大野狼與七隻小羊-童話與數學的邂逅|2019|高中職專題報導|銅獎

作者 何昊宸、林淯茹、顏甄/武陵高中

童話故事伴隨著我們的成長,它們是膾炙人口的經典,亙古流傳。然而兒時的我們僅沉醉在其生動的情節中,對所有描述深信不疑。長大後才擁有對諸多不合理情節提出疑問、思辨及驗證的能力。例如《睡美人》中的公主,為什麼能在長時間不進食的情況下,依然保有年輕的容貌和生機?碗豆樹是否真能高聳入雲?長髮公主的脖子及頭髮又是如何承受王子的重量?雖然這些情節皆源自於作者對生活的幻想,同時藏著耐人尋味的意涵,其中的卻也值得我們細細思索與深入探究。

而在耳熟能詳的童話〈大野狼與七隻小羊〉的最後,羊媽媽為救出七隻小羊,剪破大野狼的肚皮。救出小羊們的同時,也將許多石頭塞進狼肚中,以讓大野狼到河邊喝水時,一頭栽進河裡淹死。這激發了我們好奇心,也是我們接下來要討論的內容。

在此,我們有個疑問:究竟需要放入多少石頭才能抵抗浮力使大野狼下沉?我們嘗試用已知的物理概念,揭開兒書那童趣十足的面紗。

依據故事情境,我們做出幾項基本的設定。第一,我們找到在格林童話發生地區的德國,最常出現的狼種為亞種「歐亞狼」。人類在一般狀態下,人體密度為 1.026 (g/cm3),因此,我們可知同為哺乳類的狼在一般的狀態下密度也會大於 1,如此便不用探討究竟需要放入多少的石頭了,因為我們可知物體密度一但大於 1,即會沉入水中,所以我們轉而探討肺部充滿空氣—密度小於 1—時的狀態。人類的肺總容積 Total Lung Capacity(TLC)是指深吸氣後肺部可容納的最大氣體量,以一個肺功能正常年輕男性為例,其 TLC 為 4900~6500(ml)[1],此時可使人體密度達到 0.9 (g/cm3)並浮在水面上。由資料顯示,狼的肺容積相當於三分之一的人肺容積[2],我們便可以得知狼的 TLC 大約介於 1633.3~2166.6(ml)。根據《國家地理》的資料,一頭灰狼(灰狼即為狼的總稱)的體型,大致與一名身高六英尺(大約 1.8288m)高的成年男性相等[3]。衛生福利部國民健康署的數據顯示,一名 18 歲(含)以上且身高 183(cm)的成年人,正常體重範圍為 62.0~80.3(kg)[4]。我們取中間值 70.25(kg),除以一般狀態下之密度 1.026 (g/cm3),即得體積 68469 ,由此推得一匹成狼的平均體積為68469(cm3) 。再根據資料,一匹歐亞狼體重約介於 40~175(lb)[5],我們取整數 155(lb),一磅為 0.45(kg),故 155(lb)為 69.75(kg),也就是 69750(g)。故成狼在肺部吸滿空氣狀態下的密度為

第二,根據研究,石頭的密度大致落於 2~3 (g/cm3),因此我們取平均值 2.5(g/cm3)做為計算的數據。

最後,根據國立海洋大學的資料,河水的密度介於純水與海水的密度之間,而純水的密度為 1 (g/cm3),海水的密度為 1.03 (g/cm3),所以我們假設河水密度為 1<g<1.03 (g/cm3);且假設要增加的石頭重量為 x(g)。完成上述的假設及數據確認後,我們就可以著手進行計算了。

由浮力原理可知,當物體密度大於液體密度,物體即會下沉。我們分別計算在純水及海水中所需的重量,並個別有兩種可能的狀況,取得各自所需的石頭重量範圍:

一、狼肚的體積有增加(石頭使肚子膨脹,體積具有加成性):

所以石頭的重量 x 為 1174(g)< X <3378.9(g);

二、狼肚的體積沒有增加(石頭無使肚子膨脹):

所以石頭的重量 x 為 704(g)< X < 2817 ( g )

總結上述研究結果,我們得知當石頭使狼肚體積增加時,需要 1.1~3.3 公斤的石頭才能使狼溺斃;而當時石頭不會使狼肚膨脹時,便只需要 0.7~2.8 公斤的石頭就足以讓大野狼喪失掙扎求生的機會,沉落河床。再者,第一種結果較符合故事情節中七隻小羊的體重,第二種結果則較符合現實中的狀況。

由以上兩個結果可以發現,相當於一台筆記型電腦甚至是一瓶蕃茄汁的重量,便足以使一頭狼的生命殞逝。而在那樣危急的狀態下,先不論切狼腹救子的舉動是否會驚動熟睡中的大野狼,以及要如何臨時找出這些石頭,羊媽媽依然處變不驚,且靈機一動拿石頭替代小羊、以假亂真的想法,還是讓人不禁讚嘆羊媽媽救子心切而激發的力量是多麼強大,母愛又是如此熠熠生輝且動人。

經過這次的研究,我們發現就算是家喻戶曉、耳熟能詳的童話故事,透過不一樣的觀點切入,也會有截然不同的視野。文學方面,我們能從先人富含智慧的妙語中,領略其要表達的寓意;數學方面,除卻肉眼可見的數字,更是多了邏輯、架構、組織。以文學為經,以數學為緯,互相交織出絢麗的網。嘗試用數學的角度挖掘文學的奧妙,除了驚奇,更多的是不絕的讚嘆。

[1] https://reurl.cc/13EAD
[2] https://reurl.cc/K45Wy
[3]https://www.nationalgeographic.com/animals/mammals/g/gray-wolf/
[4]https://www.hpa.gov.tw/Pages/Detail.aspx?nodeid=542&pid=705
[5]https://reurl.cc/qr2eq

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