一元二次方程式之「解法」~再進化了嗎!?|2020|國中專題報導|佳作

作者 王筑怡、粘瓅勻、王詠澤

一、研究動機

2019 年中旬,美國華裔數學家羅博深提出了一元二次方程式的極簡解 法。卻有許多專家學者提出質疑,認為這是抄襲古人的解法,而這也讓我 們開始想深入研究了解所謂一元二次方程式的”極簡解法”以及它與”公 式解”相比,究竟有何異同?

二、研究背景

1. 探討極簡解法與公式解有何異同。

2. 採樣進行施測,實際比較兩種方法之優異。

3. 了解古代一元二次方程式之幾何解法。

三、研究過程

 I.公式解與極簡解法之比較

 A. 計算方式:

B. 比較:

任何一元二次方程式

同除以 a 得:

即為極簡解法中的

又極簡解法中

代入(1)式得:

即是

由公式解得:

用式子

來求Z值→好計算!

II. 採樣施測

實際了解公式解和極簡解法何者比較快,於是採樣彰化縣某國中一個 國三班級(共 23 人)進行施測。

A. 施測題目(共15題):

B. 施測結果:( 時間 )

C. 施測結果比較:

(1)極簡解法所用平均時間最短!

解方程式平均時間相差了 1 分多鐘,「極簡解法」比「公式解」快速!

(2)比較「前 3 名」與「後 3 名」之時間:

得到「極簡解法」比「公式解」所需時間整整相差了快 2 至 3 分鐘!

III. 幾何解法:

➢ 斯濤德方法: 為例

19 世紀德國數學家斯濤德(1798-1867)給了一個非常巧妙的一元二次 方程式的幾何解法。

在直角座標中取連接𝐴𝐵,與圓心為 C( 0,1)的單位圓,交於 D、E 兩點,將單位圓的頂點 M ( 0,2)與點 D、E 分別連接,並延長,分別與 x 軸於 F( c, 0)、G( d, 0),則 c 與 d 就是方程式之解。

➢ 卡萊爾方法:
對於 𝑋2 +𝑏𝑋+𝑐=0 作一個以(0,1)、(−b,𝑐) 為直徑兩端

點的圓,則

1. 兩根:此圓 與 x 軸交於兩點,此兩點之 x 座標即為解。
2. 重根:此圓此 x 軸相切於一點,此切點之 x 座標即為解。 

3. 虛根:此圓此 x 軸無交點。 

四、參考文獻

1. A Simple Proof of the Quadratic Formula( 作者 Po-Shen Loh∗ ) (https://arxiv.org/pdf/1910.06709.pdf

2. 一元二次方程的幾何解法

http://m.fx361.com/news/2019/0418/5028366.html

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