絕地通天的大樹|2021數感盃|高中專題|佳作

作者 邱柏翰、鄧恩陞、周敬崴 / 竹科實中

壹. 前言: 

一. 研究動機: 

 在上古時期,遠在史實記載的傳說故事中,曾有各種管道使天地互通,直至三 皇五帝中的顓頊帝命令孫子重及黎將天向上頂,將地往下按,拆毀通天的管道,才使 天地完全斷絕關係,《山海經》記載在天地相通之時,有棵樹名為建樹,青葉紫莖, 玄華黃實,沒有枝枒,在地面根基上有九個支脈,果實小如芝麻,葉子小如梨花,它 就是九萬里高的通天樹,讀到這裡,我們不禁心神嚮往,想要嘗試以現代的科學,計 算出樹最高的高度,是否真可以直達九萬里雲霄,到達天界?

貳. 正文: 

一. 探討植物生長必需條件: 

 能量是生物維持基本功能必須的要素,在植物的領域,光合作用的產物——葡 萄糖——是能量最主要的來源,而植物行光合作用,水和二氧化碳是必要的原料,所 以既然通天巨樹要維持樹木頂部的機能,就必須把水分運送到高處。因此我們將「樹 木生長的最大高度」轉換成「水分運輸的最大高度」來討論。它提供植物細胞運作所 需的養份,且又是植物行光合作用必需的原料之一。 

二. 通天樹的水分運輸簡介: 

 為了探討「水分運輸的最大高度」,我們必須先對植物負責水分運輸的組織有 一些基本的了解。植物界裡有蘚苔、蕨類、裸子植物、被子植物等植物,其中有能力 生長成神木的就屬裸子植物中的松、柏、檜、杉。 

 裸子植物的木質部有像管子一樣的特化細胞,負責運送水份。水分子必須克服 地心引力,在木質部的管胞中向上爬升,始於深埋在泥土中的根,流經高可參天的樹 幹,最終來到樹頂,供給樹頂的樹葉生長。 

 循著水分子流經的途徑,我們討論出幾個可使水分子上升的機制,並藉由計算 這些機制所能造成最大高度,推導出樹木的極限高度。

三. 提供水分子上升的能量來源: 

1. 大氣壓力: 

 大氣壓力無所不在,有一個實驗是拿一個非常長的水管柱放在水池中, 並從上方抽氣,會發現水柱的最大高度大約是 10 公尺,10 公尺水柱所造成的 壓力這就大約是大氣所提供的壓力。如果把通天樹的木質部想像成水管,水柱 高度也差不多就是十公尺,但是世界上最高的植物——位於加州的「亥伯龍 神」——有 115.85 公尺高,可想而知,除了大氣壓力之外,必定還有其他動力 能使水分上升。

2. 表面張力與毛細現象:

前面提到我們將木質部想像成水管來討論大氣壓力,但是木質部其實是 由非常細的「管胞」集結成束所構成的。管胞到底有多細呢?依據前人的研究 報告,管胞直徑平均介於 10um~50um 之間。水分子在直徑那麼小的管中移動, 令我們想到「毛細現象」的效果一定非常顯著。毛細現象是水與管壁間附著力、 水分子之間的表面張力以及作用在水柱的重力相互作用的結果。 

水在毛細管中可上升的最大高度可帶入公式:

其中 h 代表水柱高度,單位為公尺;r 代表毛細管的半徑,單位為公尺。將管胞 的平均半徑帶入,可以得到水柱高度介於 6 公尺到 30 公尺之間。由公式可以看 出水柱的高度和管胞的半徑成反比,所以如果神木的管胞半徑屬於較小者,毛細現象的效果會比光靠大氣壓力顯著許多。將大氣壓力和毛細現象的效果相加, 水分上升的高度可達 40 公尺,這樣的高度雖然已經超過一般的樹木,但離加州亥伯龍神的 115.85 公尺還有好一大段距離,所以我們繼續思考其他可能性。

3. 根壓: 

 根壓簡單的說就是藉由植物內外的滲透壓差,使水分有進入植物體內的 趨勢,藉此動力使水柱上升(右圖),水柱上升高度所形成的壓力其實就是木 質部的滲透壓。  

從書本中查到根壓值大約在 0.1MPa 到 0.5MPa 之間,滲透壓π = ρgh,假設水溶液的密度接近純水的 1000 公斤/立方公尺,經過計算可得 h 大約為 10 到 50 公尺之間。根壓效應的效果確實比前述的毛細現象和大氣壓力更為顯著,但 是就算與前述兩個效應加總,還是無法達到亥伯龍神的高度,更遑論通天巨樹。 

4. 蒸散作用造成的張力: 

 最後我們找到由 H.H.Dixon 所提出的「內聚力理論」,此理論認為「蒸 散作用」是木質部內運移的最主要驅動力。理論假設在葉子內部,水像ㄧ層薄 膜貼附在葉肉細胞的攜水性表面,當蒸散作用發生時,在細胞間的水面會向後 退,導致介面的曲率半徑越來越小(右二),同時也造成「表面張力」的垂直分量變大,水有一股想要回到原本情況的趨勢,此趨勢使得木質部的水被向上拉升。

我們為了套用這個理論,因此建 立一個理想化的樹木模型,其中有一些數值是依據亥伯龍神的外型所做的粗估。我們假設樹的外型為一圓錐,並且粗估此圓錐的高度和底圓半徑比例為三比一;樹幹為一圓柱;樹葉從樹高的三分之一才開始生長,並且只生長在圓 錐的表面,圓錐內部都是樹枝。有了以上假設,我們便可以開始計算,過程如下: 

樹幹直徑與樹高的關係:為一圓柱,設高度為H。當高度 H 變大 2 倍時,樹重量變為 8 倍,為了保持底面所承受的壓力一樣,底面直徑應變成倍。也就是底面圓直徑應與成正比,它們之間有一比例常數 k。為求比例常數 k。我 們將一樣非常高的加州薛曼將軍樹(因為找不到亥伯龍神的樹徑數據)的數據帶入關係式:實際寬度將它的樹高和底面直徑帶入,得到 k=69.11。

樹葉為一圓錐,圓錐的高以樹高H來表示為。圓錐底面半徑為錐高的三分之 一,所以是

表面張力所能造成的最大壓力:假設水的表面張力分量cosA,A的角度變化從
0o~90o,當產生的力最大時,A=0 度,cosA=1。cosA=1 帶入表面張力公式
T = L × constant × cosA,可得T = L × constant ,其中 constant 在液體為水的情況下帶 72.75,只要將雨水接觸的表面長度L帶入,便能得到表面張力值。

接下來,為了看到葉子內部,下圖為一葉子中柱狀細胞的簡單示意圖。假設細胞為圓柱體,剖面為圓形,直徑為10μm,圖中有三個一樣大的柱狀細胞彼此相切,三圓中間藍色的部分代表水。將三個圓形的直徑相連,可以得到一個正三角形,在這個一個正三角形中,可以提供表面張力的長度是三個六十度的弧(箭頭所指處),架設細胞的半徑為10μm,總長度就是:2 × 10(μm) × π ×

此長度帶入表面張力公式T = L × constant 可得 0.002285 牛頓。

三角形的面積為:

將表面張力除以此面積可得單位面積上的表面張力大約為

假設樹葉只生長在圓錐的表面(不包含底面),將圓錐表面攤開成一扇

型,圓錐表面的面積為,此表面能提供的總張力為單位面積上的表面張力乘以圓錐表面的面積。假設

能運送水分的木質部僅佔樹幹體積的十分之一,張力所提起的水柱高度可表示為

將 k=69.11、水的密度 ρ=1000,重力加速度g=10 帶入,可得樹幹中水柱的重量為:

當張力T = mg時:

解 H 約為:6217.82(m)
此高度遠遠超過大氣壓力、毛細作用、根壓效果的總和,可見蒸散作用才是主
導水分運輸的最主要原動力。

5. 抗張強度的限制條件: 

 雖然知道水的內聚力很強,但其實水和其它材料一樣,所能承受的「張力」有 一定的限制,要是受到的張力超過臨介值,水柱就無法保持連續。目前所知在二十度 的環境下,無溶解氣泡的純水能夠維持在張力 25 到 30MPa。我們先前所計算蒸散作 用所造成的張力,算出極限高度是 6217 公尺,要維持這樣的高度,水柱的張力必須 達到 62MPa,超過水所能承受的抗張強度。因此若加上抗張強度的限制,樹木最高只能長到 3000 公尺高。 

參. 研究結果: 

 大氣壓力顯然無法提供充分的力量,於是我們轉而研究「毛細現象」和「根壓」的效 果,結果發現雖然能提供比大氣壓力更強的張力,但要達到現生最高的樹的高度還是十分勉 強。最後,我們探尋到細胞層級,使用「內聚力理論」,算出了極限高度約為 6000 公尺,在 水的抗張強度限制下,只能達到 3000 公尺,但仍然可以用絕地通天來形容。至於為什麼現生 植物都沒又這麼高呢?我想除了水份運輸外,一定還有許多限制因子,像是高空的強風會使「出類拔萃」的樹承受更大的風力,而且不定期的大火、閃電,都有可能成為樹木生長的干擾因子。

肆. 結語: 

根據上面建立模型計算後的結果,發現最高竟然只能長到三千公尺,雖然仍不及《山 海經》中那直上九萬里的建樹,但這或許就是古人想像力可敬之處。文人陶淵明曾作《讀山 海經十三首》,其中名句「泛覽周王傳,流觀山海經。俯仰終宇宙,不樂復何如?」乃是詩 人一邊泛讀《周王傳》一邊瀏覽《山海經》的感悟,俯仰之間縱觀宇宙萬物,還有什麼比這 還要更快樂的事呢? 由此可見,《山海經》的確是一本值得仔細品味之作。

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