髮力無邊-樂佩的頭髮長到天邊|2020|高中職專題報導|優選

作者 黃嬿蓁、林昰瑞、呂銍珅

一、故事背景:

尤金為了躲避士兵的追捕,偶然間看見了一座高塔,便爬了上去,並在塔上與樂佩相 遇,樂佩威脅尤金要帶他去看國王與王后為公主放的天燈,於是他們就踏上了前往王都的旅 程。在一次的驚險逃脫中,當樂佩想要用自己的頭髮將尤金從懸崖邊拉起,她赫然發現她拉 不動尤金,差點使尤金被士兵抓住,情急之下,她突發奇想地將自己的長髮當成了鞭子,耍 得虎虎生風,擊退了士兵,拉著尤金跑走了。在確認已看不見士兵後,樂佩不禁思索起平日 裡她究竟是怎麼把媽媽拉上高塔的,作為一個新世代堅強聰明的女性,她決定運用她在塔上 自學得來的知識,分析她的頭髮應該要有多長及應運用什麼工具才足以將人拉起。正當她邊 走邊想著如何計算時,卻沒意識到自己即將撞上前方的大樹,幸好尤金一把拉住了她,讓她 免於撞樹的危機,而樂佩也因沒有站穩而跌進尤金的懷裡,在尷尬地急忙站起身後,樂佩發 現她心中對尤金起了一絲不知名的悸動……

二、分析與討論

 (一)頭髮的承受重量

根據研究,一根頭髮約可承受 0.5 牛頓的力,而我們估計一平方公分約有 150 根頭髮, 頭髮應占人頭表面積的 50%,假設人的頭為圓球,半徑為 10 公分,用球體表面積公式:4πr2 算出頭髮占人頭表面積為4π102x0.5 平方公分,所以乘上 150 後人約有 10 萬根頭髮,能承受的拉力為 5 萬牛頓。因為尤金比巫婆重,我們只討論尤金的重量。只要拉得起尤金就一定拉得 起巫婆。我們設尤金為 76 公斤重,而 1 公斤重為 9.8 牛頓,所以用頭髮拉起尤金需承受 744.8 牛頓的力,遠小於算出的 5 萬牛頓,所以樂佩的頭髮足以承受巫婆跟尤金的重量。

(二)塔高:

根據圖(一)可測得,巫婆身高與塔高(地面到窗戶)比例約為 1:12.3,我們用一般成年女 性身高設定巫婆為 160 公分,所以塔高約為 20 公尺。

(三)塔高與髮長:

影片中樂佩單純透過定滑輪將巫婆從塔底拉起,需要施跟巫婆體重等量的力,而根據 人類女性理想體重公式:(身高-70)x0.6 =體重,得巫婆體重約為 54 公斤,所以應施 529.2 牛 頓的力,而一般女性平均拉力為 156.8 牛頓,所以樂佩根本無法像電影中透過定滑輪將巫婆從 塔底拉起。為了讓電影情節更合理,我們為樂佩設置了兩組滑輪組,來幫助樂佩實現將巫婆 拉上高塔的動作。

(1)裝置一:

一開始的設計理念是樂佩拉巫婆上塔的樣子很像在玩盪鞦韆,便設計出這個裝置。我們 假設滑輪的重量和摩擦力影響不大,令樂佩將巫婆拉上塔的施力為 F,頭髮張力為 T,巫婆加 木板(圖二的左邊)的重量為 W,塔高為 h,髮長為 L。假設巫婆站在一個木板上,樂佩施一個 定量且持續的力,透過定滑輪使巫婆跟木板保持等速度運動,且各接觸面摩擦力極小。計算F=T 且 2T=W 推得 F= 1/2W,得施力等於物重的一半,推得髮長應大於兩倍塔高,即應大於 40 公尺,施力至少 264.6 牛頓,遠大於一般成年女性的拉力(156.8),故我們設計第二組滑輪。

圖二

(2)裝置二:

在尋找可行方法時,我們參考電梯的造型,設計出這種更省力滑輪組。我們令樂佩將巫 婆拉上塔的施力為 F,頭髮張力為 T,巫婆站在木箱裡(圖三的左邊)的重量為 W,塔高為 h, 髮長為 L。假設巫婆站在一個木箱裡,樂佩施一個定量且持續的力,計算 F=T 且 3T=W 推得F= 1/3W,得應施物重三分之一的力,此時髮長至少大於三倍塔高,即應大於 60 公尺,施力至少 176.4 牛頓,而樂佩平時常拉巫婆上去,她的拉力(156.8)應會比平均更高一點。所以 176.4 牛頓差不多為樂佩可以施的力。

圖三

(四)懸崖與髮長:

電影中有一幕,看到樂佩與尤金跟士兵打鬥的畫面,著實讓我們感到熱血沸騰,但我 們也不禁擔心樂佩拉著頭髮跳下懸崖的那一幕,頭髮會不會斷裂。但由於繩張力要用到速度 與半徑,因而斷裂問題在最後討論。

(1)第一次跳懸崖時的頭髮長度:

影片中樂佩將頭髮纏繞在木頭上而跳下懸崖花了 4 秒鐘,已知樂佩頭髮超過 60 公尺, 我們估計懸崖間的寬度為 10 公尺,由圖(五)知,當頭髮超過 60 公尺,擺動角度將會小於 4.78度,根據小角度擺動公式:,T 為單擺運動週期,l 為頭髮長度,g 為重力加速度,擺動角度要小於 5 度才會符合公式,所以用此公式來算樂佩確切的頭髮長度。因為影片中樂佩 單次跳過懸崖花了 4 秒鐘,而公式中的週期是指一次來回的時間,所以樂佩第一次跳下懸崖的週期是 T=4X2=8秒。由公式得知:,再加上樂佩纏繞在木頭上的頭髮為 1 公尺,可知樂佩頭髮為 64 公尺。

圖四
圖五

(2)第二次跳下懸崖的頭髮長度:

當樂佩第二次將頭髮纏繞在木頭上而跳下懸崖時,從懸崖頂跳至地面的擺動角度幾乎成 直角,所以我們將用以下算式逐步推導出樂佩頭髮長度。令最大擺角為單位為rad ,h 為懸崖高度(也是樂佩頭髮全長減掉纏繞木頭部分的長度)。在最高點時,動能,因為v=0,所以Ek=0,而位能 ,根據力學能守恆定則:,所以總能即等於位能。根據積分的推導,最後得到。在影片中,樂佩跳下懸崖花了 5 秒鐘,為此次單擺的1/4週期,所以週期 T=5X4=20秒。由公式得知

71.31 公尺,再加上樂佩纏繞在木頭上的頭髮為 1 公尺,可知樂佩頭髮為 72 公尺。

圖六

圖七

在最高點時,運用力學能守恆,可列出下式:

移項可得最低點時的速度:

週期=時間變化的積分==4 倍平衡點到端點時間變化的積分,可得下式:

將g和h常數提出,可得下式:

(3)跳下懸崖時頭髮會不會斷裂

根據圖(七),在最低點時會有最大頭髮張力,設 m 為樂佩的質量,又因樂佩差不多與巫婆同高,所以假設體重同為 54 公斤,v 為上式所求出的,h 為(2)求得的 72 公尺,代入牛頓,遠低於頭髮能承受的 50000 牛頓,所以頭髮不會斷掉。

三、總結:

為了貼近故事設定,我們盡可能地還原原作,先用平均身高來求塔高和體重,再針對

不合理處做修正。有了基本的人物設定後,我們計算出頭髮能承受的拉力上限其實非常高, 如果施力平均的話幾乎不可能斷裂,因此我們大膽做出上述實驗。從女性平均拉力來看,要 讓樂佩施與巫婆體重等重的力實在困難,所以我們貼心地為她準備滑輪組,讓她能將巫婆拉上塔。接著我們以單擺運動配合電影中的數據,推估出樂佩的頭髮長度大約落在 72 公尺,與 前面實驗吻合。

每個迪士尼公主都有一個屬於自己的特色,我們的樂佩當然也不例外。長髮雖然很 美,也能順便用來救人、學泰山盪鞦韆,有各式各樣的妙用,但也會為生活帶來許多不便利 性,例如走著走著不小心踩倒跌個狗吃屎之類的。雖然在故事結尾尤金將樂佩的頭髮割斷讓 她脫離魔咒,但若樂佩將來想要留長頭髮的話,72 公尺是最佳長度喔!

在計算中,有許多因素是我們沒考慮到的,像是滑輪的摩擦力、頭髮的摩擦力、滑輪 與頭髮的重量、空氣阻力等,其中有些已超出我們的能力所及。儘管仍有眾多不足,我們期 許自己能隨著年齡的增長、更多知識的累積及運用,在未來能探討得更周全。

參考資料:
1、勞動部,理想體重, https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://laws.ilosh.gov.tw/ioshcustom/Downloa d/Download.ashx%3Ftype%3DYearlyReserachReports%26id%3D6006&ved=2ahUKEwjJ4euOmI3nAhX 1zIsBHf7eBe4QFjADegQIARAB&usg=AOvVaw1WCSHJZJicb4flAQBtM-aF 

2、勞動部,女性平均拉力


3、亞太科學教育論壇,頭髮張力的測量與展現, https://www.eduhk.hk/apfslt/v8_issue1/chencc/chencc9.htm

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