真的能像頭文字D裡飆車又不讓水灑出來嗎?|2019|國中專題報導|金獎

作者 林柏廷/台北市私立復興實驗高級中學國中部

一、研究動機

從小,我就幻想著能夠開著一台酷炫的法拉利快速行駛在路上,帥氣地飆車和甩尾。想必每個人也都想像過自己在車道上疾速奔馳吧!如果又能夠像頭文字D的主角藤原拓海一樣,把車開得又快又穩,不知道該有多帥!

二、研究背景簡介

在頭文字D裡,為了要訓練拓海的駕駛能力,他的父親曾在車上裝了一杯水,且要求他不能將杯子裡的水灑出來,否則就不能回家。最終,拓海練成了一身絕技,車子開得又快又穩,彷彿人車合一,就此成為了新一代的秋名山車神。不過這真的有可能嗎?我們真的能夠高速行駛且不讓水灑出來嗎?

三、研究過程

首先,我們觀察一些生活中類似的情況。為什麼我們在拿著一杯盛滿的水走路時,水會灑出來呢?因為慣性!我們人前進了,但是水會因為慣性還留在原地,所以水就灑出來了。不過如果用假想力來看,在一個非慣性坐標系當中,如果人用一個a的加速度走路,那水杯裡質量為m的水就會受到-ma的假想力(負號是因為假想力的方向與加速度的方向相反)。如果轉彎的話,這個力就叫離心力。這就像有人在杯子裡使用-ma的力推這杯水,讓水灑出來(當然,杯子裡沒有真的躲著人,因為假想力顧名思義就是一個假想的力)。

如(圖一),電影中杯子裡的水並不是盛滿的,水面到杯緣有一定的深度。

(圖一) 電影中車上水杯一景

  如(圖二)所示,我們試著畫圖計算估計這杯水在拓海轉彎時的運動情形。藍線為水在杯裡的高度;紅線為轉彎時的水面,可以看到水面是傾斜的。圖中標示了杯口的直徑x和轉彎水面最低點到杯口的距離h。以非慣性坐標系來看,車裡的水受到了向下mg的重力和-ma的假想力,合力方向也呈現在圖中。合力方向就是車子裡新的重力場方向,所以水面會大約垂直這個合加速度的方向。

(圖二)拓海車中水杯示意圖

如(圖三):

由(3)和(4)得知 紫色三角形ABC~紫色三角形DFE(AA相似)。

(圖三) 兩個相似三角形示意圖

(圖四) 圓周運動

我們依上述公式可做出下列統整:

四、實證分析

有一般化公式後,我們只需要代入數字,便可求出拓海在轉彎時不讓水灑出來的加速度。從(圖一)電影裡的水杯特寫當中,我們觀察到水杯直徑x和水面最低點到杯口的距離h比大約為5:1,即:

此時再找出轉彎的曲率半徑,就可以找到拓海開車的時速囉!如(圖五)所示,曲率半徑就是AE86車身長的一半加上護欄圍繞住轉彎處所形成的局部近似圓半徑。

(圖五)影片中AE86轉彎情形

上網查詢資料後,我們得知AE86車身長約為4.2公尺,質量中心大約在車身長一半處,也就是2公尺的位置。求出局部近似圓半徑的方法如下:

如(圖六)所示,到google maps尋找秋名山髮夾彎的道路,將螢幕截圖後利用小畫家點出其圓上相異四點,再透過弦的垂直平分線找出圓心。點出圓心後,利用google maps測量距離求出圓半徑。

(圖六)繪畫垂直平分線求局部近似圓圓心和半徑

透過google maps和小畫家,我們找出了局部近似圓的半徑,約為8 公尺。將其數字和車身長度2公尺相加,我們就得到了長度約為10公尺的曲率半徑。這時,再沿用之前推論的加速度,代入向心加速度公式中:

  這速度其實是十分緩慢的,到底有多慢呢?舉個例子做對比:一般國中生跑100公尺的時間大概都在20秒以內,也就是說1秒內大約都能跑5公尺。欸?拓海開車的速度竟然比我們國中生奔跑還要慢!拓海恐怕真的會被對手嗆說:「我跑步就比你快了!」,這樣,秋名山車神的面子怎麼掛得住?那麼,想必大家應該很好奇,如果要漫畫裡快速行駛又不讓水灑出來的情境呈現於現實生活當中,需要一個多大的杯子?一樣的,我們只需要代入想要的時速,做簡單的換算之後就可以算出來啦!

我們估計拓海賽車的時速會超過150 km/hr。若以時速162公里計算,換算成秒速是45 m/s,那麼我們就可以透過下述的算式求出車子的向心加速度:

  這加速度大約是重力加速度g的20倍。也就是說,這杯子裡水面到杯口的距離,根據相似三角形,必須要是5公分的20倍,也就是100公分。拓海至少要使用一個超過1公尺深的杯子才能在時速162 km/hr的情況下開車又不讓水灑出來。

五、結論探討

利用相似三角形和電影中水杯特寫的比例,我們求出了拓海轉彎的加速度;利用向心加速度公式、google maps、和小畫家,我們求出了拓海的行駛速度,最後得到的結果為:若依照電影情節,拓海的行駛速度大約要低於16 km/hr才可避免水灑出來;若要以時速162公里的速度開車,就需要一個高於1公尺的杯子。顯然我們很難找到一個1公尺高的杯子直立在車裡。這是一件非常不合理的事。這樣的話,拓海估計永遠回不了家了,除非他買了一個如(圖八)的巨大杯子。

(圖八) 巨大杯子示意圖 (圖片提供 / IG : liu_1215)

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