「紙」想黏著你 ── 影印紙怎麼拔不出來? | 2022數感悲 | 高中專題 | 銀獎

作者 陳威勳、陳軒弘、陳彥綸 / 新竹市竹科實中

主題:「紙」想黏著你 ── 影印紙怎麼拔不出來?
  當你要影印文件時,突然發現影印機中沒有紙了,你只好去拿取一包新的影印紙,從旁拆開包裝後,準備從中抽取幾張紙使用。當你兩根手指夾緊那疊紙,試圖用力地向外抽出紙張時,你發現紙張猶如被黏住般,卡在包裝內動彈不得。
  又或者我們小時候無聊時將兩本書一頁一頁交疊再一起,卻無法順利將其拉開?到底是什麼原因使紙張能夠產生如此強大的力量呢?
  當你抽取紙張時,不同的位置或者張數,都有可能影響到紙張取用的困難程度,而其中又有什麼關聯呢?
  為了瞭解到底有多大的力使得紙張如此難以拔出,我們透過力分析的方式計算出這股「力」的大小,並且推算出一般人的力量到底能不能將紙張拔出來。

壹、紙張重量
  一張80磅的A4紙的重量大約為 80 x 0.06237 = 4.9896 (g) ,而一包影印紙共有500張,重約 4.9896 x 500 = 2494.8 (g) = 2.4948 (kg) ,大約為2.5公斤。

貳、紙-摩擦係數  
  在了解紙張後,我們即可開始對紙張所受的力進行研究,但在研究之前,我們必須先得知一張紙的摩擦係數(紙張的粗糙程度),因此我們設計以下實驗以求出其摩擦係數,實驗內容如下:
  在水平面上,我們給予不同的正向力(砝碼),並使用彈簧秤測量需要多少的力才能將其拉動,即為最大靜摩擦力。為了減少誤差,我們進行了多次的測試,並且將資料進行處理,最後使用線性回歸處理我們的數據,這不僅能求得平均值,也能看出我們資料的離散性,更可以了解我們實驗的誤差程度。
我們的實驗數據如下(表一):

表一:摩擦力係數實驗,不同正向力產生之最大靜摩擦力

使用砝碼與對應的彈簧秤: 

*當彈簧秤目測刻度位於兩刻度間時,估計值取兩者之平均數

以下為我們將平均後的數據(Average)利用 Excel進行線性回歸的處理:

經過實驗,我們測量出了影印紙間的摩擦力。
並且由回歸線斜率得知紙與紙之間的摩擦係數約為0.3101。

參、好難拉啊-第一張影印紙
  得知紙的摩擦係數後,我們要瞭解影印紙究竟受到了多大的摩擦力以至於如此難以抽取,又需要多少力才能把影印紙拉出,我們開始對於紙張的受力進行剖析。
  在一整包影印紙中,上端的紙會有些微的彎折現象,因此我們繪製了一張力圖,利用轉動平衡與移動平衡的原理,可算出影印紙包裝對紙所施的正向力,再將其乘上摩擦係數即可得知所受的摩擦力。

  為了精確測量出彎曲的角度,但量角器無法完全精準表示較細微的角度,因此我們使用輔助應用程式-CamToPlan,功能為量測距離後,再由長度關係求得角度,並經檢測得出結果約為7.1∘。
  接著我們利用力分析圖進行計算,發現拔出來的力需要 6224.07gw。算出答案後,我們為驗證其真實性,實際進行實驗,發現測出來約略為6.35公斤,與我們的計算結果十分接近。

我們使用的彈簧秤最高的刻度只有2kg,所以我們借助彈簧的並聯以量測這個可能超過2kg的力。

  算出了第一張紙所受到的力,我們就能間接算出中間其他紙所受到的的摩擦力。我們計算由上面數下來第 n 張紙所受的力:
  因紙張受到上下的摩擦力,而其中上面提供的正向力為 4.9896(n-1) gw,下面提供4.9896n gw,因此第 n 張紙所受到的總正向力=4.9896(2n-1) gw,故受到的摩擦力為 6224.07+4.9896(2n-1)0.3101=6222.52+3.095n (gw),例如:我們可以計算出整疊紙中最中間的紙( 第250張紙 )所受到的力為
,約 7公斤,確實需要不少的力。根據資料顯示,大約與同時扯下130根頭髮所需的力一樣大。

  然而,我們通常不會一次只抽取一張紙,所以我們將前面的算式延伸,假設一張紙重量為m,我們抽取以第a張紙為起始,向下數厚度為b張的一疊紙。

我們可以依照 f=μN 公式列出算式:

例如:若要抽取影印紙包裝中第130~136張紙(共7張),則可帶入公式

我們可以發現,想從完整包裝的影印紙中抽出僅僅幾張紙,就需要花費近44公斤的力。根據教育部國中小生平均身高體重調查資料顯示,大約是一個12歲女生的平均重量呢!
  想要在一包全新的影印紙中拔出一疊紙是如此困難的事情。因此我們通常在拿到一包全新影印紙時會先抽出其中的一張紙,只抽一張紙代表著最小的力(雖然還是有將近7公斤的力),接著再抽取其他所需要的紙就會變得輕鬆許多。


肆、書,怎麼拔不出來……

  在了解影印紙擁有如此驚人的摩擦力後,我們其中一位組員又想起小時候曾在無聊時把兩本書的每一頁交疊在一起,疊完後卻發現竟無法分開交疊後的兩本書,即使費盡洪荒之力,兩本書依舊無動於衷。最終只好耐心地一頁頁將其分開,卻也因此耗費整個下課時間,得不償失。經過此事後,這個經驗便在心裡扎根,直到有一天國中老師講解摩擦力時,所舉的例子,恰好與這段童年回憶連結。
  這讓我們不禁思考,當摩擦力置於書本交疊的情境中,又將會產生多大的力呢?
我們假設一本書共有n頁,重量為M。
兩本書的每一頁相互交疊,且書本皆為騰空狀態(不考慮與桌面的摩擦力),我們可以畫出示意圖,並列出以下算式:

取上圖左側黑色的書進行計算(藍色與黑色的書所受摩擦力相同)
加總第a張紙的摩擦力
a 從 1,3,5,7 …… 到 2n-1

以兩本數學課本交疊為例,一本課本共250頁,我們可以帶入上面的數學式,


我們可以算出總力為193022.55gw,大約為193公斤,約等於四個我們其中一位組員的體重。經過計算,我們可以發現,即使沒有影印紙包裝兩側所給的正向力,只單看紙張間的摩擦力,因為頁數不同而產生的摩擦力也有很大的落差,甚至可能高達數百公斤重,一般人是不可能拔開的。

結論
  在我們的生活中,其實處處藏著摩擦力的蹤跡。
  然而,因為摩擦力的存在,影印紙變得如此難以抽取。或許摩擦力帶來許多不便,但想像一個不存在摩擦力的環境:無法走路、拿不起東西、交通工具無法正常運行……。缺少了摩擦力,對於我們的生活將會造成極大的影響。我們總是忽略了摩擦力的存在,卻無法忽略其對於我們莫大的幫助與效益。
  綜合我們的數據與研究,我們可以得出以下幾點結論:當我們使用一包全新的影印紙時,若想從中抽出一疊紙,需要的力可能高達上百公斤,一般人是不可能抽出的,因此我們建議可以分次抽取,從最上端一次抽取一張紙。經歷數次抽取後,因為紙與水平面的夾角會越變越小,漸漸趨近於零,即少了兩邊的正向力,減少了大部分的摩擦力來源。
  摩擦力看似渺小。或許紙張間的摩擦力僅僅數克,但經過層層累加,亦會產生極大的力量。下次拿到一包影印紙時,不妨先從上端抽出幾張紙,即能夠大幅減少抽取其他紙張所需的力,也就不會白費力氣了。

參考資料:
Pansci 泛科學
https://pansci.asia/archives/85781
Camtoplan(輔助測量距離應用程式)
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.camtoplan.measure&hl=zh_TW&gl=US
中等以下學校學生平均身高體重(衛生福利部)
www.mohw.gov.tw › dl-13482-b1cab05f-f5ac-4f96-a832-1eb2367cf
國際標準化組織-紙的重量
http://www.mathland.idv.tw/life/a4.htm?fbclid=IwAR0OnsCy3450iyCxBSRQ0oOaf9gFsVnNABfTko57_2_fqG24cF4Qr9pTLOc

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