天外奇蹟不奇蹟?以數字的鑰匙解開奇蹟之謎|2020|高中職專題報導|優選

作者 邱珊妮、章繼榳、莊雲安

天外奇蹟是一部老少咸宜的動畫電影,內容圍繞著一位名叫卡爾的寡居爺爺,為了信守對愛妻的承諾,將自家綁上數以萬計的氣球帶著他與艾利胼手胝足打造的房屋飛向南美洲他們年青的夢想之地前進。而在動畫中,最令人驚奇的便是五顏六色的氣球帶著卡爾爺爺的小屋在空中漫遊的經典畫面(圖一)。依照劇情的發展,氣球甚至帶著他們穿越了雷雨,不過只透過氣球,真的有辦法讓一整間小屋飛行數千公里嗎?

圖一

一、小屋在空中飛行的可能

  1. 房屋的總重量

首先,我們估算卡爾爺爺木屋的總重量。卡爾爺爺的體重以美國成年男子的平均體重計為86kg,而8歲男童超重為 32.57kg,羅素的體重以33kg計。根據材質厚度的不同,氣球的重量為1~3g,我們取平均值為2g。而電影中為了讓兩萬多只氣球同時懸掛在屋頂,必須要用到長而堅韌的繩子,因此繩子的重量也很難忽略,粗略估計平均繩長約10m,則每根氣球下的繩子重量約2g。木屋的淨重約為2800kg。透過下圖二及其他室內畫面,我們分析家具有:櫥櫃56*5=280kg、冰箱55 kg、電視45kg、椅子3.9*5=19.5kg、沙發19.8*2 =39.6kg、留聲機、電風扇、零錢罐、相框等雜物20kg,總共重459.1kg。綜合上述各數據,卡爾爺爺木屋的總重約為3378.1+4x公斤,其中X為氣球數目(如表一)。

物品名重量(kg)
卡爾86
羅素33
木屋淨重2800
家具459.1
氣球2X
繩子2X
總重3378.1+4x
表一
圖二

2.氣球的體積膨脹

當氣球往天上飛時,因為空氣壓力變小,所以體積會變大,直到氣球外面的橡皮無支撐的壓力時,氣球就會爆破。我們先計算氣球上升至雲層的體積膨脹率。雲層高度一般在1000公尺以上,且已知積雨底部(氣球漂浮高度)海拔2000公尺。

根據理想氣體方程式:Pv=nRT,其中n及R不變,假設正值夏季,地面溫度為攝氏25度(298k),濕空氣每上升100公尺下降攝氏0.6度,因此在2000公尺高空氣溫為298-2000/100*0.6=286k,得高空狀況除以平地狀況為:

氣球彈性造成的張力為F=kx,即張力正比於氣球剖面的圓周。

又圓周正比於半徑、半徑正比於圓體積的1/3次方,得:

氣球膨脹後,張力與內外壓差達成平衡(如圖三),得P-P=F

圖三

再除以平地狀況得:

地面約為一大氣壓(760mmHg),上升12公尺下降一毫米汞柱(mmHg),因此到達2000公尺高空後氣壓P為760-2000/12⋍593.3mmHg。根據資料,平地時氣球內壓約為1.15atm=874mmHg

將式一、式二及各項資料帶入式三得,解出P≌713.61mmHg,膨脹率

一只氣球充滿氦氣以後直徑大約有30 cm,那麼升空後體積約為43r3=43×π×1531.18≈16681.843cm3=16.681843L。

3.氣球的浮力

         現實生活中漂浮在空中的氣球有氫氣球和氦氣球兩種,但因為氫氣可能引發爆炸,所以最常用的是氦氣球。因為氦氣密度(ρ1 = 0.1786g/L)小於空氣密度(ρ2 = 1.295g/L),氦氣的重力向下,空氣的浮力向上,結果是合力的方向向上,大小為 F=2-1Vg182.5Nt18.62gw,這裡V為氣球的體積,g為重力加速度,大約是9.8m/s2。因此一顆氦氣球可以承重(即m)約18.62g。 再減去每顆氣球下2g的繩重,每顆氣球可以承受16.62*10-3kg,若要使整個木屋飄浮在空中,將會需要3378.1/0.01662(無條件進位)=203256顆氣球。

二、小屋穿過雷雨的可能

片中有一個橋段(圖四):原本晴朗的天氣變得風雨交加,小屋在積雨雲中穿梭著,險象環生。而就算羅素操縱飛屋避開所有落雷,不斷下著的雨也會產生下壓力(重力及衝力)讓飛屋下沉。接下來我們將討論要再加幾顆氣球才能使小屋在雷雨中維持等高飛行。

1.系統受雨的重力(mg)

大豪雨定義為24小時累積雨量達350毫米,則一秒累積約4.05*10-6公尺高

圖四

(一)屋頂受力:

假設雨滴停留一秒,且根據資料,屋頂受雨面積約為2800平方英尺(260.1285m2)所以屋頂上維持著:的水,受雨重力為1.05kgw=10.29Nt。

(二)氣球受力:

已知欲使房屋升空共需203256顆氣球,而一顆氣球在2000公尺高體積約為16681.843cm3,則總體積約為3.39×109cm3
將氣球視為半徑為r的半球型及半徑r,高h的圓錐體,而由圖片可大略估計h=2r。而列出

而知受雨之面積為r×r×π≈3421000cm2=342.1m2。氣球每秒承受的水,因此受雨重力1386gw=13.58Nt。

所以系統受總重力為屋頂受力(10.29Nt)+氣球受力(13.58Nt)=23.87Nt。

  1. 系統受雨的衝力

衝力公式為Ft=P=mv,即F=(m/t)v,首先我們計算落到屋頂時雨的速度(雨的終端速度):已知積雨雲底層約為2000公尺高,一般情況下空氣阻力Fr=kpAV2,(其中 k 為常數,ρ為空氣密度,A為物體截面積,V 為物體的速度)當考慮浮力效應時,因自身質量而在流體中下沉的物體,若其淨力為零,就會達到終端速度(沉降速度)。當達到終端速度時,物體的重量會正好等於向上的浮力與阻力之和。即:

W=Fb+D

(W為物體的重量,Fb為作用於物體上的浮力,D為作用於物體上的阻力)若下沉的物體是球狀的,則三種力的表示式如下:

(R為球體的直徑,ρs為球體的密度,ρ為流體的密度,g為重力加速度,Cd為阻力係數,A為球體投影面積=,V為特徵速度,即終端速度Vt。)

且已知雨滴直徑約6毫米、重力加速度g=9.8m/s2、球體(雨滴)密度為1g/cm3=1000kg/m3、雨滴在空氣中阻力係數約為0.05。在地表附近(1013.25 hPa)時,空氣的密度約為1.225 kg /m³,海拔每減少80米,密度就增加約1%。在海拔2000公尺的高空空氣密度為1.225/1.01(2000/80)⋍0.955kg/m3

由以上數據算出雨滴的終端速度為

又屋頂被氣球遮蔽,不受到衝力,則系統所受衝力(m/t)v=每秒滴在氣球上的雨量每秒氣球受到來自雨的力為

得每秒整個系統會受到向下103.113N的力。

所以加多少顆氣球才不會使小屋下降呢? 已知一顆氣球能使16.25g的物體抵達海拔2000公尺的高空。但增加一顆氣球會使受到力的面積增大,因此列出下式(假設增加x顆氣球):

氣球受雨面積(m2每秒雨量(L/m2)(g+終端速度)+屋頂受雨重力

=x顆氣球造成的浮力

         帶入數字:

所以至少再加503顆氣球才能使系統不因為受雨天而下墜。

三、結論

《天外奇蹟》的主創曾說影片裡面的氣球因為藝術需求數目是「20,622」我們的數據差了十倍左右,而且在雷雨時甚至需要更多的氣球才能飛行,可見和影片一樣翱翔天際並征服雷雨是有難度的,所以我們還是讓房子待在地上,征服天空的事也別靠氣球比較好,如果你真的很想很想去天堂瀑布看看,上網買機票!

四、參考資料

[1] 沙發椅https://www.pcstore.com.tw/nicegoods/M28904543.htm

[2] 天外奇蹟的氣球問題http://www.cultuspeak.com/Article/Detail/17527[3] 維基百科終端速度https://zh.m.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%82%E7%AB%AF%E9%80%9F%E5%BA%A6

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