魔法與現實的交會-物理中的魁地奇|2021數感盃|高中專題|佳作

作者 陳姮瑾、田靜瑜、戴啟安 / 科園實中

(一)研究動機 

《哈利波特》是英國作家羅琳知名的奇幻作品,它的熱度一路從小說延燒到了電影,不論是 對於小時候或者現在的我們都有著莫大的吸引力。其中最吸引我們的,可不只有跌宕起伏的 劇情,還有那個令人驚嘆不已的魔法世界總是有許多我們作夢也想不到的神奇事物,這就是 奇幻小說最使人著迷的部分,畢竟越是難以達成,便越是令人心馳神往。 

「魁地奇球賽」,毫無疑問是哈利波特中最經典的橋段,每個球員乘坐自己的飛天掃帚,以 超越汽車的速度在高空中飛行,這引起了我們好奇心:在高速飛行的情況下,人穩坐掃帚之 上,這件事是有可能的嗎?如果不使用魔法的話,他們會不會從掃把上滑落呢? 

因此,我們決定以現有的物理、化學知識和網路上能利用的資源計算出坐在掃帚上時人在水 平方向上的受力,研究這部分的合理性。 

(二) 研究過程 

我們假設主角上半身挺直地乘坐在飛天掃帚上、雙手緊握掃柄且雙腿放鬆地分跨兩邊,以此 來計算人飛行時受到的空氣阻力和人與掃帚間的最大靜摩擦力。

哈利波特飛行示意圖

(1)首先,要計算的是人在掃帚上所受到的空氣阻力。 

此計算用到的是空氣阻力方程式: 

F=1/2CpSV²

F:空氣阻力(N) 

C:空氣阻力係數 

ρ:空氣密度(kg/m3

S:參考面積(m2

V:物體相對於空氣之速率(m/s) 

為了求出空氣阻力的大小,我們必須先依次探討,計算出:空氣阻力係數(C)、空氣密度(ρ)、參考面 積(S)和物體相對於空氣之速率(V)。 

空氣阻力係數一般來說是實驗值,必須由實驗求得,但考慮到此實驗易產生誤差,因此我們在網路上 搜索相關研究,查到一篇論文《空氣阻力對跳遠成績的影響》[1]],其中計算出人在跳遠時的空氣阻力 係數 C=0.865,影響此係數的因素主要為運動體形狀,因此 0.865 可直接當作人和空氣相對運動時的空 氣阻力係數。

空氣密度與氣溫、濕度和氣壓皆相關,我們以現有的化學知識去推導出空氣密度的計算公式,推導過 程如下: 

體積的計算方式為:V=M/ρ 

而氣體的密度計算可藉由理想氣體方式:PV=nRT 

推得:PM=ρRT→ρ=PM/RT (M 為分子量) 

先考慮純乾空氣的狀況,由於空氣組成成分皆相同,而 R 為理想氣體常數,也是一固定值,因此我們 可藉此推得: 

ρ∝P/T 

→ρ/ρ0=T0*P/(P0*T) 

→ρ=ρ0*T0*P/(P0*T) 

ρ(P、T)、ρ0(P0、T0)分別代表各種不同狀態的乾空氣與標準狀態的乾空氣, 

標準狀態下,T0=273K,P0 為 101.3kPa,而標準乾空氣密度 ρ0=1.293kg/ m3將其代入算式可得:ρ=3.48P/T 在濕空氣部分,我們可以將濕空氣視為空氣中的一部分,而濕空氣是由壓力為 Pd 的乾空氣與壓力為 Ps 的飽和蒸汽壓所組成,再透過相對濕度計算式我們可以知道=ψPb(Pb 為飽和水蒸汽壓,ψ 為空氣相 對溼度) 

再根據道爾吞分壓定律,我們可以得出: 

ρw=3.48*P(1-0.378*ψ*Pb/P)/T 

我們將英國的平均氣溫值、平均氣壓值、平均相對濕度以及飽和水蒸汽壓代入公式 英國平均氣溫:8.85°c 

英國平均相對濕度:81%rH 

英國平均氣壓:1015.8hPa 

得出空氣密度 ρw=3.48*101.58(1-0.378*81*1.1439/101.58)/281.85=0.82 (kg/ m3

參考面積指的是物體迎風面積,所以我們首先以身高計算出坐著時的高度(簡稱坐高),電影中飾演哈 利波特的演員丹尼爾當時身高約 168 公分,男性平均坐高指數為 53.0,則哈利波特的坐高=(53/100) *168=89.04 (cm) 

接著我們參考上面這張圖片,以比例計算出哈利波特實際頭的長、寬和上身的寬。 先將他的軀幹視為長方形算出面積=89.04*51.4=4576.66 (cm2

接著,以橢圓面積公式求出哈利波特臉的面積=(25.7/2)*(22.3/2)*π=450.12 (cm2) 最後,得出哈利波特在掃帚上的參考面積 

S=(450.12+4576.66)/10000=0.502678(m2)=0.502678(m2) 物體相對於空氣之速度要以風速和掃帚的飛行速度來計算,根據《穿越歷史的魁地奇》此書記載, 哈利波特的掃帚型號<光輪系列>時速可達每小時 100 英哩(1 英哩=1.61 公里),換算可得(100* 1.61*1000)/3600=44.72 (m/s),另一掃帚<火閃電>為每小時 150 英哩,(150*1.61*1000)/3600=67.08(m/s), 再進一步假設當時的飛行方向剛好逆風且以 17km/hr(4.72m/s)的英國平均風速來計算,即可用公式計算 出空氣阻力的量值分別為:

(2)得出空氣阻力的量值後,接著要計算的是摩擦力,公式為: 

fs = N *μs 

我們分兩個部分計算,分別為「手與掃帚間摩擦力」和「褲子與掃帚間的摩擦力」。

首先是手與掃帚的摩擦力。從哈利波特飛行示意圖中,可看出他在飛行中帶著皮革手套,因此應以皮 革材質來探討。 

由上表可知,木製掃帚與皮革間的靜摩擦係數約為 0.3~0.4,因此我們取中間值 0.35 進行計算。 

根據我們所查到的文獻資料,1985 年時,20~24 歲的男性平均握力是右手 121 磅(58 公斤),左手 105 磅(48 公斤)。現在,同樣年齡層的男性握力平均是右手 101 磅(46 公斤)以及左手 99 磅(45 公斤)。假設 哈利波特是在雙手緊抓掃帚的情況下飛行,則正向力 N=(46+45)*9.8=891.8(N) 

可算出手與掃帚間的最大靜摩擦力=891.8*0.35=312.13(N) 

接著,我們要得知的是褲子與掃把間的摩擦力,但我們無法在網路上找到相關的數據,因此我們試著 做了一個簡易的小實驗來測量。首先,我們查到哈利波特穿的褲子是類似騎馬裝的材質,因此我們使 用純棉的布料和木塊來進行實驗,得出兩者間的摩擦係數量值,裝置圖如下: 

木塊重量為 445g,使用 210g 力的瞬間,木塊開始滑動。

μs = fs / N 

可得靜摩擦係數=(0.21*9.8)/(0.445*9.8)=0.47。 

哈利波特演員的體重約為 60kg,得褲子與掃帚間最大靜摩擦力=0.47*(60*9.8)=276.36(N) 因此人與掃帚間的靜摩擦力=312.13+276.37=588.49(N) 

總結來說,人與掃帚間最大靜摩擦力為 588.49(N),而光輪系列的掃帚空氣阻力為 435.76(N) 因 588.49>435.76,所以哈利波特若是騎乘光輪 2000,他與掃帚間的最大靜摩擦力足以抵擋空氣阻力, 是可以不依靠魔法穩穩高速飛行的! 

但若是乘坐火閃電掃帚,所產生的空氣阻力是 919.05(N),比起最大靜摩擦力 588.49(N),空氣阻力遠遠 大於靜摩擦力之和,因此哈利波特在此情境便無法相對於掃帚靜止,只會從高空滑落!看來哈利波特 是無法順利騎在他的教父天狼星送他的火閃電上的,幻想破滅! 

(三) 結語 

雖然哈利波特中的魁地奇球賽和魔法世界讓小時候的我們癡迷、驚嘆、艷羨。但現實終究是現實,我 們所證明的數據說明了:以火閃電飛天掃帚用超越汽車的速度在高空中飛行並不符合科學邏 輯,更是不可能發生在現實世界的,一坐上去可能摔個四腳朝天或全身骨折。但沒關係,我 們還是可以讓奇幻的魔法世界留在我們童年的美好回憶裡,陶醉於超現實的世界中,相信他 的魔幻與神奇! 

圖片資料來源: 

http://ent.sina.com.cn/m/f/2011-07-25/ba3368671.shtml&nbsp;

https://www.cnki.net/

https://wenku.baidu.com/view/c307dcb5ed3a87c24028915f804d2b160b4e866a.html

https://dq.yam.com/post.php?id=6205

註[1]:

https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-STKJ198902013.htm

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