藝FUN卷抽獎之探討|2021數感盃|高中專題|佳作

作者 蕭琨崙、李定叡 / 永春高中

壹、前言 

 新冠疫情之故,政府推出振興卷以刺激消費,同時各政府部門皆各自推出類似的各 種振興活動,包含農委會的農遊卷、體育署的動滋卷、文化部的藝 FUN 卷等都接連推出。 而其各自的中獎、兌換與使用方式皆不進相同。其中藝 FUN 卷採取登記後抽獎的方式推 出,民眾可以利用手機、便利商店 ibon 等取得參加資格並參與抽獎。我們也參加了藝 FUN 卷 1.0 的抽獎活動,其得獎方式是自己的身分證末位被抽中即可領獎。 

 抽獎過程中,邊看著電視轉播的我們,就發現了不少該抽獎方式的不公平處。很貽 害地,在抽獎結束後,我們並沒有中獎。然而,整個抽獎過程其實每個數字的中獎機率 並非均等的 (文章後面會對遊戲規則加以說明),遊戲規則未定清楚,也是極引人爭議之 處。本研究將利用轉移矩陣的計算方法,求出各個數字的中獎機率,以說明抽獎過程不 公平之處。 

 在數感寫作的臉書專頁中,在抽獎活動結束後即已有對該問題做初步的分析,也有 留言者表示,自己使用了 C++ 語言模擬抽獎過程,在進行 100 萬次後,平均每輪遊戲 需進行 9 次才可結束遊戲。在本文的抽過獎規則設定中,若踩到 start 或 again 時,再次 行走時會視為第二輪,所以我們無法確定七輪內必定結束遊戲,我們希望利用轉移矩陣 的計算方法,依序優先求出第一輪到第三輪結束,各個數字的中獎機率,再求出第九輪(因 為平均遊戲次數為九次)各數字的中獎機率。 

貳、正文 

一、遊戲規則說明: 

(一) 由兩位負責抽號碼者,各自從 0~9 中取出一球 (取後不放回),將兩球的點數相加後決定行走步數。

(二) 如點數相加後為二位數,取其個位數。例如:6 +5 =11,則取 1,代表行有 1 步。 

(三) 轉盤 (如圖一) 總共 12 格,除了 0-9 隨機置入轉盤之外,還有 start 和 again,放 在第零步和第六步,當行走到 start 和 again 時,重新取球,從該點再行走一次。 

(四) 走過的數字不會再被經過,經過時直接跳過。(走到過的格子即代表得獎) 

(五) 抽滿 200 萬人即停止遊戲,各尾號的人數皆在 30 萬以上,也就是說,遊戲最多 進行至抽滿七個數字時,中獎人數即可到達 200 萬人以上。 

二、遊戲設定:為了方便計算,在遊戲中加入了一些設定:

(一) 當經過 start 和 again,進行重新取球時,會視為進行了兩輪遊戲,因此我們必須 確定進行七輪時,中途過程中完全沒有停在 start 或 again,否則遊戲必定超過七輪 

(二) 為方便觀察,我們將各個格子依順序取名為 a0 ~ a12 。(a0 a12 皆為起點) 

(三) 偶數步數:0、2、4、6、8 的機率皆為(以 0 為例:分別有1+ 9 , 2 + 8 , 3 + 7 , 4 + 6四種可能)。令a=

奇數步數:1、3、5、7、9 的機率為(以 1 為例:分別有0 +1, 2 + 9 , 3 + 8 , 4 + 7 , 5 + 6五種可能)。令b=

(四) 轉移矩陣計算方法:

1. 給定機率矩陣 ,其中m11為前一步停留在a0(起點),下一步停留在a0(起點,即狀態不變)的機率。m12為前一步停留在a1,下一步停留在a0(起點)的機率。意即mrs為前一步停留在as-1,下一步停留在as-1的機率(其中)。

2. 定義:初始矩陣M0,Mn表示經過 n 步後的機率矩陣。顯然M1 = MxM0。而Mn= Mnx M0

3. 原先算出的矩陣機率會以分數呈現,但在遊戲進行到越後面時,越可能造 成分母過大,導致分數過於佔據版面以至於讀者不易閱讀。所以我們在進 行完畢第一輪後,將機率改以小數的方式呈現,方便讀者閱讀和觀察。

三、利用轉移矩陣計算,求出各輪遊戲結束時之各點機率。

(一) 第一輪各格之機率計算

由上述計算與表一可知,機率最大值在所有偶數步數位置 

P(a0) = P(a2) = P(a4) = P(a6) = P(a8) = 0.889 。 機率最小值在所有奇數步數位置上, 即P(a1) = P(a3) = P(a5) = P(a7) = P(a9) = 0.111。

(二) 第二輪各格之機率計算

 由上述計算與表二可知,機率最大值在P(a9) = 0.099。機率最小值在P(a1) = 0.077。

(三) 第三輪各格之機率計算

由上述計算與表三可知,機率最大值在P(a11 ) = 0.0841。機率最小值在 P(a8) = 0.0803。 

(四) 第九輪各格之機率計算 

由上述計算與表四可知,機率最大值在P(a0) = 0.08237。機率最小值在 P(a1) = 0.08038。 

參、結論: 

一、 統整: 

利用轉移矩陣的計算方法算完第一到三輪各數的機率和第九輪各數的機率後,由 各輪矩陣可觀察出各點的機率是不均等的。但是 2、8 雖然在第一輪無法到達,但是 持續觀察機率到第九輪時,可發現到達 2、8 的機率逐漸變高,甚至超越其它數字。 但即便如此,這個轉盤仍舊是不公平的。 

(一) 未來展望: 

1. 由於我們轉盤的規則設定是將我們到達 start 和 again 時,重新取球決定步 數的動作都視為第二輪。如此將導致一個情形:若是不斷地行走六步,則將會造成永無止境的輪迴,所以我們期盼能將第 n 輪的機率矩陣M n計算 求出,並討論此一轉移矩陣之各格機率最終是否會收斂。 2. 計算完第 n 輪各數字的機率後,我們期盼能找出使遊戲機率不均的理由, 並設計公正的遊戲轉盤,不論是改變轉盤格數或是決定步數的方式,都會 將是我們未來思考的方向。其實,如果兩位抽獎者能夠在抽球過程中改為 取後放回,就能將奇偶數不公平的狀況排除,但是中獎號碼的排列方式顯 然仍不是個公平的排列方式。

肆、引註資料:
一、吳妍(2020)。藝 FUN 券抽獎機率不均有 BUG?唐鳳親自回應了。取自
https://www.mirrormedia.mg/story/20200722edi008/
二、林倉億(2014)。「轉移矩陣」二三事。取自
https://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/hpm1705.pdf
三、陳一理(2013)。矩陣與行列式。台灣:建興
四、數感實驗室 Numeracy Lab。取自
https://www.facebook.com/numeracylab/posts/3278903902130613/

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