鑲嵌圖形,生活中的規律 | 2022數感盃 | 高中專題 | 佳作                                                 

作者 梁高銓、張怡東 / 台北市中正高中

在生活中,我們常常會遇到一個又一個的「面」,無論是像牆壁一樣直挺挺的守在那裡,抑或是像布匹一樣柔軟的依附在桌上,充滿創意的人類,不願意這些平面如此地無聊,往往會抹幾筆豐富的色彩、刻幾處象徵的圖案。到了中世紀的教堂,藉由彩繪拼貼玻璃在光線底下的作用,感動了許多的信徒;這個彩繪玻璃,就是包含著幾何中密鋪(Tessellation)的概念。

所謂密鋪(又稱平面填充),就是把一個面,用圖形填滿,例如:街道、自然中的蜂巢就是這樣的構造,運用六邊形整齊的鋪滿整個蜂巢,是人類發現密鋪的開始。

道路上的街道也是密鋪的應用,以下兩張皆是密舖

<圖片來源:桃園市區公所>

基於密鋪圖形的定義,只要把一個平面鋪滿,不論規律於否,皆是密鋪;這樣的規律過於廣泛,因此數學家們將這些密鋪加以限制,以便討論他們。

密鋪中最具規律的是正鑲嵌(Semi-Regular Tilings)及半鑲嵌圖形,接下來我們分門別類,討論正鑲嵌跟半正鑲嵌圖形,第一種正鑲嵌,第二種半正鑲嵌。 

由同一種正多邊形鋪滿平面,稱為正鑲嵌。
舉例:
⇓只用正六邊形把平面鋪滿⇓        ⇓只用正八邊形不能鋪滿整個平面⇓              

正鑲嵌也稱為正多邊形鑲嵌,目前分為三種:三角形、正方形、正六邊形。他們的規律就是正多邊形緊密的排列在一起,我們上面介紹的蜂巢就是此種類型的密鋪。至於為什麼是只有三角形、正方形、正六邊形能夠正鑲嵌?
首先我們根據角度來討論,我們發現這三種的角度60°、90°、120°我們可以得到以下關係α x t=360°(α為內角角度,t∈N),那照此邏輯30°跟180°這兩個數也滿足條件,應該也可以製成正鑲嵌圖形;所以我們經由 (α為內角角度)來計算,這兩個角分別為多少邊形,可以得出2.4邊形及0邊形,但邊數不可能有小數點或0,所以並沒有內角為30°及180°的正鑲嵌。

這裡特別介紹一個五邊形密鋪;由於我們上面有提到正五邊形的角度無法湊成360°,但是我們可以把條件放寬至五邊形就好,因此就可以利用三個五邊形拼成一個六邊形進行平鋪:

由先後不同的數學家們的研究,最後發現五邊形的平鋪總共有15種
上圖為一位名為Marjorie Rice的家庭主婦所寫的筆記,據網所寫圖片出自《The Mathematical Gardner》這本書

由兩種以上邊長相同的正多邊形鋪滿整個平面,稱為半正鑲嵌(Demiregular Tessellation)。

依據正鑲嵌推倒出來的規律,我們可知若要形成一個規律且密鋪的圖形,該圖形裡裡每一個頂點皆能為360°,故可以推得以下公式:
已知每一個正k邊形角度的算法為:
將其一點形成的多邊形角度加總後為360°,故可推得:
假設n為一點繞一圈所經過的多邊行數量,ki為第i個多邊形的邊長數量,該公式經整理可得以下公式:

這個公式告訴我們可以藉由正多邊形組成一個點,然後將其組合並擴大,再進一步地完成整個密鋪。我們列舉了維基百科上阿基米德平鋪的例子,以驗證這個想法是對的。

(單位規律圖形,這裡定義為能夠以平移組成該半鑲嵌的最小組成圖形。)


該圖是否符合公式,任意找一頂點符合我們說的公式在上面圖形中任意一點由一個正方形、兩個八邊形組合成360°。每一個規律圖形的組成為一個正方形加一個八邊形。此凸多邊形內角為1440°。該圖是否符合公式,任意找一頂點符合我們說的公式任意一點由一個三角形、兩個正方形、一個六邊形組合成360°。每一個規律圖形的組成為兩個三角形、三個正方形、一個六邊形。此凸多邊形內角為1440°。

該圖是否符合公式,任意找一點符合我們說的公式在上面圖形中任意一點由三個三角形、兩個正方形組合成360°。每一個規律圖形的組成為四個三角形、兩個正方形。此凸多邊形內角為1080°。該圖是否符合公式,任意找一點符合我們說的公式在上面圖形中任意一點由兩個三角形、兩個正方形組合成360°。每一個規律圖形的組成為兩個正三角形、一個六邊形。此凸多邊形內角為1080°。
該圖是否符合公式,任意找一點符合我們說的公式在上面圖形中任意一點由一個三角形、兩個正方形組合成360°。

每一個規律圖形的組成為兩個三角形、一個正方形。此凸多邊形內角為2180°。
該圖是否符合公式,任意找一點符合我們說的公式在上面圖形中任意一點由一個正方形、一個六邊形、一個正十二邊形組合成360°。每一個規律圖形的組成為一個六邊形、兩個正三角形。此凸多邊形內角為1080°。
該圖是否符合公式,任意找一點符合我們說的公式在上面圖形中任意一點由四個三角形、一個六邊形組合成360°。每一個規律圖形的組成為八個正三角形、一個六邊形。此凸多邊形內角為2160°。該圖是否符合公式,任意找一點符合我們說的公式在上面圖形中任意一點由三個三角形、兩個正方形組合成360°。每一個規律圖形的組成為一個正方形、兩個正三角形。此凸多邊形內角為720°。

經過網路上的查詢,我們發現這個其實可以利用一種叫做Cundy & Rollett的符號表示舉最左上角的圖為例,在上面圖形由一個正方形、兩個八邊形組合成任意一點,其表示為C&R:3.122
規律圖形幫助我們理解如何製作該鑲嵌圖形,並且我們發現它們的內角合皆為360的倍數。

所有的阿基米德平鋪皆適用此公式,若是加上均勻平鋪、解剖、對偶之類的那變化上就更多樣了。也因此平鋪也被用在許多地方上,除了地板、牆壁這種平整的面之外,擴展到現實生活中的足球、籃球,甚至建築上一些圓頂的處理,皆是非歐幾何中雙曲平面上所呈現的鑲嵌息息相關。

圖為穹頂空間(Dome of Visions 3.0)於2016年由Atelier Kristoffer Tejlgaard建造而成

上圖為台灣博物館在2004年翻新鑲嵌玻璃之後的樣子,當時仍留有鑲嵌玻璃的只有台博館、北投溫泉博物館及監察院

生活中充斥著各種不同的圖形,小時候的我們好奇的問著為什麼?而長大後的我們則視之為理所當然進而忽略這些神奇的巧合,因此知識的道路也一扇一扇地向我們關閉。這次的題目是由於我們看到位於台北市士林區的天文館旁邊的全天域劇場,既使這個劇場並非是二為空間中的鑲嵌,但是它讓我們開始思考數學上如何鋪滿一個面,進而去了解這些東西。

誰要是不再有好奇心也不再有驚訝的感覺,誰就無異於行屍走肉,其眼睛式迷糊不清的。 –愛因斯坦

參考資料: 

教堂照片
https://immian.com/sainte-chapelle/
人行道
https://m.facebook.com/taoyuandistrict/posts/1800723343279385
半正鑲嵌圖片來源https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E6%AD%A3%E9%91%B2%E5%B5%8C%E5%9C%96
蜂巢
https://kknews.cc/news/eppj4zz.html
穹頂空間
https://www.archdaily.com/photographer/atelier-kristoffer-tejlgaard-helle-arensbak-and-jonathan-bisagni
圓頂照片
http://ntmedu.blogspot.com/2012/05/blog-post_22.html
五邊形平鋪
https://www.thenewslens.com/article/73854#&gid=1&pid=1
天文館介紹
https://www.tam.gov.taipei/cp.aspx?n=6AF7BADE42537535

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