失控電梯回地球,大氣層中樂逍遊|2021數感盃|高中專題|銅獎

作者 王姵予、林嘉瑜、謝宇彤 / 國立新竹女子高級中學

一、研究動機 

羅德.達爾充滿想像力的故事使他在兒童文學居於執牛耳的地位,其中查理與旺卡先生的冒 險故事更是他經典的代表作。他們乘的神奇升降梯,堪比 Space X 的回收火箭,竟然能夠毫 髮無傷地回到地球。因此,我們想利用數學計算,把羅德.達爾的想像力,幻化成未來科技 無限的可能。 

二、研究目的 

(一)設法以現有數據求得升降機的基本物理量 

(二)神奇玻璃升降梯究竟能夠耐多高的溫度、有多大的變形,才能安全帶他們回到地球 (三)升降梯要怎麼從終端速度減速(及緩衝),才能安全降落 

三、故事簡介 

在查理全家人都搭上升降梯後,旺卡先生要帶著他們回到巧克力工廠。要這麼做,旺卡先生 打算在自家工廠的屋頂上再撞出一個洞,為了獲得足夠的位能,他駕駛著升降梯不斷地爬升, 意外的是,旺卡先生一不小心,讓升降梯飛到了外太空! 

四、研究過程 

→統一符號: 

(一)求得升降機的基本物理量 

1.推算這座升降機的玻璃質量 

(1)求升降機的表面積

升降機高度估算(含與不含屋頂) :

再根據繪者所畫的升降機作為比例尺,我們測量出喬治外公與升降機不含屋頂與含屋頂時的 高度。如圖所示(書本封面):

接著,我們會由喬治外公的身高分別推算出升降機不含屋頂以及包含屋頂時的高度。 以下為計算過程:

底面積估算: 

根據泛科學

上方角椎側面積估算:

下方長方體側面積估算 :

(2)求玻璃整體的體積

(3)換算為質量

2.推算所有人的質量

(巴克一家是低收入戶,在家中的老人小孩每天只有一碗包心菜湯,因此除了兩位相對健壯成年人外,皆以過輕推算。) 正常 BMI 取範圍中間值,而過輕用符合值計算

3.推算升降機整體體積 

(1) 角錐體積

(2) 長方體體積

(3) 總體積

(二)玻璃承受的溫度 

「再這樣下去,我們自己也要被炸成油餅!被烤的像牛排那樣!看看玻璃吧!它們比滋滋作 響的油還燙呢!」約瑟芬奶奶大叫 (p143) 

「別怕,親愛的女士」旺卡先生安慰:「我的升降機裝了空調,有通風和充氣設備,還有自動 防護裝置,我們不會有事的。」(p143) 

→就算旺卡先生的玻璃升降梯沒有裝設空調等的特殊設備,玻璃究竟要耐多高的溫度才能保 護升降梯內乘客的安全呢?

1.推算降落時的溫度變化 

(1)動能

(2)換算熱能,並推得溫差

依科學的角度來看,約瑟芬奶奶只是在無病呻吟。因為經過熱處理(強化)的玻璃,依然足夠抵 擋 150 至 200℃的溫度差。不過約瑟芬奶奶倒是說對了一件事,玻璃的確燙的可以煎牛排了!(只要 65-74℃就已達七分熟)

還有一件會讓約瑟芬奶奶嚇個半死的問題…這座升降機會膨脹! 

2.膨脹後的體積 

以下為熱膨脹計算公式: 

(1) 角錐體積

(2) 長方體體積

(3) 總體積

可得知整座升降機會膨脹,而且膨脹的量值十分可觀,怪不得約瑟芬奶奶如此害怕。 

(三)回到巧克力工廠 

如果減速了,當初的位能就無法完全轉換成動能衝破屋頂。 

因此我們想了一個解決之道:讓玻璃升降機通過原本的洞,再落入巧克力河中,用其浮力抵 銷龐大的衝擊力。 

我們使用 excel 表格算出玻璃升降梯的終端速度 

以下是我們在 excel 中使用的公式以及其推論:

我們把起始高度設為大氣層高度1000km

加速度距離公式:

速度公式:

空氣阻力公式:

牛頓第二運動定律:

淨力:

有效加速度:

如果將大氣密度看成一個一次線性函數 

為接近海平面之大氣密度,約為1.2255kg/m3

(0, dg)和(h0, 0)為線上兩點,代入得一次方程式 

9.64km為地球半徑,而重力與離地球高度有關係

將9.8除以a ,以求他們的關係式。

接下來是終端速度,也是我們畫 excel 表的最終目的。終端速度是在中和了空氣阻力後,達到 的速度平衡狀態。如下表所示,玻璃升降梯的終端速度大約是140m/s,但是如果以這個速度 降落的話……大家都會變成一團肉泥!!!好險在兵荒馬亂之際,聰明的查理想到一個好辦法:

「威力汪卡先生!我們需要減速!!立刻開啟減速器!!!」查理吶喊。 「啊!親愛的孩子,一切都在我的掌控當中,但是我們要減到多少速度才能安全降落呢?」旺 卡先生問。 

約瑟爺爺眼睛一亮的說「查理,我們去參觀工廠時看到的巧克力河能不能派上用場呢?」 查理:「對!爺爺你說的沒錯!我們可以用它來做個緩衝。」威力旺卡先生,你可以打電話給 溫帕倫普斯人(工廠員工小矮人),請他們關掉動力,讓巧克力河變成一座深不見底、無邊際的 巧克力潭嗎?趕快!我們沒有時間了!」 

「沒問題!包在我身上!」旺卡先生拍胸保證。 

「我記得物理課時學過,人類高空跳水最高紀錄是30m,不然我們用這個試試看。」查理補充道:「根據力學能守恆, 經過移項得(取正值),因此我們的速度必須降到快拉減速拉桿,就是現在!」

「那我們會不會沉進巧克力河裡?喔天啊,我還不想死!」約瑟芬奶奶哀號。

「別擔心!威力旺卡先生告訴過我,plain chocolate 的流體密度大約是1.31625g/cm3,(根據第一部分,討論玻璃升降梯的基本物理量)我們玻璃升降梯的密度是m=DV,,得,因此我們會 是浮體,用不著擔心的。」查理替大家說明。 

砰!一聲巨響打破向來平靜而神祕的巧克力工廠。整個巧克力河沿岸的軟糖草皮都被覆蓋在 噴濺出的巧克力中,溫帕倫普斯人划著粉紅色硬糖船迎接他們的到來。 「我果然沒看錯,你就是我工廠的繼承人!」旺卡先生高興地再次宣布:「因為你的冷靜分析 和數學能力,才得以在千鈞一髮之際救大家一命,我相信你一定會成為很棒的繼承人!」威 力旺卡眼中滿是驕傲和寬慰。

五、資料來源 

http://www.chintaglass.com/News_Detail.asp?ID=24(玻璃熱膨脹係數) 

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Charlie_and_the_Chocolate_Factory_characters(巧克力工廠電影演員) 

https://heater.heat-tech.biz/tc/infrared-panel-heater/science-of-the-infrared-rays/7747.html(玻璃比熱)

https://amerisleep.com/blog/how-much-does-a-mattress-weigh/(king size bed 重) https://www.density.co.uk/documents/Density-of-Chocolate.pdf(巧克力密度) 

https://pansci.asia/archives/71330(一人站立的截面積)

https://www.rcpch.ac.uk/

高一泰宇版物理課本

 

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