這張截圖中的四株仙人掌,囊括了小恐龍遊戲中所有出現的仙人掌的大小。以恐龍身 高 9.88 m 作為基準,可看到仙人掌叢中最高的仙人掌,高度達 11.16 m! 如此巨大的仙人掌究竟要在哪裡才找得到呢?經過查詢,美國與墨西哥西部的沙漠中,存 在兩種巨型仙人掌:墨西哥巨型仙人掌(Pachycereus pringlei)與巨人柱(Carnegiea  gigantea)。墨西哥巨型仙人掌是目前記錄到植株最高的仙人掌,高度可達 19.2 m。而巨人 柱仙人掌得植株高度最高亦能達到 16 m。將小恐龍的仙人掌外貌與前述二物種做比較, 我們認為遊戲中的品種較有可能是巨人柱(下左圖),因為墨西哥巨型仙人掌的分支在根部 附近(下右圖),與遊戲中仙人掌分支較高的外貌不符。

主題五、天空中翱翔的巨獸  仿照主題四,以恐龍身高比對翼手龍體長,得到其體長為 10.20 m。我們經查詢發現 白堊紀末期(小恐龍存在的時期),存在著翼龍目中已知最大的翼龍-阿拉姆波紀納龍 (Arambourgiania philadelphiae)。根據網路上的假想圖,這隻恐龍不含喙長便有約 5 m。加上其約 2 m 長的喙,體長可能超過 7 m,已經接近小恐龍遊戲中翼手龍的體長。因此我們推測,遊戲中的翼手龍可能確實存在。 

主題六、小恐龍所奔馳的時空

至此已經求得仙人掌與翼手龍的可能品種,我們便好奇遊戲中的物種有無可能出現在 相同時空。巨人柱的分布範圍在美國加利福尼亞州、亞利桑那州以及墨西哥索諾拉州索諾 拉沙漠(下左圖),暴龍主要分佈的範圍在美國的西部地區與加拿大西南部(部分區域如下右 圖),阿拉姆波紀納龍在美國一帶則可能有分布。此外我們更發現,以上的生物在白堊紀 末期都有存在的可能。綜合以上三個物種的分布時空,我們推測小恐龍遊戲中,恐龍應是 奔馳在白堊紀的索諾拉沙漠一帶。小恐龍作為網路世界中的虛擬遊戲,在 6500 萬年前的 地球上,卻可能真實上演著!

參、結論 

仔細分析了小恐龍遊戲後,我們得到以下結論: 

一、遊戲的真實性 

 如主題六的討論,翼手龍、暴龍與仙人掌都有在同一時空存在的可能。不過遊戲中的 翼手龍,其實是沒有隨著畫面移動的。換句話說,翼手龍在當地的強風吹拂之下竟成了靜 止於空中的運動狀態,此現象實在令人驚訝! 

二、恐龍的存在,是利是弊?  6500 萬年前,廣闊的沙漠是小恐龍生活的絕佳地點。但時至今日,除了少數未開發的 沙漠或人煙罕至的山地,人類社會恐怕沒有充足空間供牠活動了。若執意將小恐龍融入人 類生活,考慮到其驚人的爆發力與實然上不「小」的身軀,牠勢必會對社會造成無法復原 的破壞。固執的人們若以特製圍欄將其囚禁,恐龍將失去自由奔馳的空間,更無法載著人 類四處郊遊。21 世紀的我們,或許還是欣賞恐龍在 Chrome 世界奔馳的英姿即可。

肆、參考資料 

小恐龍遊戲 

chrome://dino/ 

維基百科-暴龍屬 

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9A%B4%E9%BE%8D%E5%B1%AC 維基百科-墨西哥巨型仙人掌 

https://en.wikipedia.org/wiki/Pachycereus_pringlei

維基百科-巨人柱 

https://en.wikipedia.org/wiki/Saguaro

維基百科-阿拉姆波紀納龍 

https://en.wikipedia.org/wiki/Arambourgia

有功夫,沒懦夫。來練經濟又環保的武林絕學「獅吼功」。|2021數感盃|高中專題|銅獎

作者 王佳欣、何忻曄 / 北一女中

壹、探究動機 

 獅吼功,起源於佛家用語「師(獅)子吼」,形容佛講法如獅子威服眾獸一般,能調伏一 切眾生。《阿彌托經義疏》:「獅子一吼,百獸皆死,喻佛說法,魔外消亡」。後少林七十二絕 學中有獅子吼:「發功呼嘯,讓敵肝膽劇烈,心驚膽戰,毛骨悚然,往往一聲長嘯即使對手不 戰而敗。」武俠小說《倚天屠龍記》也寫謝遜的獅吼功:「謝遜張開大口,似乎縱聲長嘯,只 見天鷹教、巨鯨幫、海沙派、神拳門各人一個個張口結舌,臉現錯愕之色;跟著臉色變成痛 苦難當,宛似全身在遭受苦刑;又過片刻,一個個先後倒地,不住扭曲滾動。」而在電影《功 夫》中的描寫更是神奇,包租婆大吼一聲,把人震飛,搭配大鐘造成聲波反射集中,連房子 都被震垮,談笑間,檣櫓灰飛煙滅,火雲邪神也莫之能禦。如此淵源於華夏深厚之武林絕學, 不費一兵一卒、一槍一彈,便可制敵於機先、克敵於無形,沒有槍彈的血光四濺,又沒有核 彈的遺禍萬代,攜帶方便、經濟又環保,既可健身又可防身,若是可以用所保存進而推廣, 豈不妙哉,因此我們接此天降大任,探討《功夫》一片獅吼功的合理性。 

貳、探討過程 

一、包租婆的威力 

 《功夫》一片中有一段經典的史詩戰役,發生在滿清時代,一處面積僅為 0.026 平方公里 的小圍城──豬籠寨村。主角是豬籠城寨的武則天──包租婆,對手是殺遍天下無敵手,苦 尋寰宇無對手的火雲邪神,邪神身高並不高,加上他那一頭秀髮(還是僅有的一綹,約 200 根) 讓他的身高激增了 5 奈米(因單位太小故可忽略不計)到了大約 170cm,以及因為中年飲食 不節、菸酒不忌加上缺乏運動,被居家隔離十四年後激增到了 70kg 的體重,他們在城寨前一方光滑的場地上打鬥,假設他被獅吼功震飛以加速度 15m/s2向後彈開,且他穿的不知名國產 藍白拖因為多年磨損,摩擦力小到可以忽略。依照牛頓第二運動定律:F = m × a,獅吼功必 須施加在火雲邪神身上的力為: 

假設包租婆和火雲邪神站很近,只有一部天竺鼠車車的距離:50cm,所以先忽略聲音的衰減 還有聲線甜美與否的問題。因此包租婆聲音所造成的力火雲邪神全部都接收:F= F,而且 如果包租婆除了與頭髮共生的髮卷還有煙不離口的強健肺葉之外,生理構造和正常人相同, 那聲門(兩瓣聲帶之間開口)的截面積大約是1cm2 = 10−4m2。依照壓力公式:⇒ F = P × A,包租婆發出聲音對聲門產生的壓力為: 

平地氣壓大約是 1atm,已知1atm = 1.013 × 105 N/m2= 10.33m水深,所以包租婆對聲門造 成的壓力為: 

這代表包租婆可以在水深 1070 公尺這樣大氣壓的環境下吐氣。目前人類自由潛水的深度只 到大約 120 公尺深,有裝備的潛水也只到大約 332.35 公尺深,能到達這個深度的生物,除了 俗稱 Osedax 的骨蠕蟲之外,就只有巨型魷魚,基於本文是一篇嚴謹嚴肅的學術論文,所以暫 且不討論包租婆與他們是親戚的可能。可見常人,是絕對練不成包租婆的獅吼功的。

二、一般人的威力 

 接著來算常人在理論上呼氣可以達到的最大氣壓。根據波以耳提出定溫定壓下,氣體體 積與壓力的關係:PV =定值。所以PV= PV,要求V,我們先依照 TLC(肺總容積)公 式:TLC = IC(吸氣量) + FRC(功能儲備量),計算一般人的 TLC(V):

因 為吸氣時的肺部壓力大約是 1atm ,所以 PV= 1(atm) × 5700(mL) = 5700 而V 相當於 RV(殘氣量) = 1100mL,因此 

正常人在呼吸的最大極限下,肺理論上能含最多,而包租婆卻需要 103.6atm 來將火 雲邪神震飛,足足差了 20 倍。可見普通人,就別再妄想練成包租婆的獅吼功了,練外單丹功好了。 

三、包租公還好嗎? 

 就在包租婆使出獅吼功將火雲邪神震飛時,包租公就站在稍微有點距離的地方,大約 20 部天竺鼠車車排在一起的距離(至於為什麼排在一起不重要)。難道每天跟包租婆相處的包租 公在打鬥時不會受到友軍傷害嗎? 

雖然包租婆所發出的聲音大小不變,但距離增加會造成聲音衰減。音源通常有大小,但
充分遠離時,音源可視為一點,和音源的距離每增加 1 倍時聲音衰減 6dB。如下圖所示:

紅點是音源(包租婆所在位置),r1是火雲邪神和包租婆的距離,如上述,只有 0.5m, 所以我們忽略衰減,包租婆的獅吼聲在火雲邪神耳朵裡是分貝呢?1atm = 1.013 × 105Pa, 可得 103.6atm ≒ 1.05 × 107Pa,接著依照聲壓級(SPL)公式:,(P0在 大氣中常取2 × 10−5,大約是 3 米外一隻蚊子飛行的聲音),可得火雲邪神聽到的聲音大小是: 

而r2是包租公和包租婆的距離,上面說大約是 20 隻天竺鼠車車的距離:10m,依照聲音衰減公式:Lp2 = Lp1 − 20 × log(r2/r1)可求得包租公所聽到的聲音是:

所以我們可以得知包租公是受到 208.4dB 的聲音攻擊。那 208.4dB 的聲音對包租公除了小鹿 亂撞之外還會造成甚麼影響呢?我們先依聲壓公式:,把分貝換成聲壓:

可得知獅吼功對包租公來說,包租婆的聲音產生5.14 × 105Pa(= 5.14 × 105 N/m2),依照上 文論述,聲門表面積(A)=10−4(m2),所以施在包租公身上的力為:

F = P× A = 5.14 × 105(N/m2) × 10−4(m2) = 51.4(N) 

包租公體重 65kg,依照牛頓第二運動定律:F = ma,可得知包租公的加速度為: 

F = m × a ⇒ 51.4 = 65 × a 

⇒ a = 0.79 m/s2

由此可知,包租公不會像電影中描述的一樣被震飛,假如他們在光滑的地面上打鬥,那他只會以0.79 m/s2的加速度向後退。但值得注意的是,208.4dB 的聲音絕對會讓耳膜破裂,瞬間 造成失聰。希望包租公每天和包租婆相處在一起能夠知道包租婆甚麼時候要使出獅吼功並做 好耳朵的防護,如此一來,包租婆就可以震退火雲邪神卻不傷及包租公。話說回來,只要受 過一次傷害,應該也就永久免疫了。 

四、是甚麼限制了獅吼功? 

 不過就算包租婆的生理構造奇特,能達成上述不可能達成的吼叫聲,也不可能練成獅吼 功。因為包租婆所發出的 234.4dB,已經超過地球大氣中最大能傳播的 194dB。目前在空氣 中測得最大的聲音是 1883 年 8 月 27 日印尼克拉克托火山爆發,在 160 公里外測得 172dB。 雖然科學家曾製造出 270dB 的聲音,但是是在水下,且已經達到水中傳播極限。(你不要跟我說卡通海賊王裡的魚人泰格可以,也不要跟我說什麼賣碳的可以水之呼吸,就跟你說了我 們是嚴肅嚴謹學術論文)可見包租婆的獅吼功是不可能存在的。另外一個原因是,根據牛頓 第三運動定律:作用力與反作用力,包租婆自己,也會受到極大的衝擊而和火邪神一起被震 飛。且包租婆比火雲邪神輕,只有 61kg,因此自己會被震飛得更遠,每發功一次還得搭捷運 回來準備下一回合也太累了,如此便喪失了攻擊敵人的效果了。

五、真實版獅吼功  

既然要達到像功夫中把人震飛的效果是不可能的,那如果獅吼功只是要讓人感到不舒服 (姑且不論發功人的長相以及音質的話),造成暫時性的失聰、聽損,正常人是不是也有可能 做到呢?所以接下來我們來探討什麼樣的聲音會使人不舒服,甚至是失去聽力。(你不要跟我談你的媽媽還有國文老師,我再重申一次,我們是嚴肅嚴謹學術論文。)

此圖是人耳聽覺範圍,縱軸是聲壓級(分貝),橫軸是頻率 (千赫茲)。下方曲線叫做聽閾, 是人可以感覺到的最小聲音,上 方曲線叫痛閾,在痛閾以上是人 無法忍受的聲音。大約在 140dB 左右的聲音就會造成耳膜破裂 永久失聰。但在痛閾以下還有一 段會讓人感到不舒服的範圍,大 約是 80dB 到痛閾。聽閾和痛閾之間被稱為聽覺面積,每個人都 不一樣,也會隨著年齡不同而改變,一般來說年齡越大聽覺面積越小。 

由圖可以發現,當頻率極端的低或高時,聽閾都比較高,表示人對極低極高的聲音比較 不敏感。但是痛閾都較低,達到較低的分貝就能使人感到不舒服。在聲音頻率高的時候尤其 明顯。  

人類可以達到最大的頻率範圍大約是 85~1100Hz,而男女各有不同。依照上方的圖,在 85Hz 時,痛閾大約是 132dB;在 1100Hz 時,痛閾大約是 140dB。那正常的人類可以發出這 麼大的聲音嗎?目前人類尖叫所達到的最大音量是 129dB,但理論上,依照前面證明,肺構造可製造的聲壓為又1atm = 1.013 × 105 Pa,可得,再依照 聲壓級(SPL)公式:,人理論上可達到得最高分貝是:

但人類當然沒辦法達到 204.2dB,原因有下: 

1. 肺活量不夠,雖然理論上 TLC=5700mL,但每個人的IC(吸氣量)FRC(功能儲備量)不 同,造成 TLC 不同,所以吸、吐氣的容積和理論上不同。 

2. 人發聲有三要素:激發體、振動器、共鳴器。激發體是肺,振動器是聲帶,共鳴器是口腔 咽喉鼻腔鼻竇等。順帶一提,發聲不是真的聲帶在震動,而是氣流推動聲帶急速的開合, 然後產生週期性的高低氣壓。所以就算真的達到了理論上的 TLC:5700mL,不會全部的 氣流都讓聲帶開合。聲帶的表層(Reinke’s space)和黏液的黏稠度以及傳遞聲波的順暢度 也會影響到發聲。再來是共鳴的問題,每個人的共鳴器大小不同,會造成聲音大小不同。 還有和包租婆一樣會遇到的問題: 

1. 發聲的人會承受不了聲音而耳膜破裂甚至被反作用力震飛。 

2. 就算克服了上述問題, 在空氣中能傳播的最大聲音是 194dB。 

參、結論 

 要達到像電影中包租婆獅吼功的效果在現實生活中是不可能的,但若只要造成聽損的話, 可以嘗試達到 140dB 的聲音。火雲邪神說過:「天下武功,唯快不破。」140dB 可以瞬間造 成耳膜破裂而永久聽損。但這也是幾乎不可能做到的事。不過還有另一個方法:若是相當靠 近敵人,我們建議只要突然地大吼將近 120dB,接近飛機起飛的聲音,就可以造成敵人感覺 耳朵痛或耳鳴,爭取到一些時間足夠逃跑啦(什麼 ! 閃電五連鞭呢?最後說一次,我們是嚴肅、 嚴謹的學、術、論、文!) 

肆、資料來源 

維基百科──師子吼、聲音、聽覺、聽覺系統、聽閾、聲門、聲壓、分貝 :https://zh.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:%E9%A6%96%E9%A1%B5 

高點醫護網──肺容積:http://doctor.get.com.tw/m/Journal/detail.aspx?no=402386

聲音衰減:http://nova.bime.ntu.edu.tw/~dsfon/FluidMachinery/1999student/lewyinda/noise2.htm 

台大普通物理──人耳聽力實驗:https://reurl.cc/g80omb 

聽力損失:http://www.kmuh.org.tw/www/kmcj/data/9003/4670.htm

國軍高雄總醫院衛教:https://reurl.cc/jqke5Z 

噪音小百科:http://www.homewell.tw/classroom/evn-class/e05-07.htm

人耳聽力:https://blog.witsper.com/tips/hearing/ 

認識耳朵及聽力:https://www.luoow.com/dc_tw/200625058 

聽覺障礙:https://reurl.cc/Xe4bk0 

科學 online 聲帶的結構:https://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=1008

人體發聲原理:https://reurl.cc/Q7jo7p 

微文庫:世上最強聲音:https://www.luoow.com/dc_tw/200625058

功夫獅吼功片段:https://www.youtube.com/watch?v=8xVPXM7gmVM 

失控電梯回地球,大氣層中樂逍遊|2021數感盃|高中專題|銅獎

作者 王姵予、林嘉瑜、謝宇彤 / 國立新竹女子高級中學

一、研究動機 

羅德.達爾充滿想像力的故事使他在兒童文學居於執牛耳的地位,其中查理與旺卡先生的冒 險故事更是他經典的代表作。他們乘的神奇升降梯,堪比 Space X 的回收火箭,竟然能夠毫 髮無傷地回到地球。因此,我們想利用數學計算,把羅德.達爾的想像力,幻化成未來科技 無限的可能。 

二、研究目的 

(一)設法以現有數據求得升降機的基本物理量 

(二)神奇玻璃升降梯究竟能夠耐多高的溫度、有多大的變形,才能安全帶他們回到地球 (三)升降梯要怎麼從終端速度減速(及緩衝),才能安全降落 

三、故事簡介 

在查理全家人都搭上升降梯後,旺卡先生要帶著他們回到巧克力工廠。要這麼做,旺卡先生 打算在自家工廠的屋頂上再撞出一個洞,為了獲得足夠的位能,他駕駛著升降梯不斷地爬升, 意外的是,旺卡先生一不小心,讓升降梯飛到了外太空! 

四、研究過程 

→統一符號: 

(一)求得升降機的基本物理量 

1.推算這座升降機的玻璃質量 

(1)求升降機的表面積

升降機高度估算(含與不含屋頂) :

再根據繪者所畫的升降機作為比例尺,我們測量出喬治外公與升降機不含屋頂與含屋頂時的 高度。如圖所示(書本封面):

接著,我們會由喬治外公的身高分別推算出升降機不含屋頂以及包含屋頂時的高度。 以下為計算過程:

底面積估算: 

根據泛科學

上方角椎側面積估算:

下方長方體側面積估算 :

(2)求玻璃整體的體積

(3)換算為質量

2.推算所有人的質量

(巴克一家是低收入戶,在家中的老人小孩每天只有一碗包心菜湯,因此除了兩位相對健壯成年人外,皆以過輕推算。) 正常 BMI 取範圍中間值,而過輕用符合值計算

3.推算升降機整體體積 

(1) 角錐體積

(2) 長方體體積

(3) 總體積

(二)玻璃承受的溫度 

「再這樣下去,我們自己也要被炸成油餅!被烤的像牛排那樣!看看玻璃吧!它們比滋滋作 響的油還燙呢!」約瑟芬奶奶大叫 (p143) 

「別怕,親愛的女士」旺卡先生安慰:「我的升降機裝了空調,有通風和充氣設備,還有自動 防護裝置,我們不會有事的。」(p143) 

→就算旺卡先生的玻璃升降梯沒有裝設空調等的特殊設備,玻璃究竟要耐多高的溫度才能保 護升降梯內乘客的安全呢?

1.推算降落時的溫度變化 

(1)動能

(2)換算熱能,並推得溫差

依科學的角度來看,約瑟芬奶奶只是在無病呻吟。因為經過熱處理(強化)的玻璃,依然足夠抵 擋 150 至 200℃的溫度差。不過約瑟芬奶奶倒是說對了一件事,玻璃的確燙的可以煎牛排了!(只要 65-74℃就已達七分熟)

還有一件會讓約瑟芬奶奶嚇個半死的問題…這座升降機會膨脹! 

2.膨脹後的體積 

以下為熱膨脹計算公式: 

(1) 角錐體積

(2) 長方體體積

(3) 總體積

可得知整座升降機會膨脹,而且膨脹的量值十分可觀,怪不得約瑟芬奶奶如此害怕。 

(三)回到巧克力工廠 

如果減速了,當初的位能就無法完全轉換成動能衝破屋頂。 

因此我們想了一個解決之道:讓玻璃升降機通過原本的洞,再落入巧克力河中,用其浮力抵 銷龐大的衝擊力。 

我們使用 excel 表格算出玻璃升降梯的終端速度 

以下是我們在 excel 中使用的公式以及其推論:

我們把起始高度設為大氣層高度1000km

加速度距離公式:

速度公式:

空氣阻力公式:

牛頓第二運動定律:

淨力:

有效加速度:

如果將大氣密度看成一個一次線性函數 

為接近海平面之大氣密度,約為1.2255kg/m3

(0, dg)和(h0, 0)為線上兩點,代入得一次方程式 

9.64km為地球半徑,而重力與離地球高度有關係

將9.8除以a ,以求他們的關係式。

接下來是終端速度,也是我們畫 excel 表的最終目的。終端速度是在中和了空氣阻力後,達到 的速度平衡狀態。如下表所示,玻璃升降梯的終端速度大約是140m/s,但是如果以這個速度 降落的話……大家都會變成一團肉泥!!!好險在兵荒馬亂之際,聰明的查理想到一個好辦法:

「威力汪卡先生!我們需要減速!!立刻開啟減速器!!!」查理吶喊。 「啊!親愛的孩子,一切都在我的掌控當中,但是我們要減到多少速度才能安全降落呢?」旺 卡先生問。 

約瑟爺爺眼睛一亮的說「查理,我們去參觀工廠時看到的巧克力河能不能派上用場呢?」 查理:「對!爺爺你說的沒錯!我們可以用它來做個緩衝。」威力旺卡先生,你可以打電話給 溫帕倫普斯人(工廠員工小矮人),請他們關掉動力,讓巧克力河變成一座深不見底、無邊際的 巧克力潭嗎?趕快!我們沒有時間了!」 

「沒問題!包在我身上!」旺卡先生拍胸保證。 

「我記得物理課時學過,人類高空跳水最高紀錄是30m,不然我們用這個試試看。」查理補充道:「根據力學能守恆, 經過移項得(取正值),因此我們的速度必須降到快拉減速拉桿,就是現在!」

「那我們會不會沉進巧克力河裡?喔天啊,我還不想死!」約瑟芬奶奶哀號。

「別擔心!威力旺卡先生告訴過我,plain chocolate 的流體密度大約是1.31625g/cm3,(根據第一部分,討論玻璃升降梯的基本物理量)我們玻璃升降梯的密度是m=DV,,得,因此我們會 是浮體,用不著擔心的。」查理替大家說明。 

砰!一聲巨響打破向來平靜而神祕的巧克力工廠。整個巧克力河沿岸的軟糖草皮都被覆蓋在 噴濺出的巧克力中,溫帕倫普斯人划著粉紅色硬糖船迎接他們的到來。 「我果然沒看錯,你就是我工廠的繼承人!」旺卡先生高興地再次宣布:「因為你的冷靜分析 和數學能力,才得以在千鈞一髮之際救大家一命,我相信你一定會成為很棒的繼承人!」威 力旺卡眼中滿是驕傲和寬慰。

五、資料來源 

http://www.chintaglass.com/News_Detail.asp?ID=24(玻璃熱膨脹係數) 

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Charlie_and_the_Chocolate_Factory_characters(巧克力工廠電影演員) 

https://heater.heat-tech.biz/tc/infrared-panel-heater/science-of-the-infrared-rays/7747.html(玻璃比熱)

https://amerisleep.com/blog/how-much-does-a-mattress-weigh/(king size bed 重) https://www.density.co.uk/documents/Density-of-Chocolate.pdf(巧克力密度) 

https://pansci.asia/archives/71330(一人站立的截面積)

https://www.rcpch.ac.uk/

高一泰宇版物理課本

 

都是「摩天輪」惹的禍 – 摩天輪的數學模型與看最遠的距離|2021數感盃|高中專題|銅獎

作者 鄧智遠、陳品呈 / 育成高級中學

那天在討論畢旅行程時,意外地掀起了一場口水大戰,讓感情和睦的三兄弟—老曹、老劉、老孫起了口角。老劉起先說:「劍湖山摩天輪」比「義大摩天輪」大。後來老孫說:你弄錯了!明明是「義大摩天輪」比較高而且比較大,畢旅時只要坐「義大摩天輪」就好,不用坐「劍湖山摩天輪」,浪費錢! 而且「義大摩天輪」可以看到海,「劍湖山摩天輪」看不到海景。就在兩人爭論地面紅耳赤時,老曹說了:吵什麼吵!台中的「天空之夢摩天輪」最大又最高,一定看的到海景,你們說的那兩個都看不到海景。老曹一副趾高氣昂的態度大大折損了孫劉兩人的顏面,基於「敵人的敵人是朋友」的想法,造成孫劉兩人聯合打曹的局面,一時之間教室炮聲隆隆,一片肅殺之氣。正當吵的激烈,一旁隔山觀虎鬥的同學議論紛紛時,三兄弟突然意識到:情緒性的言語是無法解決事情的,此事還是應該用數學和科學的角度多方求證,因此曹劉孫三兄弟有了以下一連串求證過程!

首先三兄弟先蒐集了「天空之夢摩天輪」、「劍湖山摩天輪」、「義大摩天輪」、「美麗華摩天輪」的基本資料。三兄弟在網頁上搜尋資料時,發現光是摩天輪的直徑在不同網頁上會有不同的數據顯示,令三兄弟不知該採記哪一個數據好,經討論後決定以摩天輪官方網頁和數感實驗室公告的數據為準。海拔則以Google Earth 所查到的數據為準!完成了下列基本資料表格。

接著三兄弟使用以上所查到的四個摩天輪的數據,建立四個摩天輪的數學模型,並使用數學軟體GGB繪圖,將四個摩天輪放在一起做比較!三兄弟數學建模的過程如下:

  1. 以X軸代表海平面,Y軸代表海拔高度。
  2. 以圓的方程式代表天空之夢摩天輪,圓心為(70, 308),半徑為56。
  3. 以圓的方程式代表劍湖山摩天輪,圓心為(170, 276.5),半徑為32.5。
  4. 以圓的方程式代表義大摩天輪,圓心為(250, 290),半徑為40。
  5. 以圓的方程式代表美麗華摩天輪,圓心為(330, 84),半徑為35。
  6. 以點表示掛在天空之夢摩天輪的60個車廂,以點表示掛在劍湖山摩天輪的50個車廂,以點

表示掛在義大摩天輪的40個車廂,以點表示掛在美麗華摩天輪的48個車廂。

7. 使用滑桿同時讓四個圓上的點以不同的週期旋轉。也就是調整成代表天空之夢摩天輪圓上的點,以每25分鐘繞一圈的速率旋轉,劍湖山摩天輪圓上的點以每15分鐘繞一圈的速率旋轉,義大摩天輪圓上的點以每18分鐘繞一圈的速率旋轉,美麗華摩天輪圓上的點以每17分鐘繞圓心一圈的速率旋轉。

8. 以GGB做圖如下,檔案網址:https://www.geogebra.org/calculator/enazjum2


三兄弟根據繪圖結果,發現:

  1. 若以摩天輪直徑來比較大小,得到:
    天空之夢 >  義大> 美麗華> 劍湖山
  2. 若以摩天輪總長(含支架)來比較大小,得到:

天空之夢 >  義大> 美麗華> 劍湖山

  1. 若以摩天輪最高點與海平面距離來比較 高度,得到:
    天空之夢 >  義大> 劍湖山> 美麗華

後來三兄弟使用摩天輪最高點與海平面距離,計算出四個摩天輪可以看到的最遠距離!假設摩天輪最高點到海平面距離為公里,視線所看得到的最遠距離(弧長)為公里,採記Wiki百科網頁上的數據設定地球半徑為6371公里。在直角三角形中,首先計算出摩天輪頂端到地心距離的斜邊長,地球半徑的鄰邊長,算出的值,再利用的值反求出(弧度),最後將(弧度)乘上地球半徑得出弧長。算式過程如下:

三兄弟計算數據結果如下表,並使用Google Earth標出四個摩天輪的看到的所有範圍!三兄弟比較四個摩天輪的可視範圍,得到:天空之夢 > 義大 > 劍湖山 > 美麗華。同時驚訝地發現,在沒有遮蔽物與空氣污染的情況下,在四個摩天輪的最高點,都可以看到台灣海峽,不禁發出讚嘆之聲。

三兄弟又好奇地計算出四個摩天輪的轉速如下表,發現劍湖山的轉速最快!但四個摩天輪的轉速都還在讓人可以感覺舒服地看風景的速度範圍!

三兄弟最後計算出乘坐四個摩天輪的每分鐘花費如下表。其中因為劍湖山摩天輪門票包含在整個樂園699元的門票中,無法像其他摩天輪單獨購買,所以在計算劍湖山摩天輪的票價時,採用的數據為699/14=50元(共有14項遊樂器材)。由表格中,可以發現劍湖山摩天輪的收費遠低於其他摩天輪,推測是其他摩天輪的直徑較長,具有可以單獨吸引乘客花錢乘坐的吸引力;而劍湖山摩天輪可能一開始的設計就是遊樂園中的其中一項設施,所以直徑較短,也沒有打算要單獨收費。由數據中可以看出劍湖山摩天輪的經營模式和策略和其它家的摩天輪不同,再一次感受到數字會說話的魔力。

世界各地一直在興建新的摩天輪,摩天輪為什麼這麼受歡迎呢?因為摩天輪不僅是遊樂園中的設施,可以促進觀光,帶來人潮,同時也是城市中的地標建築與觀景台,可以帶來很多經濟利益!老曹、老劉、老孫三兄弟雖因為「摩天輪」起了爭執,但在情緒腦恢復成理性腦後,客觀地用數學模式來探討與解決問題,不僅學到了許多數學與地理的知識,也加深了彼此的友誼,實為廣傳的美事一樁啊。

參考資料:

Google Earth

https://www.google.com.tw/intl/zh-TW/earth/

如何計算離地平線有多遠

https://read01.com/zh-tw/yO3M8K.html#.YA9yyHUza03

地球半徑

https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%9C%B0%E7%90%83%E5%8D%8A%E5%BE%84

Arccosine計算器

https://www.osgeo.cn/app/scb02

Google Earth – Range Rings 好用劃圓/半徑範圍工具

台灣-三大摩天輪

https://k102766.pixnet.net/blog/post/88977548

天空之夢-麗寶樂園渡假區

https://k102766.pixnet.net/blog/post/88977548

義大摩天輪-車廂、海拔

http://www.edathemepark.com.tw/Website/Park_Introduction.aspx?ZoneId=MA

劍湖山摩天輪

https://leafelin.pixnet.net/blog/post/39170987

美麗華摩天輪-車廂、海拔

https://www.miramar.com.tw/miramar-wheel

摩天輪圖片

https://www.lihpaoresort.com/LihpaolandApp/Miscellaneous/SkyDreamRecord

http://qq2000.weebly.com/211332824623665199903002820027389882713822290.html

https://images.app.goo.gl/a21qWe2SX5hvhSzj6

別亂玩大自然的力量啊 一方通行|2021數感盃|高中專題|優選

作者 劉益銘 / 臺北市立永春高級中學

壹、簡介 

「魔法禁書目錄」是鐮池和馬的第一部小說系列,而「科學一方通行」為鐮池和馬 繼「科學超電磁砲」後的第二部「魔法禁書目錄」外傳系列,這系列是目前為數不多的 世界觀龐大且完整的作品。主要場景建立在「學園都市」這個在東京都占地三分之一的 虛構城市,人口為 230 萬,其中學生占總人口的八成,這座城市內有許多的學校林立, 還有數以千計的研究機構,學校內的學生都要接受超能力開發課程,能力等級共有 Lv0 到 Lv5 共六個等級,其中 Lv5 僅有七人,一方通行為這七人中的第一位,其能力為 

「向量操作」,能夠將具有方向的物理量自由地操縱或轉換成自己想要的量。

貳、小說情節 

在小說第十三卷中,一方通行為了要攻擊事件幕後黑手,學園都市統括理事長亞雷 斯塔所在的「沒有窗戶的大樓」,使用能力將地球自轉的能量轉換到水泥牆上,以極快 的速度朝向「沒有窗戶的大樓」將水泥牆擊出,以下是小說中的描述: 

一、這個瞬間,九月三十日的地球自轉被延遲了大約五分鐘的程度。 

二、他的手腕剝奪了能使得行星回轉的那股巨大的能量,因為向量被操縱了的關係,那 股能量化為了惡魔的一擊。 

三、這裡離『目標』的距離大約在兩公里以上。 

參、正文 

一、計算地球自轉的角速度 

根據小說,事件開始的時間是晚上七點二分,假設一方通行的攻擊是在事件開始兩小時後,也就是晚上九點,地球從九點到十二點共轉了(弧度),所以(弧度)。根據角速度公式:為角速度、∆θ為角位移、∆t為 時間變化量),單位:ω(rad/s)、θ(弧度)、t(s)。計算使用「向量操作」前後地球的角速度。 

(一) 計算使用「向量操作」前的角速度 

在還沒使用「向量操作」前,地球自轉的時間不變,所以∆t = 3 × 60 × 60 = 10800(s),此時的角速度為:

(二) 計算使用「向量操作」前的角速度 使用「向量操作」後,由於地球自轉被延遲了五分鐘,所以∆t =(3 × 60 + 5) × 60 = 11100(s),此時的角速度為:

二、計算轉動慣量(I) 為了得知轉動慣量,我們先假設地球為完美的球體,地球的半徑為 6371 公里 ≈6400 公里,地球的質量為5.972 × 1024公斤 ≈ 6 × 1024公斤。使用轉動慣量的公 式:(I 為轉動慣量、m 為質量、r 為半徑),單位:I(kg ∙ m2)、m(kg)、 r(m)。將得到的數據帶入公式內計算,可得:I = (6 × 1024) × (4 × 107)2 = 9.6 × 1039。 

三、計算地球的角動能 

透過角動能公式:(E 為角動能、I 為轉動慣量、ω為角動量) ,單位:E(J)、I(kg ∙ m2)、ω(rad/s)。將前方計算過的數據帶入計算使用「向量操作」前 後地球自轉的能量。 

(一) 使用「向量操作」前地球的角動能 

在未使用「向量操作」前,地球自轉的角速度不變,所以地球的角動能為:

(二) 使用「向量操作」後地球的角動能 

使用「向量操作」後,由於地球自轉被延遲了五分鐘,所以地球的角動能變為:

四、一方通行經由「向量操作」所得的能量 

我們將前面使用經由「向量操作」前後的地球角動能相減,可得知一方通行在 使用「向量操作」後,共獲取了5.076957 × 1031 − 4.8062354 × 1031 = 2.707216 × 1030 ≈ 2.7 × 1030(J)的能量,換言之,就是使用了地球自轉約 5.332359521% ≈ 5.3%的能量。 

五、計算攻擊到「沒有窗戶的大樓」瞬間的動能 

(一) 角動能的轉換 

根據小說中的描述,一方通行的「向量操作」能夠將物理量進行轉換,所以這邊假設角動能無損地轉換成動能,又動能與功可做轉換,可得 E=Ek=W(E為角動能、Ek為動能、W 為功),單位:E(J)、Ek(J)、W(J)。所以此時一方通行已將 5.3%的地球自轉能量轉換成給予水泥牆的功。

(二) 計算對水泥牆作的力

根據小說的描述,一方通行距離「沒有窗戶的大樓」大約兩公里以上,為

了方便計算,以兩公里來作計算,再換算成公尺:2000(m)。我們使用功的公

式:W=FS(W 為功、F 為力、S 為距離),單位:W(J)、F(N)、S(m)。將以上數

據帶入公式中,2.7 × 1030 = F × 2000,所以F = 1.35 × 1027(N)。

(三) 計算加速度

透過力的公式算出加速度:F=ma(F 為力、m 為質量、a 為加速度),單位:F(N)、m(kg)、a(m/s2)。小說中並未寫出水泥牆的大小及重量,但小說中有描述,「沒有窗戶的大樓」高度大約 100 公尺,猜測攻擊用的水泥牆高度也是 100 公尺左右,所以改以高度同為 100 公尺的日本地標通天閣來做計算,通天閣的重量為 1000 噸,換成公尺為106公尺,將其代入力的公式,1.35 × 1027 = 106 × a,可得加速度:a = 1.35 × 1021(m/s2)。

(四) 計算初速度

為了計算攻擊時的初速度,透過動能公式:(Ek為動能、m 為質量、v 為速度),單位:Ek(J)、m(kg)、v(m/s)。,可得

(五) 攻擊到「沒有窗戶的大樓」瞬間的動能

根據加速度公式:V2 = V02 + 2aS(V 為末速度、V0為初速度、a 為加速度、S 為距離),單位:V(m/s)、V0(m/s)、a(m/s2)、S(m),可得v2 =(2 × 1024) + 2 × (1.35 × 1021) × 2000 = 1.08 × 1025(m/s)。帶入動能公式後,可得動能為:,所以攻擊到「沒有窗戶的大樓」的瞬間,動能為5.4 × 1030(J)。

六、與現實比較

三硝基甲苯(Trinitroluene,簡稱 TNT)為目前的常見炸藥,每克 TNT 可產生4200 焦耳的能量,爆炸當量是指此炸彈的爆炸威力等同於多少質量單位的 TNT 爆炸威力。

在第二次世界大戰中,美國對日本投放的原子彈,「小男孩」的爆炸當量約為13000 公噸 TNT,相當於5.46 × 1013(J),但與本的計算的擊中大樓的能量相比,僅 僅只有約10−19%。沙皇炸彈是目前人類史上體積、重量及威力最大的炸彈,其爆 炸當量相當於 5000 萬噸 TNT,也就是2.1 × 1017(J),但人類史上威力最大的攻擊 武器威力也僅是攻擊大樓時能量的約3.9 × 10−16%。希克蘇魯伯隕石,是推斷造成 恐龍滅絕的一顆隕石,撞擊時會產生1014噸 TNT 的爆炸當量,釋放出 4.2 × 1023(J),相當於攻擊大樓能量的7.8 × 10−6%。 

所以,「沒有窗戶的大樓」可以承受足以讓日本投降的「小男孩」1017倍的能 量,可以抵擋人類史上威力最大的「沙皇炸彈」2.5714286 × 1013 ≈ 2.57 × 1013倍 的能量,可以毫髮無傷的擋下足以讓世界範圍內的恐龍滅絕的「希克蘇魯伯隕石」 12857142.8571 ≈ 1.3 × 107倍的能量,而且這僅僅只是地球自轉的5.3%能量。雖 然「沒有窗戶的大樓」承受得住,但若是向學園都市的其他地方攻擊可就不一定 了,只能說,別亂玩大自然的力量啊,一方通行。

肆、參考資料 

一、大阪地標建築:通天閣。2021 年 1 月 26 日。取自 

https://www.sinyijapan.com/tw/news/meetjapan/news001364

二、希克蘇魯伯隕石坑。2021 年 1 月 25 日。取自 

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E5%85%8B%E8%98%87%E9%AD%AF%E4%B C%AF%E9%9A%95%E7%9F%B3%E5%9D%91 

三、沙皇炸彈。2021 年 1 月 25 日。取自 

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B2%99%E7%9A%87%E7%82%B8%E5%BD%88

四、角動能-101 學年看板。2021 年 1 月 21 日。取自 

http://www2.nsysu.edu.tw/physdemo/2012/B3/%E8%A7%92%E5%8B%95%E9%87%8F 101%E5%AD%B8%E5%B9%B4%E7%9C%8B%E6%9D%BF.pdf 

五、柯閔耀、黃國展、祝偉。高中學習講義選修物理 I。出版社:南一書局。

六、爆炸當量。2021 年 1 月 24 日。取自 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%88%86%E7%82%B8%E5%BD%93%E9%87%8F

七、鐮池和馬(2010)。魔法禁書目錄 13。台北市。台灣國際角川書店股份有限公司。

 

腳踏車界的車神——兩津勘吉 |2021數感盃|高中專題|優選

作者 蔡亦翔、吳柏均、蔡孝綸 / 國立新竹科學園區實驗高級中等學校

「閃啊閃啊閃啊~撞到不負責啦!」經典台詞搭配上一台平凡的警用腳踏車,兩津勘吉總 是如此爽朗的在動畫中登場。以他為主角連載了數十年的動漫「烏龍派出所」想必大家都不 陌生,也是你我兒時的共同記憶。這部動漫講述的是日本龜有公園前派出所的警察——兩津勘吉爆笑的生活故事,在長達 200 本單行卷、300 多集動畫的情節中,我們尤其對兩津他那百毒不侵的身體以及超乎常人的力量感到印象深刻。而在劇中和他最形影不離的,就非他的那台警用腳踏車莫屬了,它除了是兩津追捕犯人時的得力助手之外,還在好幾次重要劇情中扮 演了幫助他完成任務的關鍵角色,被兩津稱為「我的愛車——千鳥」。每當我們欽佩於主角又再一次解決危機時,也不免被兩津運用這台腳踏車所發揮出的力量所震懾。

圖(一)漫畫中兩津勘吉和他的腳踏車  

烏龍派出所動畫的最終回特別篇中,這台腳踏車便是使東京都免於炸彈威脅的關鍵幫 手。當大家對爆炸範圍為方圓 500 公尺、再兩分鐘就要爆炸的炸彈包不知所措時,兩津勘吉想到將其帶到高 634 公尺的東京最高地標晴空塔上投擲出去引爆,便能拯救東京都。看著兩津背負著如此重大的使命,運用這台老夥伴奮力一搏,飛馳騎上晴空塔那近乎垂直的樑柱, 讓炸彈得以在時限內於高空中引爆,而不致於波及地面,真是令人替他捏了一把冷汗!雖然 說以兩津在動畫中種種異於常人的表現來看,騎上晴空塔對他來說也不是難事,但現實中一 般人可沒有他那種神力,因此我們便對於兩個問題感到好奇: 

(1) 若是現實中有一位沒有這般神力的兩津,那他需要在如何的環境條件幫助下,才能像動畫中一樣騎著腳踏車衝上晴空塔呢? 

(2) 在動畫中兩津騎上晴空塔時的速度為多少呢? 

 首先來解決第一個疑問。根據我們以往所學,需要有足夠的正向力才能使人連同整台腳 踏車附著在牆面上不致於掉落(圖(二))。而這個正向力有很多種類,由於晴空塔壁面與地 面的傾斜角度大到近乎垂直,正向力無法以重力的分量提供,因此我們假設現實中有一固定 方向的風力存在,將人穩穩地壓在牆上。至於要如何求出風力,則要用以下公式: 

f=μ F (式(一)) 

圖(二)正向力示意圖 

 我們可藉由摩擦力 f 及摩擦係數μ 求出風力 F。由於並無打滑,代表其靜力平衡,f 摩擦 力會等於重力 W,因此摩擦力 f 由重量求出,透過查詢資料得知,兩津的重量為 71kgw,普 通的腳踏車平均重量則為 13kgw。總重力為 84 9.8 = 823.2 牛頓,靜摩擦力亦為 823.2 牛頓。經由查詢資料,得出「橡膠」對上「鋼」的摩擦係數為 0.8 之後,代回式(一)可得到正向力 F 為 823.2/0.8 = 1029.75 牛頓。因此,可得出結論:現實中必須在有約 1030 牛頓的風力時,才能夠使普通人兩津穩穩地貼著晴空塔的表面往上騎。 

 而求得風力後,為了換算為當時環境所需的風速,需要用到如下的風力強度公式:

(式(二))

圖(三)兩津勘吉騎上晴空塔影像

而要計算風速,除了風力強度公式外,還必須考慮接觸表面積,而由圖(三)騎上晴空塔時 的影像,得出所需要計算的部分有:前輪的前半部、後輪的後半部、兩津的後腦杓及背部。 利用下方的公式,以動畫中作者設定兩津的身高和體重,得出兩津身體的總表面積約為 1.8 平方公尺。而以成年人來說,背部表面積約佔全身的 18%,而後腦杓則約佔 4.5%,表面積總 和約為 0.405 平方公尺。 

(式(三)) 

 藉由其身高與站立時的身體比例,可等比例求得上軀幹長(頭頂到腰帶)與腰寬。而兩津勘 吉的腳踏車輪胎大小可以藉由騎車時的影像等比例推算求得,直徑約為 55.02 公分,輪胎寬度則約為 6.79 公分。車輪暴露在風下的總表面積為:平方公分,約是 0.059 平方公尺。詳細比例參見下圖(四)、(五)、(六)。

圖(四)由身高求得腰寬與上軀幹長

圖(五)由上軀幹長求得輪胎直徑

圖(六)由輪胎寬度求得腰寬

 將兩津身體曝露在風下的表面積與腳踏車暴露在風下的表面積相加,約為 0.464 平方公 尺。再藉由資料,查得空氣密度 p 為 1.225 公斤/立方公尺,代入式(二)得到: 

求出的風速 v 約為 60.2 公尺/秒,由圖(七)可得知,這相當於蒲福式風級的十七級風,是 強烈颱風以上的等級。由此進一步下結論:在當地風速約為十七級風時,普通人的兩津才能 夠穩定的貼在晴空塔上不會打滑。 

圖(七) 蒲福氏風級表

 在求得可以穩定附著在晴空塔的環境因素後,接下來討論第二個問題。

由晴空塔官方網站得知,晴空塔高 634 公尺,而晴空塔的底部為正三角形,每邊 68 公尺,因此算出外心距離為公尺,騎上去的樑柱與地面的角度 tanθ = 16.18,約為 86.5 度,綜合 以上可以計算出總距離約為 635.2 公尺。詳細計算參考圖(八)、(九)。 

根據動畫顯示,兩津騎到第 1 展望台時炸彈還剩 60 秒引爆,而兩津從到達最頂端到爆炸 這之中過了 24 秒,故可得出兩津從第 1 展望台到最頂端花了 36 秒。由兩津騎腳踏車 284.4 公 尺的距離花了 36 秒,可求得速度為 7.9 公尺/秒,相當於 28.4 公里/小時。以一般人在平地騎這種非公路車來說,這個速度已經算頗快了,何況兩津可是在近乎垂直的樑柱上騎到這種速 度呢!就算今天現實中有足夠的風力把我們壓在樑柱上不掉下去,但在要克服向下重力的情 況下達到這種速度,也幾乎是也只有兩津才做得到吧,實在太厲害了!

圖(八)東京晴空塔外心計算

圖(九)東京晴空塔斜邊計算

圖(十)東京晴空塔簡圖與剖面

 在完結篇的最後。兩津勘吉雖然超乎常理以他的自行車「千鳥」在近乎垂直的角度下騎 上東京晴空塔,並成功在時間限制內騎到頂端,使炸彈爆炸時減少對東京都城區的危害,但因為炸彈包卡在手上沒有成功丟出去而喪失了性命(雖然最後還是復活了)。當他在決定騎上晴空塔時說過一句話:「如果搭乘晴空塔的電梯就太慢了!」。但是我們對此有些疑問,根據晴空塔官方的資料,電梯速度為 10 公尺/秒,而兩津的騎車速度為 7.9 公尺/秒,若搭乘晴空塔電梯到觀景台後再騎車上去,到達頂端後應該還可以有多出幾秒時間可以讓他重新將炸彈包丟到更遠的地方,故事也將因此改寫。發現這個矛盾後,我們感到有些好笑,不免想要像大原所長一樣向他吼出:「兩津,你這個大笨蛋!」 

 在觀賞動漫的途中,不仿試著以物理學來分析其中的情景,遇到難以置信的片段,不知 道在現實中能否達成時,保持疑問的態度,嘗試解釋其合理的過程,最終推理出結果。這樣 將平時所學運用在生活中,不僅讓那些知識變得更平易近人,也增進了我們的思考能力。雖說有時會遇到常理無法解釋的片段,或許就只有在動漫中才能實現。但也不要認為動漫都不切實際而不值一顧,像烏龍派出所中儘管有許多超現實的劇情片段,但也因為有了這些部分, 才賦予了其主角兩津勘吉的人格形象,也讓這部作品在動漫界中獨樹一幟。一路走來我們看 到兩津飛天遁地、出生入死,為了保護所愛之人不顧一切,情緒也不免隨之變的熱血沸騰, 並在腦海中留下了許多美好的回憶,這也就是這部動漫帶給我們的深遠影響吧! 

引註資料: 

1. http://atc.sjf.stuba.sk/files/mechanika_vms_ADAMS/Contact_Table.pdf?fbclid=IwAR0ZrMg21y 9hUYFNuTZk0szvLS-BLtU1weyy-kXfr6T_f4WE6uZppe2VKCs 

2. https://www.medicinenet.com/body_surface_area/definition.htm 

3. http://blog.nclexmastery.com/estimating_tbsa/ 

4. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A9%E6%B4%A5%E5%8B%98%E5%90%89#%E5%A4 %96%E8%B2%8C%E9%AB%94%E6%A0%BC 

5. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E6%B0%94%E5%AF%86%E5%BA%A6

6. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%B2%E7%A6%8F%E6%B0%8F%E9%A2%A8%E7%B4 %9A 

7. http://www.medcalc.com/body.html 

8. http://www.tokyo-skytree.jp/cn_t/

「捷」出的一拆,搭捷運也能這樣省!?|2021數感盃|高中專題|優選

作者 陳曦、蘇禹安 / 台北市立大同高級中學

上高中後,搭乘捷運成為日常生活的一部分,某月初進站時發現悠遊卡多了一百多元, 剛開始以為自己記錯卡片的餘額。但到了下個月初又多了一筆錢,所以去加值卡機查詢儲值 紀錄,發現原來是捷運卡的回饋金。 

查了台北捷運公司官網資料,現金回饋比例是由上個月累計搭乘次數根據下圖(圖一)的 對應方式決定,而回饋金為累積搭乘金額再乘上現金回饋比例,在每個月初會回饋到捷運乘 客的悠遊卡。

某個月的月底,放學搭捷運回家,進站時我發現這個月恰好乘坐捷運 50 次,差一次就可 以在下個月拿到 30%的現金回饋比例,於是我在途中先出站,再進站搭乘捷運。果不其然, 下個月的回饋金就是上個月搭乘金額的三成。 

因此我好奇,如果不考慮進出站與等車的時間成本,單純以花費考量,「把單趟車程分段 搭乘來累加搭乘次數,以此獲得更多的現金回饋比例,如此一來我是否能省下搭乘的花費?」 又有哪些分段方式可以省下通車費用;哪些則不行呢?於是,我們開始了以下研究。

捷運地圖如下圖(圖二),事實上可以分段搭乘的路線不勝枚舉,我們無法一條、一條去 計算比較哪些路線分段搭乘比較划算。關於如何分段搭乘比較省錢,我們會從「(問題一)拆 成幾段搭乘?」、「(問題二)每月搭乘幾次?」、「(問題三)乘坐多少里程數?」等三方面去 討論,再利用所學的不等式運算,找出分段搭乘比較省錢的方法,以此判斷哪些路線可以分段搭乘。 

首先,我們先探討分段搭乘的票價至少會貴出多少錢? 

上圖(圖三)是台北捷運公司官網公告的捷運車票計價方式,是根據起/終點的行車距離 計算票價,我們將乘車距離對應的票價整理在下表(表一)。 

若今天我們出門需乘坐 24 公 里的車程,則票價為 55 元,如果分成兩段 12 公里乘坐的話,票價就變成 35+35=70 元,所以分段搭乘貴了15 元。然而,也可以拆成 5+19 公里來乘坐,則此費用變為 20+45=65 元,僅貴了 10 元。 

所以,各個階段的票價,會因為分段搭乘的方式不同而有不同的費用。事實上,我們經過各種拆法的嘗試,在 55 元的票價之下,拆兩段的總票價至少會多出 10 元。上表(表一)是我們整理出來各個票價之下,分拆成兩段與三段搭乘時,要多支付的最小差價以及其分段乘坐的方法。從此表我們可以得出:

1. 分成兩段搭乘的話,票價至少要多花 10 元。  

2. 分成三段搭乘的話,票價至少要多花 20 元。

接下來,將比較分兩段/三段搭乘的現金回饋比例與單趟搭乘的現金回饋比例之間的差異。 

根據捷運公司公佈的搭乘次數回饋金比例資料(圖一),我們整理出單趟搭乘與分段搭乘 的比較表格,如下表所示:(表二)為拆三段搭乘的比較;(表三)為兩段搭乘的比較。由下 表二、三可知,當每月搭乘次數為 17~20 次時,分拆成三段搭乘與單趟搭乘的現金回饋比例 差距最多,高達 20%;而當每月搭乘次數為 26~30 次時,分拆成兩段搭乘與單趟搭乘的現金 回饋比例差距最多,最多到 15%。 

根據(表二)的結果,我們先討論第一個問題:「在搭捷運時,拆成幾段搭乘可以節省車費?」 

假設我們這個月份以 A 票價搭乘 X 次,所累計的現金回饋比例為 α%,則我們可以算出本月的回饋金為αAX 元,扣除回饋金本月實際花費為 

未分段搭乘的花費 = (1 − α)AX 元 

若將 X 次的搭乘,每次都分拆成三段來乘坐,每段票價分別為 B、C、D 元,則累計搭乘次數 增加為 3X 次,所累計的回饋金比例為 β%,因此本月的回饋金為β(B + C + D)元,而且本月實際花費即為 

分三段搭乘的花費 = (1 − β)(B + C + D)X 元

我們把「未分段搭乘的花費」減去「分三段搭的花費」即是分三段搭乘可省下的錢,然後再 除以搭乘次數 X 得 

(1 − α)A − (1 − β)(B + C + D)元 

即是「平均每一趟乘搭乘可以省下的花費」。因為,拆三段搭乘票價會至少貴 20 元,即B + C + D ≥20+A,因此 

(1 − α)A − (1 − β)(B + C + D) 

≤ (1 − α)A − (1 − β)(20 + A) 

= A(β − α) − 20 + 20β

因為票費 A 最多 65 元,回饋金的差(β-α)最多為 20%,拆三段的回饋金比例 β 最多為 30%, 所以分三段搭乘平均每趟可省下的錢不會超過下式: 

(1 − α)A − (1 − β)(B + C + D) ≤ 65 × 0.2 − 20 + 20 × 0.3 = −1 < 0

因此,分三段省下的金額是負數,即是不管如何拆三段搭乘都不划算。因為,拆四段以上搭 乘的話,每趟會增加更多票價,所以會更加不划算。因此,我們第一個小結論, 

結論一:「若分成三段以上搭乘,則總花費一定比不分段搭乘的花費更多。」  

因為拆三段以上搭乘一定不划算之下,我們考慮是否可以拆兩段乘搭。如同前段的分析, 將 X 次的搭乘,每次都分拆成兩段來搭乘,每段的票價分別為 B、C 元,則累計搭乘次數增 加為 2X 次,所累計的回饋金比例為 β%,因此本月的回饋金為β(B + C)元,而且本月實際花費即為 

分兩段搭乘的花費 = (1 − β)(B + C)X 元 

把「未分段的花費」減去「分兩段的花費」後再除以搭乘次數 X 可得,分兩段乘坐之下, 平均每一趟乘搭乘可以省下的花費為 

(1 − α)A − (1 − β)(B + C)元 

我們先考慮,如果分兩段搭乘的票價會比原來多 15 元以上的情況,即是B + C ≥ 15 + A,則 上式可以整理成, 

(1 − α)A − (1 − β)(B + C) ≤ (1 − α)A − (1 − β)(15 + A) ≤ A(β − α) − 15 + 15β

同理,因為票價A ≤ 65元,回饋金的差(β-α) ≤15%,拆兩段的回饋金比例 β≤30%,所 以,如果拆兩段的票價貴 15 元以上的話,兩段搭乘平均每趟可省下的錢不會超過下式:

(1 − α)A − (1 − β)(B + C) ≤ 65 × 0.15 − 15 + 15 × 0.3 = −0.75 < 0 

因此,在此情況下,分兩段搭乘也不會划算。所以,我們的第二個小結論:

結論二:「若分兩段搭乘的票價比原本貴 15 元以上,則分段搭乘一定不划算。」 

我們的第二個問題:「若分段搭乘,每個月要乘坐幾次才能節省車費?」 

根據(表一)所示,拆兩段搭乘票價至少貴 10 元,由上述結論可知,若分段搭乘能夠 省下交通費用的路線,則必須選擇拆兩段的票價只貴 10 元的路線,即是B + C = 10 + A。因 此,平均每一趟乘搭乘可以省下的花費,可以改寫成 

(1 − α)A − (1 − β)(B + C) = (1 − α)A − (1 − β)(10 + A) = A(β − α) − 10 + 10β

因為票價A ≤ 65元,回饋金的差(β-α) ≤15%,若回饋金的差(β-α)在 10%以內的話,則拆 兩段搭乘平均每趟可省下的錢不會超過下式: 

A(β − α) − 10 + 10β ≤ 65 × 0.1 − 10 + 10 × 0.3 = −0.5 < 0 

因此如(表三)所示,每月乘坐太少或太多次都讓回饋金的差(β-α) ≤10%,則拆兩段搭 乘不會省下車票花費。唯有在回饋金的差(β-α)在最高的 15%時,也就是每月乘坐次數在 26次到 30 次之間,拆兩段搭乘的方式才能節省費用。所以,我們的第三個小結論:

結論三:「若拆兩段搭乘的花費能比較少,則每月乘坐次數需介於 26 到 30 次之間。」 

最後,我們要討論:「至少乘坐多遠的距離,拆兩段搭乘才能節省費用?」 

因為每個月乘坐次數是介於 26 次到 30 次之間,所以單趟搭乘的現金回饋比例為 15%(α=0.15);而拆成兩段搭乘的次數增加為 52 次到 60 次之間,所以回饋比例為 30%(β=0.3)。 由(結論二)可知,拆兩段的路線必須是只能比單趟搭乘多 10 元票價(B + C = 10 + A),因此平均每一趟乘搭乘可以省下的花費可以表示如下: 

(1 − α)A − (1 − β)(B + C)元 = 0.15A − 7 元 

如果分段搭乘的方式可以省下費用,則上式要大於零, 

0.15A − 7 > 0 → A > 46.6666 … 

因此,若拆兩段搭乘能省下費用,則單趟乘坐的票價A要超過 46 元,即是票價A為 50、55、 60、65 元。所以,若從里程數來看,我們的第四個小結論: 

結論四:「搭乘超過 20 公里的路線,拆成兩段乘坐,才能省下費用。」  

因此「什麼路線可以分段搭乘呢?」總結上述討論的四個小結論如下:

當每個月搭乘次數為 26 到 30 次時,我們歸納出下面此種路線,拆成兩段乘坐可以省下費 用: 

「該路線票價大於或等於 50 元,並且拆兩段總票價只會多 10 元。」

因此,我們考慮每個月乘坐 30 次,即可算出不同票之下,分段搭乘最多可以省下多少錢,見 下表(表四)。所以,在不考慮時間成本,我們推論出分段搭乘的方法最多能省下 82.5 元。雖然 省下的金額不多,但是推論的過程中,我們發現到有些路線分段搭乘確實比較划算。

最後,根據我們的研究所找到路線選擇的條件,整理出下表符合這些條件的路線以及分 段方式。分成兩種方式呈現,(表五)為淡水信義線範圍內之路線、(表六)是以淡水為目的 站之路線,由於數量龐大未能全部列出。下次乘坐捷運時,如果起終點符合上述的條件,不 妨試試拆兩段乘坐看看,或許可以幫你在下月獲得更多的回饋金。 

資料來源: 

票價查詢-台北大眾捷運股份有限公司-票價查詢 

https://www.metro.taipei/cp.aspx?n=ECEADC266D7120A7

票價查詢-工具邦-台北捷運路線圖 

https://tw.piliapp.com/mrt-taiwan/taipei/

回饋金資料-台北大眾捷運股份有限公司-常客優惠方案 

https://www.metro.taipei/cp.aspx?n=AB56163F79ECB2C2

捷運路網圖-台北大眾捷運股份有限公司-路網圖 

https://www.metro.taipei/cp.aspx?n=91974F2B13D997F1

電子貨架標籤真的比紙本商品價格卡划算嗎|2021數感盃|高中專題|優選

作者 彭姿寧、周丞祺、康育綸 / 新店高中

一.研究動機 

台灣每個奇數月的 25 號是發票開獎的日子,不少人用行動載具存發票,取代紙張發票的使 用,以減少樹木砍伐,保護環境。一般民眾在購物時,最常見的商品價格標籤大部分還是 以紙張形式(紙價卡),但若能夠將全面設為電子紙貨價標籤(下簡稱"電子標籤"),又將能減 少多少的樹木砍伐和更換的人力成本呢?對於環境的改善與影響是否划算呢? 

二.研究背景 

(一) 以 7-11 為研究對象,將實地訪查結果整理如下表:

(二)透過實地訪查與網路搜尋,整理紙本商品價卡和電子貨架標籤資訊比較,如下表: 

三.探究過程 

(一)歷年來時薪的調整 

 雖然目前的時薪是 160 元/hr,但過去已有多次調整,因此考慮薪資的平均成長率。 一個電子標籤的壽命是 6 年,所以我們取 104 年到 109 年期間的薪資調整。 根據中華民國勞動部網站表示,薪資調整如下: 

運用「幾何平均數」來計算基本薪資每年平均成長率為 1.057: 

訪問結果可知 1 週需要花 1+0.5+0.5=2 小時的時間在價卡上,一個月大約有 4 週, 所以每個月需要 2×4=8 小時的時間在這,每年則是 8×12=96 小時。我們有了調整倍 律(公比),以及 110 年(首項)到 115 年(末項)的時薪,使用「等比級數」計算 未來 6 年需花費的人力成本為 153600 元。(110 年每小時基本工資為 160)

(二)環境影響-樹木砍伐與碳足跡: 

我們上網蒐集樹木所能製造的產量。每噸紙漿可以做出 40 箱 5000 張紙,1 噸紙漿約 需砍掉 24 棵高度 12 公尺、直徑 15~20 公分的樹木,所以 1 箱的紙需要砍掉:

24÷40=0.6 棵樹 

1 箱的紙有 5000 張,因此 1 張 A4 紙需要: 

0.6÷5000=0.00012 棵樹 

在保育環境方面,透過產品碳足跡資訊網,我們可以得知一包 500 張的 A4 紙的碳足跡 為 3.8kg CO2e,一張 A4 紙的碳足跡為: 

3.8÷500=0.0076kg CO2e  

(三)紙本商品價卡與電子貨價標籤成本分析: 


更換時間這方面,人力更換 2 週換 250 張,1 次換 1 小時,1 個月大約有 4 週, 可得 1 個月換 250×2=500 張紙需要花費:1×2=2 小時 

(1)若新開一間便利商店,使用紙本商品價卡成本分析: 

一包 A4 大小的紙價卡有 20 張,價格為 47 元。而 1 張 A4 大小的紙可以分成 48 張的價卡,所以 1 包可以分成 20×48=960 張的價卡,是全店 960÷1000=0.96 倍所 以全店紙張需花費 47÷0.96≒49 元 

根據店員所述,自行影印全電價卡的墨水費為 5 元左右,耗時 1.5 小時,耗電為 2 度電,而 1 度電為 1.5 元,所以電費是 2×1.5=3 元。 

價格卡上的字,是使用條碼掃得商品資訊,掃描再加上更換的時間,全店更換則 需要 4 小時。目前總共是要花 5.5 小時去更換全商店的價卡,再加上平時的檢查 和清點等其他時間,一共要 8 小時左右,目前員工的薪水是 160/hr,所以全部費 用是 49+5+3+8×160=1337 元。

於環境方面,1000 張價卡相當於:砍 1000÷48×0.00012=0.0025 棵樹排放 1000÷48×0.1538=3.297kg CO2e。 

(2) 若一間便利商店六年,「紙本商品價卡」與「電子貨架標籤」成本比較: 我們知道 2 週花 1 小時換 250 張價卡,1 個月大約為 4 週,算出 1 個月大約要花 1×2 小時換 250×2=500 張紙價卡。電子標籤的壽命是 5~7 年上下,我們打算以平 均的 6 年(72 個月)為基準去估算。 

「紙本商品價卡成本」: 

紙本商品價卡須花費[(1000+500×72)÷960]×47+106335≒108146 元 

對於環境相當於砍伐 37000÷1000×0.0025×72=6.66 棵樹,並排放 

37000÷1000×0.1583×72≒421.7kg 的 CO2e。 

「電子貨架標籤成本」 

1 個電子標籤是 140 元,全店一千項商品更換全部需要 140×1000=140000 元, 電子標籤更換效率是 3000 張/hr,而 6 年內會換 36000 張,需耗費 6000÷3000=12 小時。 

 所以將紙本商品價卡更換成電子貨架標籤會少花費 236760-140000=96760 元,並省  下人工耗費(72×2)-12=132 個小時,減輕許多員工的工作量。  (四)不同規模商場比較 

以 6 年(110 年~115 年)為期限,假設中型商場(營業面積 200 至 2,000 坪)的用 量是小型商場(營業面積 60 至 200 坪)10 倍,更換量是 5 倍,其他成本是 10 倍; 大型商場(營業面積超過 2,000 坪)的用量是小型商場的 30 倍,更換量是 15 倍, 

其他成本是 30 倍。因此由仿照前面的計算方式,可以推算不同規模商場使用不同商 品價格卡所需成本:

四.發現與結論 

 雖然汰換電子標籤並不是很划算,但與年營業額相比,更換的錢就像沙漠裡的一粒 沙。電子貨架標籤不止能以彩色文字顯示商品價格,也能以圖案顯示顯示品牌 Logo,或顯示二維條碼,讓顧客立即掃描瞭解商品產銷履歷,除了能更吸引顧客目光、

拉長顧客在店內停留時間進而提高商品購買數量,或者是另類廣告行銷等優勢,但因為 這些為潛在效益,若不考慮價格,也可能吸引部分銷售業者使用。 

參考資料:  

1.https://www.cpami.gov.tw/便民服務/減紙-護樹-愛地球.html 紙樹換算 

2.https://reurl.cc/L0pL39 電子標籤 

3.https://reurl.cc/V3jQoN 電子標籤 

4.https://reurl.cc/l094aj 電子標籤 

5.https://reurl.cc/OXpLqA 電子標籤 

6.https://reurl.cc/V3jQmR 電子標籤 

7.https://reurl.cc/pmWN9r 紙張碳足跡 

8.https://reurl.cc/qmO4pp 碳足跡 

9.https://www.mol.gov.tw/topic/3067/5990/13171/19154/ 歷年調整薪資 

10.http://www.einkcn.com/bbs/thread-173.htm?sort=desc 電子標籤碳足跡 

11.http://www.led.glob.tw/topics.aspx?id=272 電力碳足跡 

12. https://reurl.cc/l0odKd 商場定義

褲子界的「虎式坦克」|2021數感盃|高中專題|優選

作者 牛禮祥、張宸豪、林廷宇 / 永春高中

在我們熱愛的漫威電影中,有一個角色,看似平凡無奇的一般人。別怪我沒有事先提 醒,你千萬不要惹怒他,一旦有人激怒他,我們斯文的主角,就會來個大變身,不僅身形變 大數倍,體重也是以誇張的幅度上漲,深怕人家忽略了他似的。而他就是眾所皆知的綠色真 男人-無敵浩克。 

 說到無敵浩克,飾演他的演員-布魯斯班納,身高 公分(參考資料 1),對外國人 來說還偏嬌小。他在電影中的職業是科學博士,在一次研究伽瑪炸彈實驗中發生爆炸,受到 放射汙染後,突然間變身為身高 公分的浩克,體重也增加至 公斤,皮膚隨即變成 綠色,全身充滿肌肉,更意外擁有了超強的再生能力,可以抵抗所有疾病、病毒,更包刮了 新型冠狀肺炎囉!更可以在極端溫度下生存,甚至能在水下呼吸且能快速移動。大家可以想看看這個畫面:復仇者聯盟1中,在「外星怪物龍」入侵地球後,大部分的英雄已經被外星人 纏著,正當所有英雄感到絕望至極時,從廢墟中走出了塵封已久的班納博士,說了句:「我永遠是憤怒的!」。一轉身,以迅雷不及掩耳的速度,臉一綠,就變成了無敵浩克。

小時候看電影,我們沒注意到這個問題,往往注視在打鬥場面,多年後回顧時,就發現 一個不尋常的現象,令我感到好奇。原本浩克所穿的藍色襯衫被碩大的肌肉撐破,這個現象 是理所當然的,但意外的是,當鏡頭拉向他的褲子時,卻發現他的褲子竟然沒有爆裂!這怎 麼可能?!我們不禁好奇他的褲子到底是用了甚麼特殊材質,又或是什麼黑科技設計來的 呢?也許世界上是真的可以做出這種褲子也說不定,這個疑惑促成了我們想破解並研究這件 褲子的奧秘!我們想研究他的褲子到底是有多厲害,可以撐住如此龐大的形變量,並且將電 影中所有我們認為不尋常的的片段加以分析推測,解開沉在我們心底的謎題。 

 讓我們先探討這件事情的真實性吧! 

 我們從仔細觀察電影畫面,可發現班納博士所穿著的褲子乍看之下像工作褲,但實際上 竟然是我們難以想像的黑色牛仔褲,這不是更容易破裂嗎?國中就學過的「虎克定律」,可 以幫助我們檢驗電影裡的情節,有沒有可能會導致浩克的褲子被撐破。現在就讓我們把這個 問題分解成六個步驟來驗證。 

第一步驟:引入虎克定律

 先 依 照 虎 克 定 律 列 出 : F=Xk。 國 中 理 化 課 本 中 有 介 紹 , 其 中 「F 」 為 拉 力 (牛頓、Nt ),「X 」其意義為位移量(公尺、 m),接著最難的則是「 k」也就是彈力係 數,其單位為(N/m )。 

第二步驟:計算形變量 

 了解完彈力位能公式後,首先要計算的第一個變數為「 X」值,也就是大家所知的形變 量。由上文可推知班納博士的原腰圍大約為 39 至 40英吋 (大約為 公分,取最小 可能值為 99公分,變為浩克時的腰圍依照官方定的 130英吋(約為 330.2 公分)為了方便計算我們取 330公分。可以推得浩克腰的形變量為 3.3 (公尺)-0.99( 公尺)=2.31(公尺)。 

第三步驟:彈力係數 

 要求彈力係數,我們必須假設浩克所穿著的褲子為牛仔褲。牛仔褲的主要成分是純棉 (參考資料 3),故我們去尋找純棉的彈力係數。我們蒐集歷屆科展的資料,發現有關於衣棉線的彈力圖表,由下圖可知直線的斜率即為其彈力係數,因斜率為,故彈力係數即為 20(參考資料 4)。

第四步驟:計算實際拉力 

 將我們所有的變數全部合而為一,其算式如下:

 由上式可知,褲子的彈力位能約為 牛頓。我們知道,想要一件能輕易爆破的褲子, 基本條件就是褲子本身的縫線需要一直綿延下去、不可間斷,但目前最厲害的縫線,利用力 轉換器計算後,能承受的最大負載力為 1200 ,約為 11牛頓,遠低於浩克給出的 42 牛 頓,或許在漫威的世界中有能夠支撐 42 牛頓的布料,但在我們這個世界離可以支撐住的布料 還遙不可及,因此我們要在此宣布:

 浩克的褲子破定了!!!

經過我們換算並且計算後,我們證實了浩克先生的褲子經過壓力計算後必定會爆破,並 非像電影演的一樣完好如初。這個研究啟發了我們,要懂得運用更細微的觀察力及懷疑的能 力來看待發生在我們周遭的事物,唯有如此,我們才能不斷地找出疑問點去研究並且去證實 是否有違常理。研究中,以前學過的知識大大幫助了我,不管是從海量的資料中找出真正的 訊息,或是過濾一些不正確的訊息,都要非常仔細,經得起科學檢驗。也許研究的過程中有 所遺漏或不完整的地方,但我們卻可以學到更多課本上學不到的地方,透過研究讓我們彼此 間腦力激盪,把生活中的現象化為更有趣的探討。 

 我們對於結果感到滿意,因為我們用了一些簡易的原理,就將電影內的小瑕疵加以找出,也得到了我們想要且合適的答案。未來我們希望親自為浩克設計一件褲子,在彈力係數 上由自己操刀,這樣能使數據的可信度大大提升。 

參考資料: 

1.https://www.itsfun.com.tw/%E7%B6%A0%E5%B7%A8%E4%BA%BA%E6%B5%A9%E 5%85%8B/wiki- 2936136-1823016 綠巨人浩克官方簡介  

2.http://www.mold.net.tw/classroom/unit.htm 單位換算表  

3.https://tw.answers.yahoo.com/question/index?qid=20050912000013KK04505 牛仔褲是什麼 材質?  

4.http://yabit.et.nthu.edu.tw/2017yabit/award/3/2011007.pdf 各種材質的受力限度,以及彈力限度

 5.https://www.digikey.tw/zh/resources/conversion-calculators/conversion-calculator-force ( 力 換算器