從「開門見山」到「通行無阻」—探討愚公移山所需的時間|2019|國中專題報導|佳作

作者 彭士瑋、許庭愷

話說愚公在那黃河北面兒挖山,一挖就挖了兩、三年,竟也沒人敢再恥笑質疑他,倒是圍觀湊熱鬧的人真不少,每人幫忙挖個一兩下,嘿!這山是不怎麼減少,卻別有一番團結的情味兒。

這日風煙俱淨、萬里無雲,愚公依舊起了個大早,背著鋤頭、十字鎬幹活去了。推開大門,迎面而來的是那巍峨聳立的山峰,俊秀的線條如山水畫般舒衝展開來,愚公心想:「這山要是能佇於道旁,倒也是幅天下獨絕的奇景,就怪它佔住了道路的衝要,給前去趕市集的村人添了不少苦頭。」於是又在山前踅了一會兒,像是在測量高度,又像在欣賞這山的俊峭,突然,一個熱悉的聲音打斷了他。

「愚公啊!你挖山都來不及了,還有時間欣賞山啊?」是智叟,臉上仍掛著那不屑的神色,原來多年前他曾當著眾人被愚公羞辱了一番,心裡很不是滋味,總想要反撲一口,今天的他有備而來,希望能好好打贏這場舌戰。

「哦?是智叟啊!早安,早安!」愚公面對充滿殺氣的智叟,仍堆了滿臉笑容「愚公啊!不是我愛說你,你也這麼一大把年紀了,做這麼費力的工作能多有效率?從戊戌年算起,都挖了三年半載,而那山頭有少一丁點兒嗎?像你這樣冥頑不靈的老頭,天帝賜你長壽實在是浪費啊!」被智叟這麼轟了一回,愚公也不生氣,他收起以往的笑容,嚴肅地說:「老朋友啊!我也只是想為大家開條方便的道路,我這樣慢慢地挖,固然那砂石沒什麼增減,但就像之前和你說的,我死後還有兒子啊!還有孫子啊!而我的孫子也會再有兒子,再有孫子,像這樣一代一代地傳下去,即使速度再慢,但只要家世不斷,挖山的工程也是不會斷掉的啊!」

智叟輕哼了一聲,這句話他早就聽膩了,還記得上次被這句話堵住了嘴,狼狽而歸,現在他可要好好地攻破這句話。

「說代代相傳嘛!但天災人禍誰也料不著,你的子孫說不定很快就要搬離此處,更別說萬世都遵守挖山的祖訓了。要不然,請問高明的您,預估何時貴子孫能將山完全移走呢?」「呃…大概是在我的曾孫的曾孫的……等等!不對!是在我孫子的兒子的玄孫的……!!」

這個問題問得真好,我們也來幫愚公算算好了!

首先,我們得先弄清楚愚公的身世。在《列子 ž 湯問篇》中記有詳細的故事,藉此我們可推知,愚公應該是西周時期的人(因為《列子》內大都記載西周時期的故事),其中第一句就點出了地點:「太行、王屋二山,方七百里,高萬仞,本在冀州之南,河陽之北」為了方便計算,我們姑且只取太行一山來算吧!(光是一座就要搬超久了)

現今的資料中,太行山最高峰為2882公尺的小五台山,我們先將它化作2970公尺以利計算,但太行山畢竟是「山脈」,而不是單一山峰的山,因此我們暫時將此山假設成高為2970公尺的正四角錐。

至於人的壽命,雖說資料顯示西周人平均23歲,但那是因為幼兒死亡率過高的關係,我們且看愚公家傳了四代,愚公都90幾歲了,而春秋時期的孔子也活到了70歲,這不正代表著長壽的人大有在?因此,我們把平均年齡設為65歲,而生育率從原來9個,縮減成7個。(平均死亡兩個幼兒)

以下是歸納出的條件:

山為正四角錐
山高為2970m
樹底面積9×10-2m2
幼年人一天搬1m3的土,搬10年 (5歲到15歲)
壯年人一天搬3m3的土,搬30年 (15歲到45歲)
老年人一天搬2m3的土,搬20年 (45歲到65歲)
平均壽命65歲
人平均在23歲生孩子
一個人平均生7個
每棵樹需要燃燒1小時(hr)

1.焚林

山的四面都有樹

樹的分布如下:

頂端一棵

第二層有8 棵(每面2棵,2×4=8)

第三層有12 棵(每面3棵,3×4=12)

.

.

.

第n層有4n 棵(每面n棵,n×4=4n)

山的底邊=a

a2=29702+((√2/2)×a)2

解a≈4200m

山的側面積=42002×√3(四面)

容納=(山的側面積/樹的底面積)=(42002×√3)/ 9×10-2=339481958.3棵

1+4×(2+3+……+n)=1+4×((n+2)(n-1)/2)=339481958.3

解n≈13038

一棵樹燃燒需要1hr,且火勢會蔓延

假設同一層的樹在同一小時內同步燒完

所以燒了13038小時

相當於13038÷24÷365≈1.5年

焚林花了1.5年

2 .移山

人一生搬了1×10×365+3×30×365+2×20×365=51100m3的土

山的體積=42002×2970×1/3≈1.7×1010

一共花了1.7×1010÷51100=332681.0176≈3.3×105個人力

假設到m+1代的人挖完 (或還有剩,但不需用上所有m+2代的人力)

70+71+72+73+…..+7m<=3.3×105個人力

得m=6

70+71+72+73+…..+7m=137257個人<=3.3×105個人力

故到第7代尚未挖完

共搬了137257×51100≈7×109

剩下1.7×1010-7×109=1×1010

第8代共有77

1×1010÷77=12142.65679(平均每人搬)

1×10×365(幼年人搬的土)<12142.65679

設壯年搬了t年

1×10×365+t×3×365=12142.65679

得t8

第8代的人共搬了15+8=23年

一代的間隔23年

注意當第n代結束後的四年,第n+2代剛好滿23歲

65+23×(5)+4=184

184+1.5=185.5年

所以共移了185.5年,也就是傳到第8代      

西周始於西元前1111年,滅於前770年,如果愚公幸運地生在西周前期,挖山的工程應該能在安定且鼎盛的西周中期結束,但如果他生在中、後期,他的子孫可能就要飽受外族入侵之苦了(西元前771年犬戎入侵,隔年西周滅亡)

                          §            §            §

回到愚公和智叟這邊,正當愚公不知如何應對之際,他那七歲的小曾孫突然朝著他們衝了過來,「曾祖父!曾祖父!我告訴你喔!只要185年又半載就能把山搬走了!」愚公驚訝萬分,趕緊問道:「乖孫啊!這麼大的數字你是怎麼算出來的?」「這不是我算的,是那兒有個奇怪的人告訴我的,他身上的衣服好奇怪喔!而且……」這麼一聽,愚公不禁欣慰地想:「這莫非是神明下凡指點? 看來我得更專注於挖山的事情上了。」想著,便牽起小曾孫,往前頭的山爬了上去,只留下仍搞不清楚狀況的智叟,愣在原地……

噓!可別透露出我的身分啊!

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