管管你的身材!–探討吸管施力與切口之關係 | 2022數感盃 | 高中專題 | 優選

作者 張祐薰、潘葦軒、鍾承芳 / 新竹市竹科實中

壹、前言
        挖咧,吸管又刺不下去了啦!更悲傷的是它還刺出一個小洞,香醇濃郁的珍奶隨著手上力道的收緊汩汩流出,沿著杯壁滑落到手上、地上……
  不知道你是否曾有過同樣的經歷呢?對於戳破封膜的力道掌握不佳,導致周圍都被滴得一團糟的慘劇一再上演。到底要如何才能順利喝到飲料?正是所謂知己知彼,百戰不殆,我們著手分析有關吸管的一切,在期間,發現吸管側面居然是三角函數局部圖形!並且不同角度的吸管,對戳破封膜力道也有不同的影響,甚至可以用數學找出三角函數的規律!到底怎樣的外型、角度、曲線最方便我們喝到珍奶呢?塑膠吸管和紙吸管又有甚麼區別呢?讓我們繼續看下去。

貳、正文
主題一、吸管居然處處是函數!讓我們一窺它曼妙的曲線
(1) 側面的纖腰
        吸管的側面之所以會是三角函數圖形,並不是廠商有意為之,而是由於塑膠本身的「彈性」。在我們剪吸管時,吸管是被壓扁的,但在剪開後它又恢復成圓形,因此切斷面也隨之變形,不再是原本筆直的直線。
       當我們把吸管放到三維坐標系中,以吸管的圓心連線為Z軸,截面最底部的水平面為X軸,垂直兩者的為Y軸(如圖一)。

        此時(吸管為圓形),(x,y)分別為(rcosθ , rsinθ)。若令吸管剪斷的角度為 ,並把吸管壓扁來看, 橫軸上的長度會隨著角度改變,而 z(高度)亦會隨之之改變。取截面上任一點為例,兩者之間的關係如下圖二

因此,我們可以得到整個z()的數學式:

(由於目標為x-z平面投影,因此此處只考慮半邊的吸管,即 0≤θ≤π )
        在得到z的座標後,我們可以得知吸管的(x,y,z)座標為(rcosθ , rsinθ , rtan())。而吸管在x-z平面上的投影,即為我們的目標一吸管側面的圖形。取x與z的關係式,可以得到下列式子:

      若我們以r=10,為例,此時z的最大值為:
因此吸管的側面圖形即為 0≤z≤15.7 之函數圖形。使用GeoGebra畫出所求,得到的結果如下

(橫軸為X軸,縱軸為Z軸;綠線為z= 0,紅線為z=5)
       透過以上證明,我們得知塑膠吸管的側面圖形是三角函數。
       此時讀者或許會有疑問:那為何紙吸管是平整的截面呢?答案是因為紙吸管沒有彈性,若壓扁了便無法復原,因此廠商多選用切鋸或雷射切割等方式,在讓紙吸管保持圓形的情況下切下截面,因此沒有壓扁再彈回的過程,自然也不會出現因塑膠彈性而產生的三角函數啦!

(2)正面的凹凸有致
          正因為塑膠吸管有彈性,它其實是容易彎折的。相信許多人使用吸管時,都曾有過因為自己的「洪荒之力」而不小心將吸管折彎的經歷。這也讓我們開始疑惑:當吸管彎折時,它的極限是折到哪個位置呢?吸管的3D圖形輕易地解釋了這個疑問。
         上述證明僅考慮到半邊吸管,若欲得知吸管正面圖形(即y-z平面),則需考慮吸管全貌。已知吸管最高處為 =180度,在超過180度後以鏡面方式向下對折,因此可得到

        使用GeoGebra的3D繪圖功能,可以得到吸管的3D圖形如下圖四

       從圖中可以得知,吸管在頂端(5)到一半(2.5)處為一層平面,超過一半後變為兩層立體,若要彎折需花費更多力氣(折彎單層與雙層之力差距極大,若無特別加大力量則難以跨越),因此我們推論吸管理論上的彎折處為圖形的一半,透過實驗我們也證實了這一點。

主題二、如何帥氣的的破開封膜防禦?
(1)旋風~破!
透過實驗,我們整理出剪15、30、37、45、53、60、75度(此角度為上圖二之)的吸管穿破飲料封膜所需的力,並將其分為「穿破後被彈開」和「穿破且未被彈開」二種,其利用的公式如下
自由落體公式:

動量公式:

可得對膜施力為:

我們的實驗裝置:

實驗結果如附表:

75°的吸管高度增加是因為角度太尖,使我們的砝碼不好掛上去,因此只在正中掛了一個5g的砝碼,又由於重量減輕,高度隨之增加,但如果以整體對膜施力來說,數值還是持續變小。

(2)恰到好處地打倒敵人,總是最帥的
相信大家都知道吸管越尖越容易刺開膜的道理,但吸管角度和破開膜需要施的力有甚麼數學關係呢?首先,膜破開所須承受的壓力是一樣的,由物理公式 可知,壓力固定時,正向力(破開膜需要施的力)正比於受力面積,因此我們必須算出吸管與膜的接觸面積。
如果膜的鬆緊度完全一樣,則所凹陷的距離應該也相同,假設凹陷的膜完全貼合吸管,則接觸面積可以壓扁的平面圖表示,如圖七

也因此,可知破開膜需要施的力

利用破開膜所需施力與csc()成正比的關係,我們整理出兩者關係圖如下:

主題三、效能比一比
(1)它才是我們的理想型(市售塑膠吸管的角度與我們的理想角度)
     經過測量,我們發現市售吸管角度多為30°,而實驗數據所得最佳角度應為37°(位於數據轉折點,角度既不會太斜,所需力也較小)。考慮吸管角度對吸食配料(珍珠、椰果等)的影響,我們將吸管剪成37°使用,發現其實並不影響吸食功能。我們推論商家應是基於安全顧慮,為避免顧客因過尖的頂端受傷,因此選擇較鈍的角度。

(2)武學秘笈
結合主題二和主題三的內容,就讓我們來教教你要使用多大的力,才能恰到好處的刺破封膜,將手滯留於刺破的瞬間吧!
30°吸管需要用到3.36N的力,約等於336gw,以生活中來說,等同於我們將(較難按的uni.ball ഽingo 0.38)原子筆按下的力。
而如果是37°的吸管,則差不多是221gw,相當於拿起手搖飲的力量,也相當於打手遊激動時按下的力道。

(3)你當我紙做的嗎?水桶練出小蠻腰!
        隨著環保意識的興起,許多店家開始提倡使用紙吸管。這樣的舉措固然是利於環境的永續發展,卻也引起許多消費者的不滿;而其中一大原因,便是由於紙吸管難以戳破飲料封膜,造成消費者許多不便。我們將這樣的現象歸咎於兩個因素:材質及主題一討論過的側面形狀的不同。
        我們利用電子秤,將紙吸管與塑膠吸管於其上壓至變形,此時兩者側邊皆為三角函數圖形,並觀察變形點力的數值。我們發現相同切口形狀下,紙吸管約於517gw、塑膠吸管於1488gw時變形,表示紙吸管較塑膠吸管軟,說明材質對於需要施的力還是有一定影響的。因為紙吸管通常是由多層紙漿堆疊而成,在一瞬間施力時容易鈍掉,較不好戳。
        另外,側面圖形的不同,也是塑膠吸管較紙吸管方便的原因。由主題一的結論可以推得,因為塑膠吸管的頂端是尖的,有利於戳破封膜;而紙吸管則是平整的面,吸管的頂端是橢圓的弧形,相較塑膠吸管缺乏一個突破口,因此較不方便使用。並且我們發現,對紙吸管來說,平整截面反而比三角函數截面好戳穿封膜。水桶勝利!

參、結論
        在分析過「側面曲線」和「相處壓力」後,我們找出手搖杯的理想型—37°的塑膠吸管!也發現不是人人都適合三角函數的曲線的,像是紙吸管,它還是維持水桶腰為佳。其實數學和美處處存在生活中,只待我們用心去觀察、發現,下次喝飲料時,不妨花個三秒仔細看看它的側面圖型,在驚奇真的是三角函數圖形之餘,是否也回想起曾經學過的武學祕笈呢?


肆、引註資料

為什麼紙吸管總是插不進去?你可以這樣做!
https://pansci.asia/archives/192159
吸管學:你可以沒有塑膠袋,但你不能沒有吸管!
https://www.hanyitea.tw/single-post/straw/
GeoGebra
https://www.geogebra.org/?lang=zh-TW

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