史前時代的聖誕禮物|2021數感盃|高中專題|佳作

作者 張庭瑋、吳冠諺 / 永春高中

 小時候,爸媽總告訴我們,每當聖誕節到來,就要在床前放上屬於自己的聖誕襪。聖誕 老公公會挨家挨戶地爬進煙囪,將禮物放在襪子裡贈送給他們。聽到這裡,你心中是否有些 疑問呢? 

「聖誕老公公到底要花多久,才能將全世界的禮物送完?」

先前曾有其他各式各樣的古怪研究,探討送禮物這件事情的可能性;而得到的結論更是 千奇百怪、五花八門。舉例來說,如果馴鹿真的要一次負載全世界的禮物,並且在一夕之間 完成任務,那麼牠將會在千分之四秒內蒸發,因為牠所需要的速度是音速的3000 倍。 

 為了不讓孩子們的幻想破滅,我們既不想讓馴鹿蒸發,也不想得到聖誕老人會摔死、雪 橇會爆炸等等光怪陸離的結論。我們要以最純真、最善良的分析方式來探討聖誕老人的送禮 之謎,因此凡事都必須合理化:禮物的數量與重量、馴鹿的力量、雪橇的速度與行走路線、 世界上的孩童人口數及分布等,唯一不需限制的就是送禮所需的時間了,畢竟我們總要讓聖 誕老公公有條不紊地完成他的任務嘛!

廢話不多說,就讓我們來看看聖誕老公公究竟要花多久的時間,才能順利送完全世界的 禮物吧!根據傳說,聖誕老公公只會送禮物給懂事的孩子;最新的世界人口統計數據顯示, 他在2020年大約需要送給19.29億個兒童聖誕禮物。 

 聖誕老公公的出發地,是位於芬蘭境內經緯度66°3237″N 25°50′50″E的聖誕老人村。童 話書上對拉雪橇的馴鹿數量並沒有定論,因此我們採用了最常見的版本,也就是他雇用了12 隻馴鹿(參考文獻1)來拉雪橇(事實上,這12隻馴鹿都有各自的名字,但現在顯然不是自我 介紹的時候)。無論在傳說或童話中,聖誕老公公的形象一直都是個不折不扣的胖子,因此我 們將其假設為100公斤,又因普通雪橇重量約為150 公斤,所以雪橇與聖誕老人在裝載禮物前 的總重為150 + 100 = 250公斤。 

 聖誕老公公的雪橇需要載運數量龐大的禮物,而我們查得一隻成年馴鹿能夠額外負重的 最大值約為135公斤,因此我們可得到12隻馴鹿的負重能力扣除聖誕老公公肥胖的身軀及笨 重的雪橇後大約為135 × 12 − 250 = 1370公斤(參考文獻2),這個數字是禮物的最大淨重。 在合理的狀態下,每一個孩子收到的禮物平均約1公斤重,也就是聖誕老公公一趟最多只能載 1370份禮物。前面說到,世界上約有19.29億的兒童需要禮物,也就是禮物的總重量超過190 萬噸,所以聖誕老公公大約要送1929000000 ÷ 1370 ≈ 1410000趟才能把所有禮物送都送給 懂事的孩子們,過程中他要往返不同方向、不同國家、不同城市,這真是世界上最累的一份 工作啊! 

 讓我們進一步看看聖誕老公公送禮的過程吧!為了兼顧計算的方便性與合理性,我們比 照物流業的運送原理,建立了一套聖誕老公公的送禮模式。首先選定一個即將送禮的國家, 接著從芬蘭滿載1370 份禮物出發,送到這個國家的首都,再駕著空雪橇回芬蘭重複上述動作, 直到這個國家全國的禮物都被送到首都為止。接下來,他必須在這個國家的首都與各地之間 穿梭,挨家挨戶地送他的禮物。 

我們把聖誕老公公送完某個國家的禮物所需移動的距離定義為Routei,其中正整數i是國家的編號。資料顯示全世界共有242個國家地區,所以1 ≤ i ≤ 242。為了計算出每個Routei的值,我們還必需定義幾個變數:首先令Di為芬蘭聖誕老人村與各國首都之間的大圓距離,接著令Ai代表各國面積,令Pi代表各國擁有的兒童人數,最後令Hi代表各國的家庭戶數。我們考慮到古時候家家戶戶皆子孫滿堂,因此定義一戶人家平均擁有5位懂事的孩子,因此我們可得

 由上可知,聖誕老公公往返聖誕老人村和各國之間的次數會是(因為要考慮來回);接著把這個數字乘上聖誕老人村到各國首都的距離,就會得到把所有禮物運到各國首都的總移動距離internationali,即:

禮物運到各國首都後還要送到每一戶,而聖誕老公公在送禮物的過程中,只要雪橇上的 1370份禮物一送完,他就必需再回該國的首都拿取。為了估算他在各國境內來來回回走了多遠,我們必需求出首都到該國每一戶房子之間的平均距離。假設各國的所有房屋共同均分國土面積,則各國的每戶平均占地面積將會是如果我們把每戶占地視為正方形,則每戶之間的平均距離就是此正方形的邊長

接下來我們必需重新定義各國的房屋排列方式,以臺灣為例,如果全國人口分布如同左 下圖般的不均衡,則聖誕老公公的移動距離將難以計算。我們把聖誕老公公的移動範圍重組成一個矩形,這個矩形的寬為聖誕老公公一趟所能送的戶人家的占地距離,即 ,而矩形長為聖誕老公公在國內要走的趟數乘上距離,即

 

經由上述推論,我們就可以推算聖誕老公公在各國國內所走的距離。參考上圖,聖誕老 公公從首都出發一趟可以送禮給274戶(矩形的寬),而送完274戶後聖誕老公公必需回首都 裝載禮物,故越靠近首都的路要重複走越多遍,也就是每段路被重複行走的次數會呈等差數 列。也因為如此,聖誕老公公在矩形的長邊方向往返行走的總路徑長,可由等差級數公式乘 上兩戶間的平均距離得到,即(乘以2代表來回配送)。至此,我們可以得到聖誕老公公在各國國內的移動總距離domestici為:

忙了這麼久,我們終於可以算出聖誕老公公把全世界的禮物都送完所需要移動的距離
了!這個距離Routei就是「將禮物從芬蘭分批運送到各國首都的移動距離internationali」加上「從各國首都將禮物配送到各戶的移動距離domestici」之和,也就是:

資料顯示,全球共有242個國家地區,每個國家地區的總戶數可由人口數除以5得到(參考資料3及參考資料4)。此外,馴鹿的最高時速大約為80km/hr(參考文獻5)。我們詳細查閱了芬蘭聖誕老人村與各國首都之間的大圓距離Di、各國面積Ai、各國的兒童人數Pi、並推算各國的家庭戶數Hi。我們把這些資料輸入 Excel 製成表格,再讓Excel 幫我們算出所有的數據。

現在我們以臺灣為例:由於臺灣擁有大約5890839 位兒童,因此我們得知聖誕老公公在臺灣需要配送5890839 ÷ 5 ≈ 1178168戶人家。臺灣陸地面積大約為36200平方公里,且聖誕老人村到臺北的大圓距離為7746公里。由前面的公式,我們得知聖誕老公公至少需要行走954786049公里,耗時11934826小時才能把臺灣全部的禮物配送完畢。這數字有多驚人呢?簡單來說就是環島795655圈、花費1362年才能完成!(小知識:根據隋書列傳,當時臺灣是由原住民巴宰族所統治的琉球王國政權。)

但這僅是臺灣而已。讓我們來看看全世界的情況吧!聖誕老公公需要行經64369298687公里,耗時804616234小時,也就是繞赤道160622圈、連續91851年不眠不休,才能把全世界的禮物都送完。

等等!不對呀!誰家有 5 位孩子啊?!馴鹿都不會累嗎?聖誕老人白天也要工作嗎?既然已經認真算了這麼久,一定要更貼近真實情況才合理!

首先,現在已經是小家庭時代,因此每戶平均約只有2位孩子。此外,我們考慮馴鹿在具
有負重的情形下不可能無時無刻都保持最高速度,因此重新定義馴鹿平均時速為40km/hr,此時負重量將只能是原本的一半,也就是每趟運送685份禮物。此外,聖誕老人也需要休息,他只能利用晚上人們睡覺的8小時進行配送。我們納入這些「人性化」的考量並重新計算,發現聖誕老公公需要行經321846493439公里,耗時24138487008小時才能完成。

上面這數字有多誇張呢?我們要知道,這可是繞赤道602332圈、持續運送2755535年,才能 送完今年全部的禮物啊!等等,不對呀!等到聖誕老公公送完禮物都已經又過了2755534個 聖誕節了,這樣孩子們都變化石了! 

 由上可知,聖誕老公公如果希望把今年的所有禮物準時送完,那麼他必需在2755536年 前(舊石器時代)就開始工作才可能完成(參考資料6)。因此小朋友們如果在襪子裡發現一 塊 1 公斤重的石頭,也不要太驚訝喔!畢竟那時候才剛演化出人類,人們還過著互相砸石頭 的生活呢! 

參考資料:

  1. https://pets.ettoday.net/news/612100
  2. https://news.cnyes.com/news/id/1375778
  3. https://www.populationpyramid.net/zh/%E4%B8%96%E7%95%8C/
  4. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%84%E5%9B%BD%E5%AE%B6%E5%92%8C%E5%9C%
    B0%E5%8C%BA%E4%BA%BA%E5%8F%A3%E5%88%97%E8%A1%A8
  5. https://pedia.cloud.edu.tw/Entry/Detail/?title=%E9%A6%B4%E9%B9%BF
  6. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%96%E7%95%8C%E5%8F%B2%E5%B9%B4%E8%A1%
    A8_(%E5%85%AC%E5%85%83%E5%89%8D)

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