「螺旋」世界拉鋸戰—成為超級英雄之路,蜘蛛人夠科學嗎? | 2022數感盃 | 高中專題 | 銀獎

作者 王令瑄、許博鈞、黃靖宇 / 新竹市竹科實中

「我是蜘蛛人,你的好鄰居!」跳躍,著地。一道橘紅色的光伴著強風呼嘯而過,一旁垂直聳立的峽谷令人屏住呼吸,震懾住莊麗的景色,也凝結了時間。穿梭在多重宇宙的十字路口,似乎已經習慣了時空突如其來的轉換,每個次元架起了不同的想像空間,鑄造出多端的景色,卻終究在數學與物理的掌心運作著。

<蜘蛛人:無家日>一夕襲捲全球,其中蜘蛛人運用幾何數學在鏡次元中困住奇異博士的一幕,令人佩服蜘蛛人的膽識與機靈,但同時,我們也對電影畫面的真實性產生疑惑,究竟電影中的畫面是為了美感而設計,抑或是真實的幾何現象呢?

圖(一)電影面示意圖
(因電影畫面版權問題而使用電繪圖呈現電影畫面場景)

下表為我們會使用到的符號代表:

rθNTµsn
半徑角度正向力繩張力靜摩擦係數圈數

Wait a minute, is that an Archimedean spiral?
疑點一、蜘蛛人的台詞是否合乎數學呢?

在數學的世界中,阿基米德佔有崇高的地位,但我們卻很少聽到阿基米德螺線,那究竟是什麼呢?

阿基米德螺線」可解釋為:一個點勻速離開一固定點同時又以固定的角速度繞該固定點轉動而產生的軌跡,而其極坐標方程式為r=a+bθ,改變參數a即旋轉螺線,參數b則控制相鄰兩曲線間的距離。

面對鏡次元世界中巨石所組成的螺旋,蜘蛛人奇異博士說道:「Wait a minute, is that an Archimedean spiral? Square the radius, divide by pi, plot points along the curve」(等一下,這是阿基米德螺線嗎?將半徑平方,除以 ,沿曲線繪製點…) 其中「將半徑平方,除以 」,能形成什麼呢?我們設r=2θ,按照蜘蛛人所述的公式,得出,並以GGB做出圖形。


圖(二) r=2θ之阿基米德螺線圖  
                                                 
圖(三) 作圖

從圖(三)中,我們觀察到與阿基米德螺線相似的螺線,不過阿基米德螺線的定義為:以固定的角速度及等速度離開一定點,因此每條螺線的間距應相等,而利用GGB做出的圖形,如圖(四),沿紅色切線可看出,每兩條藍色線(螺線)的間距不等,應不為阿基米德螺線。     

圖(四) 作圖加上水平線

在這充滿數學性的一幕,我們未觀察到的螺線,也無法透過作出阿基米德螺線,因此電影中的台詞,並不全然合乎數學邏輯。

You’re great at geometry! You can do geometry!
疑點二、阿基米德螺線真能順利困住奇異博士嗎?

電影中,阿基米德螺線內的蜘蛛絲圍成了一個圓,並將奇異博士纏住,透過資料查詢,我們發現蜘蛛絲圍成的圓為「包絡線」,並推測包絡線是困住奇異博士的主因。

包絡線上的一點可以被認為是兩條無限接近曲線的交點,即附近曲線交點的極限。我們以GGB軟體在阿基米德螺線上繪出包絡線,如圖(五):

圖(五)GGB的包絡線作圖

我們將直線一端接上阿基米德螺線,接著將另一端連接至螺線對面,且需轉一固定偏角。若無偏角,線將會在中心聚成一點,不會形成包絡線。接著放大觀察包絡線,如圖(六),可以觀察到與電影畫面相似的包絡線圖形,且無論參數如何改變,一個阿基米德螺線只會形成一個包絡線。
圖(六) 包絡線作圖放大圖           
圖(七) 電影畫面包絡線處示意圖
由電影畫面可知,巨石組成的阿基米德螺線中,已有一圈包絡線,如圖(七),我們因此推斷,困住奇異博士的並非包絡線。

I’ve been dangling over the Grand Canyon for twelve hours!
疑點三、若奇異博士為正常人,是否能成功掙脫束縛?

既然包絡線不是困住奇異博士的關鍵因素,那會是什麼呢?由電影畫面可知,除包絡線外,奇異博士的四肢還有蜘蛛絲纏繞,我們推測這才是讓奇異博士被困在大峽谷的關鍵因素。若奇異博士為正常人,是否能成功掙脫呢?究竟又耗了多少力氣呢? 

我們先假設每條蜘蛛絲都在奇異博士的手腳各纏繞一圈,如圖(八)。其中,T0 為奇異博士需施的力,由於蜘蛛絲在接觸奇異博士的衣服時會產生摩擦力,另一端會產生另一張力為TFinal
圖(八) 蜘蛛絲纏繞一圈示意圖

取一極小的蜘蛛絲片段做討論。此片段之兩端會產生兩張力,分別為T T + dT。因靜力平衡,在T端必有摩擦力來平衡,即:T + dT = T + 摩擦力
在計算摩擦力之前,我們要先求出此片段之正向力。將兩張力作圖,可得圖(九):

求出了T0 與 TFinal 之間的關係後,我們接著找出 µs ,即靜摩擦係數。µs在不同接觸面材質下會有不同值。要求出蜘蛛絲的µs,須經由實驗。我們沒有適當方法可以取得蜘蛛絲來做實驗,因此到網路上尋求可信的資源。透過一個仿蜘蛛絲的美國專利(參考資料一),我們得知蜘蛛絲的µs<0.6。又透過表(一),可知聚苯乙烯在對另一聚苯乙烯的µs= 0.5。由於蜘蛛絲與聚苯乙烯皆為聚合物,因此以聚苯乙烯之µs來模擬,即µs=0.5

表(一)常見材料之摩擦係數表

奇異博士到底要花多少力才能將蜘蛛絲扯掉呢?最後,我們要知道蜘蛛絲的抗拉強度,根據 The Conversation 網站(參考資料二),蜘蛛絲的極限抗拉強度為109hPa,即每平方公尺可承受109N 的力。電影畫面中,蜘蛛絲截面積約等於手指截面積,而手指近似為圓形的話,直徑約為1cm,再由截面積求得一條蜘蛛絲的抗拉強度,如下:

所以奇異博士光要扯掉一條線,就需施 346.33kgw  的力,相當於5個成年男子伸直手臂後的拉力!

電影畫面中,奇異博士手上各綁了4條蜘蛛絲,如圖(十二),而腳上各綁了3條蜘蛛絲。由於蜘蛛絲以並聯方式纏繞四肢,且共有14條,因此奇異博士需要花的總力為:346.33 × 14 = 4848.62 kgw

圖(十二)奇異博士手上纏繞蜘蛛絲示意圖

奇異博士共需花4848.62kgw 的力,才能扯斷蜘蛛絲,並逃出大峽谷。一位正常的男性應無法施如此大的力而成功掙脫,也因為奇異博士有超能力,所以才能成功逃脫。

在英雄電影盛行的21世紀,欣賞電影時,我們常被炫目的特效矇蔽了雙眼,沉浸在科幻的世界裡。然而,面對一切電影畫面及台詞,我們須嘗試以理性思考看待,在解讀、分析的過程中,運用好奇心與智慧推理、解釋並不斷修正,透過邏輯縝密的思考,在數學及科學的幫助下,深入探討每一個問題。你會發現,比起萬能的魔法,更酷的—是數學。就如同<蜘蛛人:無家日>中蜘蛛人對奇異博士說的那句經典台詞:
Do you know what is cooler than magic? Math!

參考資料:
一、 Coefficient of friction euation and table chart                       
https://www.engineersedge.com/coeffients_of_friction.htm
二、 The Conversation 
https://theconversation.com/global
三、泛科學

四、ScienceFacts.net




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