是誰住在深海裡的玻璃屋裡?─珊迪住屋環境與結構分析|2021數感盃|高中專題|佳作

作者 吳岳霖、江宗倫 / 台北市私立延平中學

一、研究動機 

海綿寶寶是我們小時候最愛看的卡通,故事發生在一座名叫比奇堡的城市,裡面住著海綿寶寶、珊迪、 章魚哥、派大星等等。眾所皆知的是:海綿寶寶住在 深海裡的大鳳梨、章魚哥住在摩艾屋、派大星住在石 頭底下、松鼠珊迪住在高科技玻璃屋,這些角色的住 
屋不僅可愛逗趣,其中讓我們最嚮往的是─珊迪的高 科技玻璃屋(如圖一1)。為了能有一層玻璃將海水隔開,讓房子內部充滿著空氣。這樣高科技的住屋使我們不禁思考, 卡通裡的玻璃屋真的能對抗強大的水壓,在海底屹立不搖地存在嗎? 

二、研究方式 

我們將需要考慮的環境條件先設定清楚,並蒐集各方資料,以便我們計算時能採用 正確對應的數據。 

1. 比奇堡市位置:位於太平洋上的馬紹爾群島的底部,絕對位置為北緯 11° 31′ 22″ , 東經 165° 34′ 1″ E。 

2. 玻璃屋的材質:我們選擇最常用於當作建材的 「平板玻璃」與「強化玻璃」來探討。 

3. 玻璃屋的高度:我們假定為一個半球形玻璃屋, 房子正中央有一顆幾乎達到半球頂的樹木,樹高大約為此半球半徑(如圖二)。又因為珊迪是一 隻松鼠,根據資料,松鼠喜歡在高大的樹枝處築巢,通常距地面五到十五公尺2。因此我們假設 玻璃屋的高度為 10 公尺。

4. 比奇堡市海域深度:太平洋的平均深度約為 4028 公尺,太平洋最深處達 11,022 公 尺。 我們將計算玻璃屋分別位於水深 4028 公尺與 11,022 公尺兩處時,取半球形頂部與底部為基準,即圖二中A B兩點,計算此兩處所受的海水壓力,以得到玻璃屋所承受的海水壓力範圍。並假設單位面積為 1cm2 的平板玻璃及強化玻璃,討論所需玻璃厚度為 何,才能承受水壓。

三、探究歷程 

1. 假設珊迪的家位於太平洋平均深度處,計算玻璃屋所需承受的海水水壓範圍:

海水的深度,在海洋的用法中大多用 decibar(分巴,100 毫巴,或十分之一巴, 縮寫為 db)。1db 差不多等於一米的海水深度。由於大氣在平均海平面上的氣壓為 1.013 巴,差不多等於一巴,稱為一大氣壓(1atm),所以 10db 等於一大氣壓,也就是 10 公尺深的壓力有一大氣壓3,又1atm=10336 kgw/m2的壓力4

設在太平洋平均深度處4028公尺時, A 點水壓=PA,,B 點水壓=PB;A 點水深= 4028 -10= 4018(m),相當於 401.8 大氣壓,則PB

2. 玻璃強度計算:

根據 CNS 3092 制定在不同風壓狀況下,玻璃在長寬比不會差距甚大的條件下, 其製造規範符合的玻璃強度公式為 :

其中 P 是玻璃強度(kgw/m2) ,t 是玻璃厚度(mm),A 是玻璃面積(cm2),K 是玻璃參考係數(平板玻璃:K=1,強化玻璃:K =3)5。 

接著,我們固定玻璃面積 A = 1cm2,假設厚度為 t (mm),計算平板玻璃及強化玻璃的厚度。 

(1) 設平板玻璃承受壓力為P1(kgw/m2)、所需厚度t1(mm)

(2) 設強化玻璃承受壓力為P2(kgw/m2)、所需厚度t2(mm)

3. 假設珊迪的玻璃屋位於太平洋的最深處,會發生什麼狀況呢? 我們按照相同步驟計算海水壓力: 

設在太平洋最深處11022公尺時, A 點水壓P’A,B 點水壓P’B

A 點水深=11022− = 10 11012(m),相當於 1101.2 大氣壓,

則P’A

B 點水深=11022(m),相當於 1102.2 大氣壓,

則P’B

(1) 設平板玻璃承受壓力為P’1(kgw/m2)、所需厚度t’1(mm)

(2) 設強化玻璃承受壓力為P’2(kgw/m2)、所需厚度t’2(mm)

4. 除了厚度,我們利用「球體表面積公式= 4π R2」,可知半球形玻璃屋的表面積為 2× π ×10002≈ 6.28 ×106 cm2,結合上述第 2 點與第 3 點的討論,我們發現不論求出的厚度為何,都需要六百多萬塊單位面積的小玻璃才夠組成珊迪的玻璃屋。

四、結論 

我們算出在 4028m 深的海底平板玻璃的厚度需介於 5.70~5.71mm,強化玻璃則為 2.73~2.74mm。但平板玻璃的厚度需介於 10.48 至 10.49mm,才可承受 11022m 深的水壓。 然而,普遍民宅中玻璃的厚度6多介於 2 至 3mm,因此平板玻璃不論是以平均或最大深度 來計算皆較不適合當作水底玻璃屋的建材。此外,我們雖算出強化玻璃的厚度介於 5.38 至 5.39mm 時,可承受 11022m 深的水壓,但考量到其他因素,如:在深水裡施工並不容 易,必定會耗費大量的人力與財力,且屋內需要維持氧氣充足的狀態,但在如此深的海 底,氧氣幾乎不存在。

不僅如此,根據我們的討論,假設前提是取單位面積為1cm2的平板玻璃及強化玻璃,分別在兩種深度下,來討論兩種玻璃厚度的條件。但是現實生活中,是不太可能做出一體成形的半球形玻璃屋,幾乎都是由多個三角形玻璃,以切平面的方式組成半球形玻璃屋(如圖三 7)。因此,我們的討論情境告訴我們:在不考慮技術層 面的挑戰下,珊迪的玻璃屋是由六百多萬塊 1cm2 的碎玻璃嵌合而成的!說到這裡,我們突然覺得珊迪的玻璃屋,一點也不如我們所想的如此高科技了! 

所以我們覺得,像珊迪一樣蓋在深海裡的玻璃屋,果然還只是卡通裡不可思議的存 在。但我們相信,人類的科技發展,有天也許能實現眼前不可能的事物。

五、心得 

我們覺得這次的專題製作非常有趣,讓我們更加體會到數字的奧妙,從日常生活中發想 主題,居然在數學與科學的運算下,讓原本覺得天馬行空、不切實際的猜測,得到一個意想 不到的結果。也許表面看似毫無意義,卻充滿趣味性促使我們深入探討。 

過程中最困難莫過於蒐集需要的資料,為確保專題中資料的正確性,我們需要瀏覽很多 網站,找出合理的正確性資料。計算水的壓力對玻璃屋的影響,沒想到如此麻煩,要注意很 多不同面向的影響,包括水深、屋子的形狀、玻璃的種類等等。特別是玻璃的部分,我們查 了許多網站,各個對於玻璃所能承受壓力的敘述都有所不同,最後決定以較無瑕疵的玻璃強 度公式來計算玻璃的厚度。 

而當我們計算或邏輯出現問題時,謝謝老師幫助我們突破盲點,一步步引導我們得出最 後的結論,這過程確實很考驗我們處理數字的能力。這次的專題,我們不只回答了最初的疑問,也學到一些自然跟工程的小知識,更體會到統合與運用資料與學理知識的價值。 

1 圖片來源 https://images.app.goo.gl/KqSUiDYbwWAM4Pjg6。
2 資料取自網站 https://blog.xuite.net/peggyss/blog/548594275。

3 取自洪秀雄教授的海洋動力學教學網頁,
http://mail.atm.ncu.edu.tw/~hong/OceanDynamics/chap02/Fig01-16.htm。
4 取自國立台灣師範大學物理學系,常見文題整理:壓力的單位即換算,
http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=9291。
5 取自黃國禎的玻璃相關名詞與公式網頁,http://hkc168.blogspot.com/2013/11/blog-post_28.html。

6 取自全天候:《氣密窗玻璃厚度、種類該如何組合?噪音、西曬問題如何解決?》
https://www.ykal.com/knowledge/green/glass-combination.html。
7 圖片來源 https://images.app.goo.gl/h4y8DyEzU9dBJp3o9。

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