都是「摩天輪」惹的禍 – 摩天輪的數學模型與看最遠的距離|2021數感盃|高中專題|銅獎

作者 鄧智遠、陳品呈 / 育成高級中學

那天在討論畢旅行程時,意外地掀起了一場口水大戰,讓感情和睦的三兄弟—老曹、老劉、老孫起了口角。老劉起先說:「劍湖山摩天輪」比「義大摩天輪」大。後來老孫說:你弄錯了!明明是「義大摩天輪」比較高而且比較大,畢旅時只要坐「義大摩天輪」就好,不用坐「劍湖山摩天輪」,浪費錢! 而且「義大摩天輪」可以看到海,「劍湖山摩天輪」看不到海景。就在兩人爭論地面紅耳赤時,老曹說了:吵什麼吵!台中的「天空之夢摩天輪」最大又最高,一定看的到海景,你們說的那兩個都看不到海景。老曹一副趾高氣昂的態度大大折損了孫劉兩人的顏面,基於「敵人的敵人是朋友」的想法,造成孫劉兩人聯合打曹的局面,一時之間教室炮聲隆隆,一片肅殺之氣。正當吵的激烈,一旁隔山觀虎鬥的同學議論紛紛時,三兄弟突然意識到:情緒性的言語是無法解決事情的,此事還是應該用數學和科學的角度多方求證,因此曹劉孫三兄弟有了以下一連串求證過程!

首先三兄弟先蒐集了「天空之夢摩天輪」、「劍湖山摩天輪」、「義大摩天輪」、「美麗華摩天輪」的基本資料。三兄弟在網頁上搜尋資料時,發現光是摩天輪的直徑在不同網頁上會有不同的數據顯示,令三兄弟不知該採記哪一個數據好,經討論後決定以摩天輪官方網頁和數感實驗室公告的數據為準。海拔則以Google Earth 所查到的數據為準!完成了下列基本資料表格。

接著三兄弟使用以上所查到的四個摩天輪的數據,建立四個摩天輪的數學模型,並使用數學軟體GGB繪圖,將四個摩天輪放在一起做比較!三兄弟數學建模的過程如下:

  1. 以X軸代表海平面,Y軸代表海拔高度。
  2. 以圓的方程式代表天空之夢摩天輪,圓心為(70, 308),半徑為56。
  3. 以圓的方程式代表劍湖山摩天輪,圓心為(170, 276.5),半徑為32.5。
  4. 以圓的方程式代表義大摩天輪,圓心為(250, 290),半徑為40。
  5. 以圓的方程式代表美麗華摩天輪,圓心為(330, 84),半徑為35。
  6. 以點表示掛在天空之夢摩天輪的60個車廂,以點表示掛在劍湖山摩天輪的50個車廂,以點

表示掛在義大摩天輪的40個車廂,以點表示掛在美麗華摩天輪的48個車廂。

7. 使用滑桿同時讓四個圓上的點以不同的週期旋轉。也就是調整成代表天空之夢摩天輪圓上的點,以每25分鐘繞一圈的速率旋轉,劍湖山摩天輪圓上的點以每15分鐘繞一圈的速率旋轉,義大摩天輪圓上的點以每18分鐘繞一圈的速率旋轉,美麗華摩天輪圓上的點以每17分鐘繞圓心一圈的速率旋轉。

8. 以GGB做圖如下,檔案網址:https://www.geogebra.org/calculator/enazjum2


三兄弟根據繪圖結果,發現:

  1. 若以摩天輪直徑來比較大小,得到:
    天空之夢 >  義大> 美麗華> 劍湖山
  2. 若以摩天輪總長(含支架)來比較大小,得到:

天空之夢 >  義大> 美麗華> 劍湖山

  1. 若以摩天輪最高點與海平面距離來比較 高度,得到:
    天空之夢 >  義大> 劍湖山> 美麗華

後來三兄弟使用摩天輪最高點與海平面距離,計算出四個摩天輪可以看到的最遠距離!假設摩天輪最高點到海平面距離為公里,視線所看得到的最遠距離(弧長)為公里,採記Wiki百科網頁上的數據設定地球半徑為6371公里。在直角三角形中,首先計算出摩天輪頂端到地心距離的斜邊長,地球半徑的鄰邊長,算出的值,再利用的值反求出(弧度),最後將(弧度)乘上地球半徑得出弧長。算式過程如下:

三兄弟計算數據結果如下表,並使用Google Earth標出四個摩天輪的看到的所有範圍!三兄弟比較四個摩天輪的可視範圍,得到:天空之夢 > 義大 > 劍湖山 > 美麗華。同時驚訝地發現,在沒有遮蔽物與空氣污染的情況下,在四個摩天輪的最高點,都可以看到台灣海峽,不禁發出讚嘆之聲。

三兄弟又好奇地計算出四個摩天輪的轉速如下表,發現劍湖山的轉速最快!但四個摩天輪的轉速都還在讓人可以感覺舒服地看風景的速度範圍!

三兄弟最後計算出乘坐四個摩天輪的每分鐘花費如下表。其中因為劍湖山摩天輪門票包含在整個樂園699元的門票中,無法像其他摩天輪單獨購買,所以在計算劍湖山摩天輪的票價時,採用的數據為699/14=50元(共有14項遊樂器材)。由表格中,可以發現劍湖山摩天輪的收費遠低於其他摩天輪,推測是其他摩天輪的直徑較長,具有可以單獨吸引乘客花錢乘坐的吸引力;而劍湖山摩天輪可能一開始的設計就是遊樂園中的其中一項設施,所以直徑較短,也沒有打算要單獨收費。由數據中可以看出劍湖山摩天輪的經營模式和策略和其它家的摩天輪不同,再一次感受到數字會說話的魔力。

世界各地一直在興建新的摩天輪,摩天輪為什麼這麼受歡迎呢?因為摩天輪不僅是遊樂園中的設施,可以促進觀光,帶來人潮,同時也是城市中的地標建築與觀景台,可以帶來很多經濟利益!老曹、老劉、老孫三兄弟雖因為「摩天輪」起了爭執,但在情緒腦恢復成理性腦後,客觀地用數學模式來探討與解決問題,不僅學到了許多數學與地理的知識,也加深了彼此的友誼,實為廣傳的美事一樁啊。

參考資料:

Google Earth

https://www.google.com.tw/intl/zh-TW/earth/

如何計算離地平線有多遠

https://read01.com/zh-tw/yO3M8K.html#.YA9yyHUza03

地球半徑

https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%9C%B0%E7%90%83%E5%8D%8A%E5%BE%84

Arccosine計算器

https://www.osgeo.cn/app/scb02

Google Earth – Range Rings 好用劃圓/半徑範圍工具

台灣-三大摩天輪

https://k102766.pixnet.net/blog/post/88977548

天空之夢-麗寶樂園渡假區

https://k102766.pixnet.net/blog/post/88977548

義大摩天輪-車廂、海拔

http://www.edathemepark.com.tw/Website/Park_Introduction.aspx?ZoneId=MA

劍湖山摩天輪

https://leafelin.pixnet.net/blog/post/39170987

美麗華摩天輪-車廂、海拔

https://www.miramar.com.tw/miramar-wheel

摩天輪圖片

https://www.lihpaoresort.com/LihpaolandApp/Miscellaneous/SkyDreamRecord

http://qq2000.weebly.com/211332824623665199903002820027389882713822290.html

https://images.app.goo.gl/a21qWe2SX5hvhSzj6

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